如何求数列通项公式
如何求数列通项公式
一、累加法（也叫逐差求和法）：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2
(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n
---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而利用逐差求和法求得数列{}n a 的通项公式。
例2 已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由1231n n n a a +=+?+得1231n
n n a a +-=?+则
11232211
1
221
1
2
2
1
1
()()()()(231)(23
1)(231)(231)3
2(3333)(1)33(13
)
2
(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n
n a n =+-
评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231n
n n a a +-=?+，
例3 已知数列{}n a 满足1132313n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：13231n n n a a +=+?+两边除以13n +，得
11
1
213
3
3
3
n n n n
n a a +++=
+
+
，则
11
1
213
3
3
3
n n n n
n a a +++-
=
+
，故
112232112
2
3
2
1
11
1
2
2
1
2
2
()()()()3
33
33
3
3
3
21
2121
213()()()()3
3
333
333
3
2(1)
1111
1(
)1
3
3
3
3
3
3
n n n n n n n n
n
n n n n n n
n n n
n
n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-
+-
+-
++-
+=+
++++++++-=
++
+
+
++
+ 因此
1
1
(13)2(1)2113
13
3
13
3
2
23
n n
n n
n
a n n ---=
++=
+
-
-?，则21133.3
2
2n
n
n a n =
??+
?-
评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n n n a a +=+?+转化为11
1
213
3
3
3
n n n n
n a a +++-=+，进而利用逐差求
和法求得数列3n n a ??
?
???
的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。 二、累乘法（也叫逐商求积法）:利用恒等式32112
1
(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???
≠≥求通项公式的方法称为累
乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积).
例4 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 【解析】： 1()n n n a n a a +=- ,∴
11n n
a n a n
++=,321
12
1
23n
1(0,2)12n-1
n n n n a a a a a n a n a a a -∴=???
=???????=≠≥且
当1n =时11a =，满足n a n =，∴n a n =.
反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.
例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则
12(1)5n
n n
a n a +=+，故
1321
1
2
2
1
1
2
21
1
(1)(2)21
(1)
1
2
[2(11)5][2(21)5
][2(21)5][2(11)5]32
[(1)32]5
3
325
!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
?
??
?
?=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为
(1)
1
2
32
5
!.n n n n a n --=???
评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为
12(1)5n
n n
a n a +=+，进而求出
1
32
112
21
n
n n n a a a a a a a a a ---?
??
?? ，即得数列{}n a 的通项公式。 例6已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。 解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ① 所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+
②用②式－①式得1.n n n a a na +-=
则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故
11(2)n n
a n n a +=+≥
1
32
12
222![(1)43]. (3)
2
n
n n n n a a a a a a a a n n n a a ---=
???
?=-???=
所以
由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，
代入（3）得!13452
n n a n =?????=
。所以，{}n a 的通项公式为!.2
n n a =
评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为
11(2)n n
a n n a +=+≥，进而求出
1
3212
2
n
n n n a a a a a a a ---???
? ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
三、构造新数列: 将递推公式n+1n a qa d =+（,q d 为常数，0q ≠，0d ≠）通过1()()n n a x q a x ++=+与原递推公式恒等变成1()1
1
n n d d a q a q q ++
=+
--的方法叫构造新数列.
例7 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式. 【解析】:利用1()2()n n a x a x -+=+,求得112(1)n n a a -+=+,∴{}1n a +是首项为
112a +=,公比为2的等比数列,即12n
n a +=,21n
n a ∴=-
反思:.构造新数列的实质是通过1()()n n a x q a x ++=+来构造一个我们所熟知的等差或等比数列. 四、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。
例8 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？ 【解析】： 1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 1
1
2n n a a +=，又11
2a =，∴ 12n
n a ??
= ???. 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.
例9 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得11
32
2
2
n n n n
a a ++=
+
，则
11
32
2
2
n n n n
a a ++-
=
，故数列{
}2
n n
a 是以12
22
a 1
1==
为
首项，以
2
3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
31(1)
2
2
n n
a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式
为31()22
2n
n a n =-
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n
n n a a +=+?转化为
11
32
2
2
n n n n
a a ++-
=
，说明数列{
}2
n n
a 是等差数
列，再直接利用等差数列的通项公式求出
31(1)
2
2
n n
a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
六 倒数变换：将递推数列1n n n ca a a d
+=+(0,0)c d ≠≠,取倒数变成1
111n n
d a c a c
+=+ 的形式的方法叫倒数
变换.
例10 已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121n n n a a a +=
+,求数列{}n a 的通项公式.
【解析】:将121
n n n a a a +=
+取倒数得:
1
11
2n n
a a +=+
,
1
11
2n n a a +-
=,∴1n a ??????
是以1
1
1a =为首项,公差为2的等差数列.
112(1)n
n a =+-,∴121
n a n =
-.
反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了. 四、待定系数法
例7 已知数列{}n a 满足112356n
n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1152(5)n n n n a x a x +++?=+?④ 将1235n
n n a a +=+?代入④式，得
1
2355225n
n n
n n
a x a x ++?+?
=
+?
