相似图形知识点与题型分析
相似图形的知识与题型
知识点1:比例线段的相关概念
1.比例线段:
对于四条线段a b c d 、、、,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a c b d
=(或:=a b c d :)那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。 注意:⑴ 在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位. ⑵ 当两个比例式的每一项都对应相同,两个比例式才是同一比例式.
⑶ 比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项, 那么应得比例式为:a
d c b =. 2.比例中项:如果c
b b a =(或a
c b =2),则b 叫做a 、c 的比例中项。 知识点2:比例的性质
基本性质:(1)bc ad d c b a =?=::;
(2)b a c b c c a ?=?=2::.
反比性质(把比的前项、后项交换):
c d a b d c b a =?=. 合比性质:d
d c b b a d c b a ±=±?=.发生同样和差变化比例仍成立。 等比性质:若
)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a ,则b a n f d b m e c a =+???++++???+++. 注意:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =,除了可化为d c b a ::=,还可化为d b c a ::=,b a d c ::=,c a d b ::=,c d a b ::=,b d a c ::=,a b c d ::=,a c b d ::=.
说明:①比例的基本性质是比例变形的重要依据.
②比例的基本性质的互逆关系的变形,可引用比值k 的方法, 设d
c b a = =k ,那么a =kb ,c =k
d ,ad =kb ×d =b ×kd =bc 知识点3:比例线段的有关定理
平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他
直线上截得的线段也相等。
推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边(即三角形中位线定理的逆定理)。
推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰(即梯形中位线定理的逆定理)。
平行线等分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论:
(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。
(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形第三边。
知识点4:黄金分割
点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC>BC ),且AC
BC AB AC ,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比。
注:黄金三角形:顶角是36°的等腰三角形。
黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形。
知识点5:相似图形
1、相似图形的定义:把形状相同的图形叫做相似图形。
相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)。
注意:(1)相似三角形是相似多边形中的一种;
(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;
(3)相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同;
(4)相似三角形的对应边之比叫做相似比。
2、相似三角形的判定方法
预备定理:平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
判定定理1:如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似。
判定定理2:如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。