高考数学圆锥曲线分类大全理

2011-2018 新课标(理科)圆锥曲线分类汇编
一、选择填空
【2011 新课标】7. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B
两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ B ）
（A） 2
（B） 3
（C）2
（D）3
【2011 新课标】14. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1, F2 在 x 轴上，
离心率为
2 。过 l 的直线 2
交于 A, B 两点，且 △ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为
x2 y2 1
。
16 8
【2012 新课标】4. 设 F1F2 是椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的左、右焦点，P 为直线 x
3a 2
上
一点， F2PF1 是底角为 30o 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ C ）
【解析】
F2PF1 是底角为 30o 的等腰三角形 PF2
F2F1
2(3 a c) 2c e c 3
2
a4
【2012 新课标】8. 等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y 2 16 x 的准线
交于 A, B 两点， AB 4 3 ；则 C 的实轴长为（ C ）
【解析】设 C : x2 y2 a2 (a 0) 交 y 2 16 x 的准线 l : x 4 于 A(4, 2 3) B(4, 2 3) 得： a2 (4)2 (2 3)2 4 a 2 2a 4
【2013 新课标 1】4. 已知双曲线 C:xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程 为( C )
A、y=± x
（B）y=± x
（C）y=± x
（D）y=±x
【解析】由题知， c a
5 2
，即
5 4
=
c2 a2
=
a2 b2 a2
，∴ b2 a2
=1 4
，∴
b a
=
1 2
，∴ C
的渐近线方程
为 y 1 x ，故选 C . 2
【2013 新课标 1】10、已知椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于
A、B 两点。若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为 (
D
)
x2 y2 A、45＋36＝1
x2 y2 B、36＋27＝1
x2 y2 C、27＋18＝1
x2 y2 D、18＋ 9 ＝1
【解析】设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则 x1 x2 =2， y1 y2 =－2，

x12 a2
y12 b2
1
①
x22 a2
y22 b2
1
②
①－②得 (x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0 ，
a2
b2
∴ kAB
=
y1 x1

y2 x2
=
b2 a2
( (
x1 y1

x2 ) y2 )
= b2 a2
，又 kAB
= 01 = 31
1 2
，∴ b2 a2
=1 2
，又
9= c2 = a2
b2 ，
解得 b2 =9， a2 =18，∴椭圆方程为 x2 y2 1，故选 D. 18 9
【2013 新课标 2】11. 设抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5，若以
MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( C )．
A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x
C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x
【解析】设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋ p ＝5，则 x0＝5－ p .
2
2
又点
F
的坐标为

p 2
,
0

，所以以
MF
为直径的圆的方程为(x－x0)

x
p 2

＋(y－y0)y＝0.
将 x＝0，y＝2 代入得 px0＋8－4y0＝0，即 y02 －4y0＋8＝0，所以 y0＝4. 2
由
y02
＝2px0，得16
2
p

5
p 2

，解之得
p＝2，或
p＝8.
所以 C 的方程为 y2＝4x 或 y2＝16x.故选 C.
【2013 新课标 2】12. 已知点 A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线 y＝ax＋b(a＞0)将△ABC 分割为
面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( B )．
A．(0,1)
B． 1
2 2
,
1 2

C． 1
2 2
,
1 3
D．

1 3
,
1 2

【2014 新课标 1】4. 已知 F 为双曲线 C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点 F 到 C 的一条
渐近线的距离为（ A ）
A.
B. 3
C.
D.
3m
【解析】双曲线 C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为
，
∴一个焦点为（
，0），一条渐近线方程为
=0，
∴点 F 到 C 的一条渐近线的距离为
= ．故选：A．
【2014 新课标 1】10. 已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 =4 ，则|QF|=（ B ）
A.
B. 3
C.
D.
2

