幂级数及泰勒展开习题解答电子版本
幂级数及泰勒展开习
题解答
幂级数及泰勒展开
一、求下列幂级数的收敛区间
1. 1
2(21)n
n x n n ∞
=-∑
解：12(21)
lim
lim 12(1)(21)
n n n n a n n a n n +→∞
→∞-==++ 1R ?=
当1x =时，因 2111
2(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以1
12(21)n n n ∞
=-∑收敛，
当1x =-时， 1(1)2(21)
n
n n n ∞
=--∑绝对收敛，
? 收敛区间为[1,1]-。
2. 1
1
n n n -∞
=
解：11lim 2n n n n
a a +→∞==
2R ?=
当2x =
时，1
n
n ∞
=为收敛的交错级数，
当2x =-时，
111
n n n n -∞
∞===- ? 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞
=??
-+????
∑ 解：11
1
1
(1)32lim
lim 3(1)32
n n n n n
n n n n
n a a ++++→∞
→∞-+==-+ 13R ?=， 当13x =±时，通项不趋于零，? 收敛区间为11,33??- ???
。
4. 1
(23)(1)21n
n
n x n ∞
=---∑
解：121lim
lim 121
n n n n a n a n +→∞
→∞-==+ 1R ?=
故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。
当1x =时， 11(1)(1)11
1, 21212-1
2n n n n n n n n ∞
∞==--??=> ?--??∑∑发散，
当2x =时， 1
(1)21n
n n ∞
=--∑为收敛的交错级数，
? 收敛区间为(1,2]。 5. 1
ln(1)
(1)1n n n x n ∞
=+-+∑
解：1ln(2)(1)
lim
lim 1(2)ln(1)
n n n n a n n a n n +→∞
→∞++==++ 1R ?=
故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为
1
ln(1)ln lim lim lim 01
1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+，2
ln 1ln ln(2)ln(1)
()()0() 3 21
x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥<++时， 所以 1
(1)ln(1)
1n n n n ∞
=-++∑收敛，
当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11
112n n n n +>>++ 所以1
ln(1)1n n n ∞
=++∑发散，
? 收敛区间为[0,2)。
6. 21
1(1)(1)4
n n n
n x n ∞
-=--∑
解：212
1211(1)41lim lim 1
(1)(1)44n n n n n n n n u x n x u x n ++-+→∞→∞-==--+ 故当
2
111124
x x -
11(1)1(1)(11)42n n n n
n n n n -∞
∞-==----=∑∑为收敛的交错级数， 当3x =时， 21
11(1)1(1)(31)4
2n n n n
n n n n ∞
∞-==---=∑∑为收敛的交错级数， ? 收敛区间为[1,3]-。
二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数
1. 121
1
(1)21n n n x n +-∞
=--∑
解：212
121(21)lim lim (21)n n n n n n
u x n x u x n ++-→∞→∞-==+
故当2
11x x 时，级数发散。
当1x =-时， 121
11(1)(1)(1)2121
n n n n n n n +∞
∞
-==---=--∑∑为收敛的交错级数，
当1x =时， 1
1
(1)21n n n +∞
=--∑为收敛的交错级数，
? 收敛区间为[1,1]-。
令121
1
(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞
=-=?=-∑ 1222201
11
()(1)()(0)arctan 11()arctan (1).x n n n S x x S x S dt x x t
S x x x ∞
+-='?=-=
?-==++?=≤∑? 2. 2112n n nx ∞
-=∑
解：212
121(22)lim lim 2n n n n n n
u x n x u x n ++-→∞→∞+==
故当2
11x x 时，级数发散。 当1x =-时， 21
11
2(1)
2n n n n n ∞
∞
-==-=-∑∑发散，
当1x =时， 1
2n n ∞=∑发散，
? 收敛区间为(1,1)-。 令211()2(0)0n n S x nx S ∞
-==?=∑
2
21
220
11
2
22
()212()(||1).11x
x
n n
n n x S t dt nt
dt x x x x
S x x x x ∞
∞
-==?===
-'???==< ?--??∑∑??
3. 1(1)n n n n x ∞
=+∑
解：1(1)(2)lim
lim 1(1)
n n n n a n n a n n +→∞
→∞++==+ 1R ?=
当1x =时，1
(1)n n n ∞
=+∑发散；当1x =-时，1
(1)(1)n n n n ∞
=+-∑发散，
? 收敛区间为(1,1)-。 令1()(1)(0)0n n S x n n x S ∞
==+?=∑
1
2
1
1
1
1
22
22
1223
()(1)1(1)2()(||1).(1)(1)
x
x
n
n n n n n n n S t dt n n t dt nx
x
nx
x x x x x x x x x
S x x x x ∞
∞
∞
+-===∞=?=+==''????=== ? ?--????
'???==< ?--??∑∑∑??∑
4. 22
1
(21)2n n n x n ∞
-=-∑
解：22
122(21)2lim lim 2(1)(21)n n n n n n
u x n n x u x n n +-→∞→∞+==+-
故当2
11x x 时，级数发散。
当1x =±时， 11211122n n n n n ∞
∞==-??
=- ??
