九年级数学二次函数中考题集
1.图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B
为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,
构成△ABC,设AB=x.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究:△ABC的最大面积?
2.如图,抛物线y=1
3
x2+bx+c经过A(-3,0),B(0,-3)两点,此抛物线的对称轴为
直线l,顶点为C,且l与直线AB交于点D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标;
(3)连接BC,求证:BC=CD.
2.已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0),C(0,-2)
(1)求这条抛物线的函数表达式;
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请
求出点P的坐标;
(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重
合).过点D作DE∥PC交x轴于点E.连接PD、PE.设CD的长为m,△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
4.如图所示,菱形ABCD的边长为6厘米,∠B=60度.从初始时刻开始,点P、Q同时从A点出发,点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动,点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动,当点Q运动到D点时,P、Q两点同时停止运动,设P、Q运动的时间为x秒时,△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这
里规定:点和线段是面积为O的三角形),解答下列问题:
(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是_________秒;
(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中,当△APQ是等边三角形
时x的值
是________秒;
(3)求y与x之间的函数关系式.
5.正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中,A在x轴正半轴上,D在y轴的负半轴上,AB交y轴正半轴于E,BC交x轴负半轴于F,OE=1,OD=4,抛物线y=ax2+bx-4过A、D、F三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)Q是抛物线上D、F间的一点,过Q点作平行于x轴的直线
交边AD于M,交BC所在直线于N,若S四边形AFQM=3
2
S△FQN,则
判断四边形AFQM的形状;
(3)在射线DB上是否存在动点P,在射线CB上是否存在动点H,使得AP⊥PH且AP=PH?若存在,请给予严格证明;若不存
在,请说明理由.
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=
1
18
x2-
4
9
x-10与y轴的交点为点B,过
点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连接AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t (单位:秒).
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?
请写出计算过程;
(3)当0<t<9
2
时,△PQF的面积是否总为定
值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程.
7.如图,已知二次函数y=(x+m)2+k-m2的图象与x轴相交于两个不同的点A(x1,0)、B(x2,0),与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
(1)求⊙P与y轴的另一个交点D的坐标;
(2)如果AB恰好为⊙P的直径,且△ABC的面积等于5,求m和k的值.
8.已知抛物线y=x2-2x+a(a<0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线y=1
2
x-a分别与x
轴,y轴相交于B,C两点,并且与直线AM相交于点N.
(1)试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标;
(2)如图,将△NAC沿y轴翻折,若点N的对应点N′恰好落在抛物线上,AN′与x轴交于点D,连接CD,求a的值和四边形ADCN的面积;
(3)在抛物线y=x2-2x+a(a<0)上是否存在一点P,使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,试说明理由.
9.如图,直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外),过M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于D.
(1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化并说明理由;(2)当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值?最大值是多少?
(3)当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为a(0<a<4),正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象.
10.如图,抛物线y=-1
2
x2-x+2的顶点为A,与y轴交于点
B.
(1)求点A、点B的坐标;
(2)若点P是x轴上任意一点,求证:PA-PB≤AB;
(3)当PA-PB最大时,求点P的坐标.
11.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点
Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.
12.如图,已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)在平面直角坐标系xoy中是否存在点P,与A、B、
C三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上
是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积
相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不
存在,请说明理由.
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B
时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t=2时,AP=______,点Q到AC的距离是________;
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t 的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成
为直角梯形?若能,求t的值;若不能,请说明理由;
(4)当DE经过点C时,请直接写出t的值.
14.已知平行于x轴的直线y=a(a≠0)与函数y=x和函数y=1
x
的图象分别交于点A和点B,
又有定点P(2,0).
(1)若a>0,且tan∠POB=1
9
,求线段AB的长;
(2)在过A,B两点且顶点在直线y=x上的抛物线中,已知线段AB=8
3
,且在它的对称轴
左边时,y随着x的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式;
(3)已知经过A,B,P三点的抛物线,平移后能得到y=9
5
x2的图象,求点P到直线AB
的距离.
15.如图,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①当t=5
2
时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
16.如图,抛物线y=ax2+bx+c的交x轴于点A和点B(-2,0),与y轴的负半轴交于点C,且线段OC的长度是线段OA的2倍,抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若过点(0,-5)且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、
N两点,以线段MN为一边抛物线上与M、N不重合的任意
一点P(x,y)为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为
S,请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式;
(3)当0<x≤10
3
时,(2)中的平行四边形的面积是否存在最大值?若存在,请求出来;若
不存在,请说明理由.
17.如图,二次函数y=x2+px+q(p<0)的图象与x轴交于A、B两
点,与y轴交于点C(0,-1),△ABC的面积为5 4 .
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与△ABC
的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角
梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
18.已知:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA、OC的长(OA<OC)是方程x2-5x+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B
不重合),过点D作DE∥BC交AC于点E,连接
CD,设BD的长为m,△CDE的面积为S,求S与
m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.S
是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此时D点坐标;若不存在,请说明理由.