【解析】设 Q 到 l 的距离为 d，则|QF|=d， ∵ =4 ， ∴|PQ|=3d， ∴直线 PF 的斜率为﹣2 ， ∵F（2，0），∴直线 PF 的方程为 y=﹣2 （x﹣2）， 与 y2=8x 联立可得 x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B． 【2014 新课标 2】10. 设 F 为抛物线 C: y2 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ D ）
A. 3 3 4
B. 9 3 8
C. 63 32
D. 9 4
【2014 新课标 2】16. 设点 M（ x0 ,1），若在圆 O: x2 y2 1上存在点 N，使得∠OMN=45°，则
x0 的取值范围是___[-1,1]_____.
【2015 新课标 1】5. 已知 M（x0，y0）是双曲线 C： x2 y2 1上的一点，F1、F2 是 C 上的两个 2
焦点，若 ?
＜0，则 y0 的取值范围是（ A
）
（A）（- 3 ， 3 ） （B）（- 3 ， 3 ） （C）（ 2 2 ， 2 2 ） （D）（ 2 3 ， 2 3 ）
33
66
3
3
33
【解析】
【2015 新课标 1】14. 一个圆经过椭圆 x2 y2 1的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标 16 4
准方程为 (x 3)2 y2 25 。
2
4
【解析】设圆心为（ a ，0），则半径为 4 | a | ，则 (4 | a |)2 | a |2 22 ，解得 a 3 ，故圆的 2
方程为 (x 3)2 y2 25 。
2
4
【2015 新课标 2】7. 过三点 A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于 y 轴于 M、N 两点，则 MN =
（C ）
（A）2 6
（B）8
（C）4 6
（D）10
【2015 新课标 2】11. 已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，?ABM 为等腰三角形，
且顶角为 120°，则 E 的离心率为（
）
（A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2
【2016 新课标 1】5.
已知方程 x2 y2 m2 n 3m2 n
1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离
为 4，则 n 的取值范围是（
A）
（A）(–1,3)
（B）(–1, 3)
（C）(0,3)
（D）(0, 3)
【解析】由题意知：m2
n
3m2
n
4 ，解得
m2
1，13nn
0， 0

解得 1 n 3，故 A 选项正确. 【2016 新课标 1】10. 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的标准线于 D、E
两点.已知|AB|= 4 2 ，|DE|= 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为（ B
(A)2
(B)4
(C)6
） (D)8
【解析】令抛物线方程为 y2 2 px ，D 点坐标为（ p ， 5 ），则圆的半径为 r p2 5 ，
2
4
r2 8 p2 3 ，即 A 点坐标为（ p2 3 ，2 2 ），所以 (2 2)2 2 p p2 3 ，解得 p 4 ，
4
4
4
故 B 选项正确.
【2016 新课标 2】4. 圆 x2 y2 2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1，则 a=
（A）
（A） 4 3
（B） 3 4
（C） 3
（D）2
【解析】圆 x2 y2 2x 8y 13 0 化为标准方程为： x 12 y 42 4 ，
故圆心为 1，4 ， d a 4 1 1，解得 a 4 ，故选 A
a2 1
3
【2016
新课标
2】11. 已知 F1 ， F2 是双曲线
E： x2
a2
y2 b2
1 的左，右焦点，点
M
在
E
上， MF1
与
x
轴垂直，sin
MF2 F1
1 3
,则 E 的离心率为（
A
）
（A） 2
（B） 3 2
（C） 3
（D）2
22
【解析】离心率 e
F1F2 MF2 MF1
，由正弦定理得 e
F1F2 MF2 MF1
sin M sin F1 sin F2
3 1 1
3
2 ．故选 A．
【2016 新课标 3】11. 已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C:xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)左焦点，A、B
分别为 C 的左、右顶点，P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与
y 轴交于 E，若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（
A）
(A)13
(B)12
(C)23
(D)34
【2016 新课标 3】16. 已知直线 l:mx＋y＝3m－ 3＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A、B 两点，过 A、
B 分别作 l 的垂线与 x 轴并于 C、D 两点，若|AB|＝2 3，则|CD|＝___4____
【2017 新课标 1】10. 已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，
直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ A ）
A．16
B．14
C．12
D．10
【2017 新课标 1】15. 已知双曲线 C： x2 y2 1 （a>0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b
a2 b2