?∑∑（通项不趋于零）发散， ? 收敛区间为(1,1)-。 令221
211()(0)22n n n S x x S n ∞
-=-=?=∑
22212110
11
1211
2
1
211111
()()(0),(0)0222()(||1)1x
x
n n n
n n n n n n S t dt t dt x x S x x S n n x n x
x
S x x x x ∞
∞
∞--===∞
-=-?===≠='?==<-∑∑∑??
∑
21120211()(0)ln(1)12
1
()ln(1)
2
x
t S x S dt x t S x x ?-==---?=--?
2222
ln(1)1ln(1)
0 , ()212x x x S x x x x '??--?≠=-=+ ?-??时 故
222
1ln(1)
, 0||112()1 , 02
x x x x S x x ?-+<
22
22222
2
111111111()1212
12n n n n n n S x x x x n x n
x x n ∞
∞
∞--===?
?=-=-=- ?--??∑∑∑ 三、求下列级数的和
1. 221
11
12322323n
n n n n n n n n -∞
∞∞======??
∑∑
也可以考虑利用幂级数1
21
11(||1)1(1)
n n n n x nx
x x x x ∞
∞-==''
????===< ? ?--????∑∑ ? 1
2
11221213
3
3332113n n n n n n -∞
∞==??
==
= ?
????- ???
∑∑ 2. 1111
(1)11
1(1)(21)(21)22121n n n n n n n n -∞
∞-==-??=-- ?-+-+??∑∑
1
1111111(1)
(1)(1)221221n n n n n k n n ∞∞--===---=--+∑∑ 1
121111(1)(1)221221
n k n k n k ∞∞-===-----∑∑
1
111
(1)212
n n n ∞
-==---∑
1arctan12
14
2
π
=-
=
-
四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数 1.()(0,1)x f x a a a =>≠
解：()()()(ln ) (0)(ln )n x n n n f x a a f a =?=
()00
(0)(ln )!!n n n n
n n f a x x n n ∞
∞==?=∑
∑， 1ln lim
lim 01
n n n n a a R a n +→∞
→∞==?=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。再由 (1)11
111()(ln )(ln )lim |()|lim lim lim ||0(1)!(1)!
(1)!n x n n n n n n n n n x f x a a a R x x x M x n n n θθ++++++→∞→∞→∞→∞==≤=+++ 因x
a θ有界，
11
(ln )||(1)!n n a x n +++是收敛级数0
(ln )!n n n a x n ∞
=∑()x -∞<<+∞的一般项，所以对任意的x 上式均成立。?x
a =0
(ln )!n n
n a x n ∞
=∑()x -∞<<+∞。
2. ()sin 2
x
f x =
解：()()210, 211()sin (0)sin (1)22222, 212
n n k
n n k n k
n x n f x f n k ππ+=????
=+?==?- ?=+??
?? ()212100(0)(1)!2
(21)!n n
n n n n n f x x n n ∞
∞++==-?=+∑
∑， 由 2321123212(21)!
lim lim 02(23)!n n n n n n n n
u x n R u n x +++++→∞→∞+==?=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。再由
2323232323
sin ||22lim |()|lim lim 02(23)!2(23)!
n n n n n n n x n x x R x x n n θπ++++→∞→∞→∞+??+ ?
??=≤=++ 因2323||2(23)!n n x n +++为绝对收敛级数2121
0(1)2
(21)!n
n n n x n ∞
++=-+∑()x -∞<<+∞的一般项，所以
对任意的x 上式均成立。?sin 2
x =
2121
0(1)2
(21)!n
n n n x n ∞
++=-+∑()x -∞<<+∞。 五、使用间接展开法将下列函数展开成幂级数
常用幂级数展式：
（1）0, ()!
n
x
n x e x n ∞
==-∞<<+∞∑
（2）21
sin (1)
, ()(21)!n n
n x x x n +∞
==--∞<<+∞+∑ （3）20
cos (1), ()(2)!n
n
n x x x n ∞
==--∞<<+∞∑ （4）0
(1)(1)(1)1, (11)!
n
n n x x x n α
ααα∞
=?-?
?-++=+-<<∑
22
1(5) , (11)
11 (1), (11)11 (1), (11)1n n n n n n n
n x x x x x x x x x ∞
=∞
=∞
==-<<-=--<<+=--<<+∑∑∑ （6）1
1ln(1)(1)
, (11)n
n n x x x n
∞
-=+=--<≤∑ （7）2121101
arctan (1)(1), (11)2121n n n
n n n x x x x n n +-∞
∞
-===-=--≤≤+-∑∑ 基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。
1．2
()x f x e
-=
解：由0()!
n
t
n t e t n ∞
==-∞<<+∞∑，令2t x =-得
2
20
(1)()!n
x n
n x e
x n ∞
-==--∞<<+∞∑。
2. ()sin 2f x x =
解：由21
sin (1)
()(21)!n n
n t t t n +∞
==--∞<<+∞+∑，令2t x =得 21
(2)sin 2(1)()(21)!n n
n x x x n +∞
==--∞<<+∞+∑。
3. 2()sin f x x =
解：由20
cos (1)
()(2)!n n
n t t t n ∞
==--∞<<+∞∑，及()21
sin 1cos 22x x =-令2t x =得 222
101
1(2)(2)sin 1(1)(1)()2(2)!2(2)!n n n n n n t t x x n n ∞∞
+==??=--=--∞<<+∞?????∑∑。 4. ()arctan f x x =