2020 中考数学压轴题破解策略专题训练 专题1《一元二次方程的特殊根》(01)

中考数学压轴题破解策略专题1《一元二次方程的特殊根》 破解策略

1．一元二次方程的有理根

关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）存在有理根的条件

为：b 2－4ac 是一个有理数的平方．

解决一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）的有理根问题时，一般

的解题策略有：

（1）利用“判别式的取值范围”解题

①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，求出判别式；

②根据已知条件得待定系数的取值范围，再求出判别式的取值范围，筛选出其中为有理数的平方的数；

③求出待定系数的可能取值，并检验．

（2）利用“判别式是一个有理数的平方”解题

①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，将方程的系数整数化，求出判别式；

②将判别式写成△＝M 2－t 的形式（M 为关于待定系数的整式，t 为整数），设M 2－t ＝

m 2（m 为非负有理数）

③可得（Ｍ＋m ）（Ｍ－ｍ）＝t ，解此不定方程；

④求出待定系数的可能取值，并检验．

２．一元二次方程的整数根

对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）而言，方程的根为整数

且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件．

解决方程ax 2＋bx ＋c ＝0的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是

一个有理数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题．

（1）利用“根与系数的关系”解题

①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，利用根与系数的关系求出两根的和与积；

②将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量）； ③由分式的结果一定为整数，根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值；

（2）利用“因式分解”解题

①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，将方程化为（m 1x ＋n 1）（m 2x ＋n 2）＝0的形式；

②求出方程的两根，x 1＝11m n -和x 2＝2

2m n -； ③利用分离常量的方法，将11m n -，2

2m n -变成一个常数与一个分式的和； ④根据整除的性质，得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值； ⑤将待定系数的可能取值代入原方程检验并确定结果．

需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数．

3．分离常量

在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量，所谓分离常量就是从分式中化出一个常数，例如： ①1

31131113112+-=+-++=+-+=+-m m m m m m m m ；

②

1

11111)1(11112+--=+-++-=+---=+--m m m m m m m m ； ③1

12111)1(21122132++=++++=+++=++m m m m m m m m ； ④123121)1(31233113++-=++++-=++--=+--m m m m m m m m ． 例题讲解：

例1 已知整数m 满足6＜m ＜20，如果关于x 的一元二次方程mx 2—（2m －1）x ＋m －2

＝0有有理根，求m 的值及方程的根．

解： 若原方程的根为有理数，

则△＝（2m －1）２—4m （m －2）＝4m ＋1应为某个有理数的平方．

已知6＜m ＜20，所以25＜4m ＋1＜81，

而4m ＋1是奇数，从而4m ＋1＝49，

得m ＝12，

所以原方程变为12x 2—23x ＋10＝0，

解得x 1＝32，x 2＝4

5． 故m ＝12时，方程有有理根，此时方程的根为x 1＝32，x 2＝4

5． 例2 设m 是不为零的整数，关于x 的一元二次方程mx 2

－（m －1）x ＋1＝0有有理根，求m 的值．

解 若原方程的根为有理数，

则△＝（m －1）２—4m ＝（m －3）２—8应为某个有理数的平方．

令（m －3）２—8＝n 2 （n ＞0），显然n 也为整数，

所以（m －3＋n ）（m －3－n ）＝8．

由于m －3＋n ＞m －3－n ，并且（m －3＋n ）＋（m －3－n ）＝2（m －3）是偶数， 所以m －3＋n 和m －3－n 同奇偶，

所以???=-=+2n 3-m 4n 3-m 或???-=---=+-4323n m n m ；解得???==1611n m ，???==1022n m （舍）． 所以当m ＝6时，方程有两个有理根，分别为x 1＝21，x 2＝3

1．

例3 关于x 的一元二次方程rx 2＋（r ＋2）x ＋r －1＝0有且只整数根，求整数r 的值．

解： 当r ＝0时，原方程无整数根；

当r ≠ 0时，由根与系数的关系可得

x 1＋x 2＝r r 2+-＝－1－r 2，x 1?x 2＝r r 1-＝1－r

1． 因为x 1，x 2都是整数，

所以x 1＋x 2和x 1?x 2均为整数，从而r 2，r

1均为整数． 而r 为整数，所以r ＝±1．

当r ＝－1时，原方程的解不为整数，不符合条件；

当r ＝1时，原方程的解为x 1＝0，x 2＝－3．

综上可得，整数r ＝1．

例4 在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，

若二次函数y ＝（k 2－3k ＋2）x 2＋（2k 2－4k ＋1）x ＋k 2－k （k 为常数）的图象与x 轴相交得

到两个不同的“中国结”，试问：该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？

解：令y ＝0，即（k 2－3k ＋2）x 2＋（2k 2－4k ＋1）x ＋k 2－k ＝0，

因式分解，得[（k －1）x ＋k ][（k －2）x ＋k －1]＝0

解得x 1＝1111---=--k k k ，x 2＝2

1121---=---k k k ， 由题意可得x 1，x 2均为整数，所以

11-k ，2

1-k 也均为整数， 设11-k ＝m （m ≠0，m 为整数），则k ＝m 1＋1， 所以m

m m m m m

k -+-=-+--=-=-+=-11111)1(1211121， 所以1－m ＝±1，即m 1＝0（舍），m 2＝2，

从而得到k ＝2

3． 所以二次函数表达式为y ＝41-x 2－21x ＋43＝4

1-（x ＋1）2＋1 二次函数图象如下图所示，则该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含6个“中国结”，分别为：（－3，0），（－2，0），（－1，0），（－1，1），（0，0），（1，0）．

进阶训练

1．已知m 为有理数，问：k 为何值时，关于x 的方程x 2－4mx ＋4x ＋3m ２－2m ＋4k ＝0

的根为有理数？

解：k ＝－4

5 【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4[m ２

—6m ＋4（1－k ）]应为某个有理数的平方．

所以4（1－k ）＝9，即k ＝－4

5．

2．已知关于x 的方程x 2－2（2m －3）x ＋4m ２－14m ＋8＝0（m ＞0）有两个不相等的实数

根，若12＜m ＜40，且方程的两个根均为整数，求整数m 的值．

解：m ＝24．

【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4（2m ＋1）应为某个有理数的平方，由12＜m ＜40，所以25＜2m ＋1＜81，而2m ＋1为奇数，则2m ＋1＝49，即m ＝24．

3．已知方程（k ２－1）x 2

－3（3k －1）x ＋18＝0有正整数根，求整数k 的值． 解：k ＝0，1，2，4，5．

【提示】先讨论二次项系数是否为0，当k ＝1时，方程有正整数根，当k 2－1＝0时，

原方程可整理为[（k ＋1）x －6][（k －1）x －3]＝0，解得x 1＝16+k ，x 2＝1

3-k ，而方程有正整数根，所以k ＝0，1，2，4，5，综上，k ＝0，1，2，4，5．

4．求使关于x 的方程（a ＋1）x 2－（a 2＋1）x ＋2a 2－6＝0的根均为整数的所有整数a ．

解：a ＝－3，－2，0，1．

【提示】①当a ＝－1时，方程变为－2x －4＝0，解得x ＝－2，符合要求；②当a ≠－1时，设方程的两个整数根为x 1，x 2，则由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝112++a a ＝a －1＋1

2+a ，x 1?x 2＝1622+-a a ＝2（a －1）－1

4+a ． 因为x 1，x 2都是整数，所以x 1＋x 2和x 1?x 2均为整数，即1

2+a 为整数，所以a ＝－3，－2，0，1．

经检验，得到当a ＝－3，－2，0，1时，方程的根均为整数．