为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若∠MAN=60°，则 C 的离心率
为___ 2 3 _____。 3
【2017 新课标 2】9.
若双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线被圆
x 22 y2 4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（
A）
A．2
B． 3
C． 2
D． 2 3 3
【解析】双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，
圆（x﹣2）2+y2=4 的圆心（2，0），半径为：2，双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条
渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为：
=
，解得：
，可得 e2=4，即 e=2．故选：A．
【2017 新课标 2】16. 已知 F 是抛物线 C : y2 8x 的焦点， 是 C 上一点，F 的延长线交 y
轴于点 ．若 为 F 的中点，则 F 6
．
【解析】抛物线 C：y2=8x 的焦点 F（2，0），M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N．若 M
为 FN 的中点，可知 M 的横坐标为：1，则 M 的纵坐标为：
，
|FN|=2|FM|=2
=6．
【2017新课标3】5.
已知双曲线 C：ax22
y2 b2
1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线方程为
y
5 x， 2
且与椭圆 x2 y2 1 有公共焦点．则 C 的方程为（ B ） 12 3
A． x2 y2 1 8 10
B． x2 y2 1 45
C． x2 y2 1 54
D． x2 y2 1 43
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为 y 5 x ，则 b 5 ①
2
a2
又∵椭圆 x2 y2 1 与双曲线有公共焦点，易知 c 3 ，则 a2 b2 c2 9 ② 12 3
由①②解得 a 2,b 5 ，则双曲线 C 的方程为 x2 y2 1，故选 B. 45
【2017新课标3】10．已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1（ a b 0 ）的左、右顶点分别为 A1 ，
A2 ，且以
线段 A1 A2 为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（ A ）
A． 6 3
B． 3 3
C． 2 ３
D． 1 3

【解析】∵以 A1A2 为直径为圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，∴圆心到直线距离 d 等于半径，
2ab
∴d
a , 又∵ a 0,b 0 ，则上式可化简为 a2 3b2
a2 b2
∵ b2 a2 c2 ，可得 a2 3 a2 c2
，即 c2 2 a2 3
∴ e c 6 ，故选A a3
【2018 新课标 1】8．设抛物线 C：y2 4x 的焦点为 F ，过点 2 ，0 且斜率为 2 的直线与 C 交
3
于 M ， N 两点，则
（）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【2018 新课标 1】11．已知双曲线 C：x2 y2 1 ，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直 3
线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M ， N ．若 △OMN 为直角三角形，则 MN （ ）
A． 3 2
B．3
C． 2 3
D．4
【答案】B
【2018 新课标
2】5．双曲线
x2 a2
y2 b2
1 (a
0, b 0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为（
）
A． y 2x
B． y 3x
C． y 2 x 2
D． y 3 x 2
【答案】A
【2018
新课标
2】12．已知
F1 ，
F2
是椭圆 C：ax22
y2 b2
1 (a
b
0)
的左，右焦点，
A是C
的左
顶点，点 P 在过 A 且斜率为
3 6
的直线上，△PF1F2
为等腰三角形， F1F2P
120
，则 C
的离心
率为（
）
A. 2 3
B． 1 2
C． 1 3
D． 1 4
【答案】D
【2018 新课标 3】6．直线 x y 2 0 分别与 x 轴，y 轴交于 A ，B 两点，点 P 在圆 x 22 y2 2
上，则 ABP 面积的取值范围是（ ）
A． 2，6
B． 4 ，8
C． 2 ，3 2
D． 2 2 ，3 2
【答案】A
【2018 新课标
3】11．设 F1 ，F2
是双曲线 C：ax22
y2 b2
1（ a
0，b 0 ）的左，右焦点， O 是坐
标原点．过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若 PF1 6 OP ，则 C 的离心率为（ ）
A． 5
B．2
C． 3
D． 2
【答案】C
【2018 新课标 3】16．已知点 M 1，1 和抛物线 C：y2 4x ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C
交于 A ， B 两点．若∠AMB 90 ，则 k ________．