19.已知:如图所示,关于x的抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)、点B(6,0),与y轴交于点C.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰
梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;
(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,
抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以
A、M、P、Q为顶点的平行四边形?如果存在,请直
接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
20.如图,等边△ABC边长为4,E是边BC上动点,EH⊥AC于H,过E作EF∥AC,交线段AB于点F,在线段AC上取点P,使PE=EB.设EC=x(0<x≤2).
(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段(不再另外添加辅助线);
(2)Q是线段AC上的动点,当四边形EFPQ是平行四边形
时,求平行四边形EFPQ的面积(用含x的代数式表示);
(3)当(2)中的平行四边形EFPQ面积最大值时,以E为圆
心,r为半径作圆,根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边
交点的总个数,求相应的r的取值范围.
21.已知直线l:y=-x+m(m≠0)交x轴、y轴于A、B两点,点C、M分别在线段OA、AB上,且OC=2CA,AM=2MB,连接MC,将
△ACM绕点M旋转180°,得到△FEM,则点E
在y轴上,点F在直线l上;取线段EO中点N,
将ACM沿MN所在直线翻折,得到△PMG,其
中P与A为对称点.记:过点F的双曲线为C1,
过点M且以B为顶点的抛物线为C2,过点P以
M为顶点的抛物线为C3.
(1)如图,当m=6时,①直接写出点M、F的
坐标,②求C 1、C 2的函数解析式;
(2)当m 发生变化时,①在C 1的每一支上,y 随x 的增大如何变化请说明理由.②若C 2、C 3中的y 都随着x 的增大而减小,写出x 的取值范围.
22.如图,在△ABC 中,∠A=90°,BC=10,△ABC 的面积为25,点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合),过点D 作DE ∥BC ,交AC 于点E .设DE=x ,以DE 为折线将△ADE 翻折(使△ADE 落在四边形DBCE 所在的平面内),
所得的△A'DE 与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y .
(1)用x 表示△ADE 的面积;
(2)求出0<x≤5时y 与x 的函数关系式;
(3)求出5<x <10时y 与x 的函数关系式;
(4)当x 取何值时,y 的值最大,最大值是多少?
23.如图所示,将矩形OABC 沿AE 折叠,使点O 恰好落在BC 上F 处,以CF 为边作正方形CFGH ,延长BC 至M ,使CM=|CE-EO|,再以CM 、CO 为边作矩形CMNO .
(1)试比较EO 、EC 的大小,并说明理由;
(2)令m= CFGH CMNO
S S 四边形四边形,请问m 是否为定值?若是,请求出m 的值;若不是,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若CO=1,CE=
13,Q 为AE 上一点且QF=23
,抛物线y=mx 2+bx+c 经过C 、
Q两点,请求出此抛物线的解析式;
(4)在(3)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在,请求直线KP与y 轴的交点T的坐标;若不存在,请说明理由.
24.已知:t1,t2是方程t2+2t-24=0的两个实数根,且t1
<t2,抛物线y=2
3
x2+bx+c的图象经过点A(t1,0),B(0,
t2).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是抛物线上一动点,且位于第三象
限,四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形,求平
行四边形OPAQ的面积S与x之间的函数关系式,并写出
自变量x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当平行四边形OPAQ的面积为24时,是否存在这样的点P,使?OPAQ 为正方形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
25.如图1,抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3).[图2、图3为解答备用图]
(1)k=_______,点A的坐标为__________,点B的坐标为________;
(2)设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M,求四边形ABMC的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?若存在,请求
出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在抛物线y=x2-2x+k上求点Q,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.
26.如图所示,已知抛物线y=x2-1
与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积;
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G,使以A、M、G 三点为顶点的三角形与△PCA相似?若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
27.如图,抛物线F:y=ax2+bx+c的顶点为P,抛物线F与y轴交于点A,与直线OP交于点B.过点P作PD⊥x轴于点D,平移抛物线F使其
经过点A、D得到抛物线F′:y=a′x2+b′x+c′,抛物线F′
与x轴的另一个交点为C.
(1)当a=1,b=-2,c=3时,求点C的坐标(直接写
出答案);
(2)若a、b、c满足了b2=2ac
①求b:b′的值;
②探究四边形OABC的形状,并说明理由.
28.如图,抛物线y=a(x+3)(x-1)与x轴相交于A、B两点(点A在点B右侧),过点A 的直线交抛物线于另一点C,点C的坐标为(-2,6).
(1)求a的值及直线AC的函数关系式;
(2)P是线段AC上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点M,交x轴于点N.
①求线段PM长度的最大值;
②在抛物线上是否存在这样的点M,使得△CMP与△APN相
似?如果存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标(不
必写解答过程);如果不存在,请说明理由.
29.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示:抛物线y=ax2+ax-2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP
仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所
有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
30.如图,Rt△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-1
2
,
3
2
),C(1,0),∠ABC=90°,
BC与y轴的交点为D,D点坐标为(0,
3
3
),以点D为顶点y轴为对称轴的抛物线过点
B.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B',求证:四边形AOCB'是矩形,并判断点B'是否在(1)的抛物线上.
(3)延长BA交抛物线于点E,在线段BE上取一点P,过点P作x 轴的垂线,交抛物线于点F,是否存在这样的点P,使四边形PADF 是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.