【答案】2
二、解答题
【2011 新课标】20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点 满足 MB//OA， MA?AB = MB?BA，M 点的轨迹为曲线 C。 （1）求 C 的方程； （2）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
【解析】(1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 =（-x,-1-y）, =(0,-3-y),
=(x,-2).
由题意得知（ + ）? =0,即（-x,-4-2y）?(x,-2)=0. 所以曲线 C 的方程式为 y= 1 x 2 -2. 4
(2)设
P(x
0
,y
0
)为曲线
C：y=
1 4
x
2
-2
上一点，因为
y
'
=
1 2
x,所以 l
的斜率为
1 2
x
0
因此直线 l
的方程为
y
y0
1 2
x0 (x
x0 ) ，即
x0 x
2y
2 y0
x2
0
。
则
O
点到 l
的距离 d
|
2 y0 x02 x02 4
|
.又
y0
1 4
x02
2，
所以， d
1 2
x02
4
1
(
x02 4 2
x02 4
4 ) 2,
x02 4
当 x02 =0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.
【2012 新课标】20. 设抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l ， AC ，已知以 F
为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点；
（1）若 BFD 900 ， ABD的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程； （2）若 A, B, F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原 点到 m, n 距离的比值。
【解析】（1）由对称性知： BFD 是等腰直角 ，斜边 BD 2 p
点 A 到准线 l 的距离 d FA FB ∴ 圆 F 的方程为 x2 ( y 1)2 8
2 p ， SABD 4
2 1 BD d 4 2
2 p2
（2）由对称性设
A(x0 ,
x02 2p
)(
x0
0)
，则
F (0,
p) 2
点
A, B 关于点 F
对称得： B(x0 ,
p
x02 ) 2p
p
x02 2p
p 2
x02
3p2
得： A(
3 p, 3 p ) ，直线 m :
y
3p 2
p 2
x
p
x
3y
3p 0
2
3p 2
2

x2 2 py y x2 y x 3 x 3 p 切点 P( 3 p , p )
2p
p3
3
36
直线 n : y p 3 (x 3 p ) x 3y 3 p 0
63
3
6
坐标原点到 m, n 距离的比值为 3 p : 3 p 3 。 26
【2013 新课标 1】20. 已知圆 M：(x＋1)2＋y2=1，圆 N：(x－1)2＋y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并 与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C。 （1）求 C 的方程； （2）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时， 求|AB|. 【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M （-1，0）,半径 r1 =1，圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 r2 =3. 设动圆 P 的圆心为 P （ x ， y ），半径为R. （1）∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切，∴|PM|+|PN|= (R r1) (r2 R) = r1 r2 =4，
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为 3 的椭圆(左顶 点除外)，其方程为 x2 y2 1(x 2) .
43 （2）对于曲线C上任意一点 P （ x ， y ），由于|PM|-|PN|= 2R 2≤2，∴R≤2，当且仅当圆P 的圆心为（2，0）时，R=2. ∴当圆P的半径最长时，其方程为 (x 2)2 y2 4 ，
当 l 的倾斜角为 900 时，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|= 2 3 .
当l
的倾斜角不为 900
时，由
r1
≠R知 l
不平行
x
轴，设 l
与
x
轴的交点为Q，则
| QP | QM
| |
=
R r1
，可
求得Q（-4，0），∴设 l ： y k(x 4) ，由 l 于圆M相切得 | 3k | 1，解得 k 2 .
1 k2
4
当 k = 2 时，将 y 2 x 2 代入 x2 y2 1(x 2) 并整理得 7x2 8x 8 0 ，解得
4
4
43
x1,2
=
4
6 7
2 ，∴|AB|=
1
k2
|
x1
x2
|
= 18 7
.
当 k =－ 2 时，由图形的对称性可知|AB|= 18 。
4
7
综上，|AB|= 18 或|AB|= 2 3 . 7
【2013
新课标
2】20.
平面直角坐标系
xOy
中，过椭圆
M：
x2 a2
y2 b2
=1 (a＞b＞0)右焦点的直
线 x y 3 0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 1 . 2
(1)求 M 的方程；

(2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，求四边形 ACBD 面积的最大值． 【解析】
(1)设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
x12 a2
y12 b2
=1 ，
x22 a2
y22 b2
=1，
y2 x2

y1 x1
= 1，
由此可得 b2 x2 x1 a2 y2 y1
y2 x2
y1 x1
=1. 因为 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
y0 x0
1 2
，
所以 a2＝2b2. 又由题意知，M 的右焦点为( 3 ，0)，故 a2－b2＝3.
因此 a2＝6，b2＝3. 所以 M 的方程为 x2 y2 =1 . 63
x y
(2)由

x
2
y2
6 3
3 1,
0,
解得
x
43 3
,
或

x
0,

y
3, 3
y 3.
因此|AB|＝ 4 6 . 3
由题意可设直线
CD
的方程为
y＝
x
n
5
3 3
n
3 ，
设 C(x3，y3)，D(x4，y4)．
y x n,
由
x2 6
y2 3
得 3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
1
于是 x3,4＝ 2n
29 n2 . 3
因为直线 CD 的斜率为 1， 所以|CD|＝
2
|
x4
x3
|
4 3
9 n2 .
由已知，四边形 ACBD 的面积 S 1 | CD | | AB | 8 6 9 n2 .
2
9
当 n＝0 时，S 取得最大值，最大值为 8 6 . 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 8 6 .
3
3
【2014 新课标 1】20. 已知点 A（0，﹣2），椭圆 E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F
是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 ，O 为坐标原点．
（1）求 E 的方程； （2）设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方程． 【解析】
（1）设 F（c，0），∵直线 AF 的斜率为 ， ∴
，解得 c= ．
又
，b2=a2﹣c2，解得 a=2，b=1．∴椭圆 E 的方程为
；
（2）设 P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线 l 的方程为：y=kx﹣2．

联立
∴|PQ|= = 设 ∴
，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k2﹣3）＞0 时，即
，
．
=
时，
， 点 O 到直线 l 的距离 d=
．∴S△OPQ=
=
，
＞0，则 4k2=t2+3，
=
=1，当且仅当 t=2，即
，解得
时取等号．
满足△＞0，∴△OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为：
．
【2014 新课标 2】20.
设
F1
,
F2
分别是椭圆
C:
x2 a2
y2 b2
1a b 0 的左,右焦点，M 是 C 上
一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.
（1）若直线 MN 的斜率为 3 ，求 C 的离心率； 4
（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 MN 5 F1N ，求 a,b.
【解析】
（1）根据 c=
以及题设知 M（c， ），2 =3ac，将 = - 代入 2 =3ac，
解得 = ， =-2（舍去），故 C 的离心率为 （2）由题意，原点 O 的 的中点，M ∥y 轴，所以直线 M 与 y 轴的交点 D 是线段 M 的
中点，故 =4，即
① 由=
得=
设 N（x，y），由题意可知 y<0,则
即
代入方程 C，得 + =1 ②
将①以及 c=
代入②得到
+ =1，解得 a=7，
故 a=7， 【2015 新课标 1】20. 在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y= x2 与直线 y kx a ( a ＞0)交与 M,N
4 两点，

（1）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （2）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。 【解析】
（1）由题设可得 M (2 a, a) ， N (2 2, a) ，或 M (2 2, a) ， N (2 a , a) .
∵ y 1 x ，故 y x2 在 x = 2 2a 处的到数值为 a ，C 在 (2 2a, a) 处的切线方程为
2
4
y a a (x 2 a ) ，即 ax y a 0 .
故 y x2 在 x =- 2 2a 处的到数值为- a ， 4
C 在 (2 2a, a) 处的切线方程为 y a a (x 2 a ) ，即 a x y a 0 .
故所求切线方程为 a x y a 0 或 a x y a 0 . （2）存在符合题意的点，证明如下： 设 P（0，b）为复合题意得点， M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1, k2 . 将 y kx a 代入 C 得方程整理得 x2 4kx 4a 0.
∴ x1 x2 4k, x1x2 4a .
∴ k1
k2
y1 b x1
y2 b = x2
2kx1x2
(a b)(x1 x1x2
x2 )
= k(a b) . a
当 b a 时，有 k1 k2 =0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN，所以 P(0, a) 符合题意.
【2015 新课标 2】20. 已知椭圆 C：9x2 y2 m2 (m 0) ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，
l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M。
（1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；
（2）若 l 过点 (m ,m) ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，
3 求此时 l 的斜率；若不能，说明理由。 【解析】
（1）设直线 l : y kx b (k 0,b 0) ， A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ， M (xM , yM ) ． 将 y kx b 代入 9x2 y2 m2 得 (k 2 9)x2 2kbx b2 m2 0 ，
故 xM
x1
x2 2
k
kb 2
9
，
yM
kxM
b
9b k2 9
．
于是直线 OM 的斜率 kOM
yM xM
9 k
，即
kOM
k 9 ．
所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值．
（2）四边形 OAPB 能为平行四边形．
因为直线 l 过点 ( m , m) ，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k 0 ， k 3 ． 3

由(1)得
OM
的方程为
y
9 k
x
．设点
P
的横坐标为
xP
．由

y
9x2

9 x, k y2
m2
,
得 xP2
k2 9k 2
m2 81
，即
xP
3
km k2 9
．
将点 ( m , m) 的坐标代入直线 l 的方程得 b 3
m(3 k) 3
，因此 xM
mk(k 3) ． 3(k 2 9)
四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，
即 xP
2xM
．于是 3
km k2 9
2
mk(k 3) 3(k 2 9)
．解得 k1
4
7 ， k2 4
7 ．因为
ki 0, ki 3 ，i 1，2 ，所以当 l 的斜率为 4 7 或 4 7 时，四边形 OAPB 为平行四边形． 【2016 新课标 1】20. 设圆 x2 y2 2x 15 0 的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不
重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.
（1）证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；
（2）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且 与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取 值范围. 【解析】 （1）圆心为 A(1,0) ，圆的半径为 AD 4 ，Q AD AC ，
ADC ACD，又∵BE / / AC ，ACD EBD ADC ， ∵BE = ED， EA EB AD 4.
所以点 E 的轨迹是以点 A(1, 0) 和点 B(1, 0) 为焦点，以 4 为长轴长的椭圆，
即 a 2, c 1b 3 ，所以点 E 的轨迹方程为： x2 y2 1. 43
（2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x 1， MN 3， PQ 8 ，此时四边形 MPNQ
面积为12 ；
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k(x 1) ，与椭圆 x2 y2 1联立得： 43
(3 4k 2 )x2 8k 2 x 4k 2 12 0 ，设 M (x1, y1), N (x2, y2 ) ，则
x1
x2
8k 2 3 4k 2
，
x1
x2
4k 2 3
12 4k 2
，
直线 PQ 方程为 y 1 (x 1) ，即 x ky 1 0 k
所以圆心 A(1, 0) 到直线 PQ 的距离为 d 2 ， 1 k2

PQ 2 16 d 2 4 3 4k 2 1 k2
综上可知四边形 MPNQ 面积的取值范围为[12,8 3) 【2016 新课标 2】20. 已知椭圆 E: x2 y2 1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k 0)
t3
的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA. （1）当 t 4 ， AM AN 时，求△AMN 的面积； （2）当 2 AM AN 时，求 k 的取值范围. 【解析】
（1）当 t 4 时，椭圆 E 的方程为 x2 y2 1 ，A 点坐标为 2 ，0 ，
43
则直线 AM 的方程为 y k x 2 ．
x2
联立

4
y2 3
1
并整理得，
3 4k2
x2 16k2x 16k2 12 0
y k x 2
解得
x
2
或
x
8k 2 3
6 4k 2
，则
AM
1 k2
8k 2
6 2
3 4k 2
1 k 2 12 3 4k 2
因为 AM AN ，所以 AN
1

1 k
2

12
3 4 1
1 2 k
1 k2 12 3k 4 k
因为 AM AN ， k 0 ，所以
1 k 2 12 3 4k 2
1
k2
12 3k
4
，整理得 k
1
4k2 k 4
0，
k
4k 2
k
40
无实根，所以 k
1．所以 △AMN
的面积为
1 2
AM
2
1 2
11
12 34
2
144 49
．
（2）直线 AM 的方程为 y k x t ，
x2 y2
联立

t
3
1

y
k
x
t
并整理得，3 tk2
x2 2t
tk2x t2k2 3t 0 解得 x
t 或xt
tk2 3 3 tk 2
t，
所以 AM
1 k2 t
tk2 3 t 3 tk 2
t
1
k2
6 3
t tk 2
，所以 AN
1 k2 6 t 3k t
k
因为 2 AM AN
所以 2
1 k2
6t 3 tk2
1 k2 6 t 3k t
，整理得， t
6k 2 k3
3k 2
．
k
因为椭圆
E
的焦点在
x
轴，所以 t
3 ，即
6k 2 k3

3k 2
3 ，整理得
k2
1 k3
k
2
2
0 ，解得
3
2
k
2
．
【2016 新课标 3】20. 已知抛物线 C:y2＝2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分别交

C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 P、Q 两点，
(1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程。
【解析】由题设 F
1 (2，0)，设
l1:y＝a，l2:y＝b，则
ab≠0，且
A(a22，a)，B(b22，b)，P(－12，a)，Q(－12，b)，R(－12，a＋2 b)
记过 A、B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x－(a＋b)y＋ab＝0
(1)由于 F 在线段 AB 上，故 1＋ab＝0，记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则
k1＝1a＋－ab2＝aa2－－abb＝1a＝abb＝－b＝k2
∴AR∥FQ
(1)设 l 与 x 轴的交点为 D(x1，0)，则 S△ABF＝12|b－a||FD|＝12|b－a||x1－12|，
S△PQF＝|a－2 b|，∴x＝0(舍去)，x1＝1
设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y)
当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kAB＝kDE 可得a＋2 b＝x－y 1(x≠1)而a＋2 b＝y，
∴y2＝x－1(x≠1)
当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合，∴所求轨迹方程为 y2＝x－1
【2017
新课标
1】20.
已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
=1 （a>b>0），四点
P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，
3 ），P4（1， 3 ）中恰有三点在椭圆 C 上。
2
2
（1）求 C 的方程；
（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，
证明：l 过定点。
【解析】
（1）由于 P3 ，P4 两点关于 y
轴对称，故由题设知
C
经过
P3
，P4
两点.又由
1 a2
1
b2
1 a2
3 4b2
知，
C
不经过点
P1，所以点
P2 在
C
1
上，因此

b2 1
1 3
1
，解得
a2 b2
4 1
，故
C
的方程为
x2 4
y2
1.
a2 4b2
（2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，
如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知 t 0 ，且| t | 2 ，可得 A，B 的坐标分别为（t， 4 t2 ），
2
（t，
4 t2 2
）.，则 k1 k2
4 t2 2 2t
4 t2 2 1 ，得 t 2 ，不符合题设. 2t

从而可设 l：y kx m（ m 1 ）.将 y kx m 代入 x2 y2 1 得，(4k2 1)x2 8kmx 4m2 4 0
4
由题设可知
=16(4k 2
m2
1)
0
.，设
A（x1，y1），B（x2，y2），则
x1+x2=
8km 4k2 1
，x1x2=
4m2 4k 2
4 1
.
而 k1
k2
y1 1 x1
y2 1 x2
kx1
m 1
x1
kx2
m 1 x2
2kx1x2
(m 1)(x1 x1 x2
x2 )
.
由题设 k1 k2 1，故 (2k 1)x1x2 (m 1)(x1 x2 ) 0 .
即
(2k
1)
4m2 4k 2
4 1
(m
1)
8km 4k2 1
0
，解得
k
m 1 2
.
当且仅当 m 1时， 0 ，欲使 l： y m 1 x m ，即 y 1 m 1(x 2) ，
2
2
所以 l 过定点（2， 1）
【2017 新课标 2】20. 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： x2 y2 1上，过 M 做 x 轴的垂线， 2
垂足为 N，点 P 满足
。
（1）求点 P 的轨迹方程；
（2）设点 Q 在直线 x=-3 上，且 点 F。 【解析】
。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦
（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），由点 P 满足 =
．
可得（x﹣x0，y）= （0，y0），可得 x﹣x0=0，y= y0，即有 x0=x，y0= ，
代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1，即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2。
（2）证明：设 Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π）， ? =1，可得（ cosα， sinα）?（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1，
即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1，
解得 m=
，即有 Q（﹣3，
），
椭圆 +y2=1 的左焦点 F（﹣1，0），由 kOQ=﹣
，kPF=
，
由 kOQ?kPF=﹣1，可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。
【2017新课标3】20. 已知抛物线 C : y2 = 2x ，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A ， B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆。 （1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点 P （4，- 2 ），求直线 l 与圆 M 的方程。 【解析】 （1）显然，当直线斜率为 0 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．

设 l : x my 2 ， A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，
联立：
y2 2x x my
2
得
y2
2my
4
0
，
4m2
16
恒大于 0
，
y1
y2
2m ，
y1 y2
4
．
∴
，即 O 在圆 M 上．
（2）若圆 M 过点 P ，则
， (x1 4)(x2 4) ( y1 2)( y2 2) 0
(my1 2)(my2 2) ( y1 2)( y2 2) 0 ， (m2 1) y1 y2 (2m 2)( y1 y2 ) 8 0
化简得 2m2 m 1 0 解得 m 1 或1 2
m ①当
1 2
时， l : 2x
y 4 0 圆心为 Q(x0 , y0 )
，
y0
y1
2
y2
1 2
， x0
1 2
y0
2
9 4
，
半径 r | OQ |
9 2 4

1 2
2
，则圆 M
:(x
9)2 4
(y
1)2 2
85 16
②当 m 1时， l : x
y 2 0 圆心为 Q(x0 , y0 )
，
y0
y1
2
y2
1，
x0
y0
23，
半径 r | OQ | 32 12 ，则圆 M : (x 3)2 ( y 1)2 10
【2018 新课标 1】19. 设椭圆 C：x2 y2 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点， 2
点 M 的坐标为 2，0 ．
（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明：∠OMA ∠OMB ． 【解析】 （1）由已知得 F(1, 0) ，l 的方程为 x=1．
由已知可得，点 A 的坐标为 (1, 2 ) 或 (1, 2 ) ．
2
2
所以 AM 的方程为 y 2 x 2 或 y 2 x 2 ．
2
2
（2）当 l 与 x 轴重合时， OMA OMB 0 ．
当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 OMA OMB ．
当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y k(x 1)(k 0) ， A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，
则 x1
2, x2
2
，直线
MA，MB
的斜率之和为 kMA
kMB
y1 x1
2
y2 x2
2
．
由 y1 kx1 k, y2 kx2 k 得
kMA
kMB
2kx1x2 3k(x1 x2 ) 4k (x1 2)(x2 2)
．
将 y k(x 1) 代入 x2 y2 1得 (2k 2 1)x2 4k 2 x 2k 2 2 0 ． 2
所以，
x1
x2
4k 2 2k 2 1 , x1x2
2k 2 2k 2
2 1
．

则 2kx1x2
3k(x1
x2 ) 4k
4k 3
4k
12k3 8k 3 2k 2 1
4k
0．
从而 kMA kMB 0 ，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以 OMA OMB 。
综上， OMA OMB 。
【2018 新课标 2】19. 设抛物线 C：y2 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k 0) 的直线 l 与 C 交
于 A ， B 两点，| AB | 8 ．
（1）求 l 的方程；
（2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
【解析】
（1）由题意得 F(1,0) ，l 的方程为 y k(x 1)(k 0) .
设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，
由

y y
k(x 2 4x
1),
得
k
2
x2
(2k 2
4) x
k2
0
.
16k 2
16
0 ，故
x1
x2
2k 2 k2
4
.
所以 |
AB
||
AF
|
|
BF
|
( x1
1)
( x2
1)
4k 2 k2
4
.
由题设知
4k 2 k
2
4
8
，解得
k
1 （舍去），
k
1.
因此 l 的方程为 y x 1.
（2）由（1）得 AB 的中点坐标为 (3, 2) ，所以 AB 的垂直平分线方程为 y 2 (x 3) ，即
y x 5.
设所求圆的圆心坐标为 (x0 , y0 ) ，则

y0
x0
( x0
1)2
5, ( y0
x0 2
1)2
解得
16.
x0

y0

3, 2
或
x0

y0
11, 6.
因此所求圆的方程为 (x 3)2 ( y 2)2 16 或 (x 11)2 ( y 6)2 144 .
【2018 新课标 3】20. 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：x2 y2 1 交于 A ， B 两点．线段 AB 的 43
中点为 M 1，mm 0 ．
（1）证明： k 1 ； 2
（2）设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 列，并求该数列的公差． 【解析】
．证明：
成等差数
（1）设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，则
x12 4
y12 3
1,
x22 4
y22 3
1．

两式相减，并由 y1 y2 k 得 x1 x2 y1 y2 k 0 ．
x1 x2
4
3
由题设知 x1 x2 1, y1 y2 m ，于是 k 3 ．① 由题设得 0 m 3 ，故 k 1 ．
2
2
4m
2
2
（2）由题意得 F(1, 0) ，设 P(x3, y3 ) ，则 (x3 1, y3) (x1 1, y1) (x2 1, y2 ) (0, 0) ．
由（1）及题设得 x3 3 (x1 x2 ) 1, y3 ( y1 y2 ) 2m 0 ．
又点 P 在 C 上，所以 m 3 ，从而 P(1, 3) ，
．
4
2
于是
．
同理
．所以
．
故
，即
设该数列的公差为 d，则
成等差数列．
．②
将 m 3 代入①得 k 1． 4
所以 l 的方程为 y x 7 ，代入 C 的方程，并整理得 7x2 14x 1 0 ．
4
4
故
x1
x2
2,
x1x2
1 28
，代入②解得 |
d
|
3 21 28
．
所以该数列的公差为 3 21 或 3 21 ．
28
28