，等式两边消去
2n a ，得1
35525n n n x x +?+?=?，两边除以5n
，得
352,1,x x x +==-则代入④式得1
152(5)n n
n n a a ++-=-
⑤ 由1
15
6510a -=-=≠及⑤式得
50n
n a -≠，则
11525
n n n
n a a ++-=-，则数列{5}n n a -是以1
151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则
1
52
n n n a --=，故125n n n a -=+。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列
{5}n
n a -是等比数列，进而求出数列{5}n
n a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
例8 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++?+=+?+ ⑥ 将13524
n
n n a a +=+?+
代入⑥式，得 1
35242
3(2)n n n n n a x y a x y ++?++?+=+?+ 整理得(52)
243
23n
n
x y x y +?++=?+。
令52343x x y y
+=??
+=?，则52
x y =??
=?，代入⑥式得 1
15223(5
22)n n
n n a a +++?+=
+
?+ ⑦
由11522112130a +?+=+=≠及⑦式， 得5220n
n a +?+≠，则
1152
2
3522
n n n
n a a +++?+=+?+，
故数列{522}n n a +?+是以1
152211213a +?+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此
1
522133
n n n a -+?+=?，则1133522n n
n a -=?-?-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+?+转化为115223(522)n n
n n a a +++?+=+?+，
从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而求出数列{522}n n a +?+的通项公式，最后再求数列{}
n a 的通项公式。
例9 已知数列{}n a 满足2
1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设22
1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ⑧
将212345n n a a n n +=+++代入⑧式，得222
2345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，
则22
2(3)(24)(5)2222n n a x n x y n x y z a xn yn z +++++++++=+++
等式两边消去2n a ，得22
(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++，
解方程组3224252x x x y y x y z z +=??++=??+++=?，则31018x y z =??
=??=?
，代入⑧式，得
2
2
13(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ ⑨ 由2
13110118131320
a +?+?+=+=
≠及⑨式，得2
310180
n a n n +++≠则2
12
3(1)10(1)
18231018
n n a n n a n n +++++
+=+++，故数列2
{31018}
n a n n +++为以2
1311011813132a +?+?+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2
1
31018322n n a n n -+++=?，
则42231018n n a n n +=---。
评注：解题的关键是把递推关系式212345n n a a n n +=+++转化为2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列2{31018}n a n n +++是等比数列，进而求出数列2{31018}n a n n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
跟踪训练1.已知112
a =,1
12n
n n a a +??=+ ???
*
()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.
跟踪训练 2.已知数列{}n a 满足11a =,且123123(1)(2)n n a a a a n a n -=+++???+-≥.则{}n a 的通项公式是.
跟踪训练3.已知数列中, 11a =,1
n-13n n a a -=+(2)n ≥求数列{}n a 的通项公式.
跟踪训练4.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()
1lg n S n +=(1,2)n =???.试证数列{}n a 是等比数列.
跟踪训练5.已知数列{}n a 中,
,122
n n n a a a +=
+,求数列{}n a 的通项公式.
跟踪训练6.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有自然数n ，n a 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项，求数列{}n a 的通项公式.
答案
跟踪训练1.解：由已知1
12n n n a a +??
-= ???
,∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+???-=2
1122??+ ???
1
12n -??
+???+ ?
??1
3
122n -??=- ???
.
跟踪训练2.解：2n ≥时, 123123(1)n n a a a a n a -=+++???+-,11212(1)n n n a a a n a na +-=++???+-+
作差得: 1n n n a a na +-=,∴
11n n
a n a +=+,∴
32
3a a =,
43
4a a =,???,
1
n n a n a -=
跟踪训练3.. 312
n
n a -=
跟踪训练4.证明：由已知可得：n 101n S =-，当2n ≥时()1
1910n n n n a S S --=-=，1n =时，119a S ==
满足上式. ∴{}n a 的通项公式()
1
910n n a -=,2n ≥时
1
10n n a a -=为常数,所以{}n a 为等比数列.
跟踪训练5. 21
n a n =
+
跟踪训练6.解:由已知可求11a =,23a =,35a =,猜测21n a n =-.(用数学归纳法证明). ∴
2345n
a n a =??????,21a =,∴!
2n n a =(2)n ≥,∴11!22
n n a n n =??
=? ≥?
?. 五、对数变换法
例10 已知数列{}n a 满足5
123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为511237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。在5
123n n n a a +=??式两边取常用对数得
1lg 5lg lg 3lg 2n n a a n +=++ ⑩ 设1l g (1)5(l g )n n a x n y a xn y ++++=++
○11
将⑩式代入○11式，得5lg lg 3lg 2(1)5(lg )n n a n x n y a xn y +++++=++，两边消去5lg n a 并整理，得
(lg 3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则
lg 35lg 25x x x y y +=??++=?，故lg 3
4lg 3lg 216
4
x y ?
=???
?
=
+??
代入○11式，得1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (1)5(lg )4
164
4
16
4
n n a n a n ++++
+
=++
+
○
12
由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg 1lg 710416
4
4
16
4
a +
?+
+
=+?++≠及○
12式，
得lg 3lg 3lg 2lg 04
16
4
n a n +
+
+
≠，则
1lg 3
lg 3lg 2lg (1)4
164
5lg 3lg 3lg 2lg 4
16
4
n n a n a n ++
+++
=+
+
+
，
所以数列lg 3lg 3lg 2{lg }416
4
n a n +
++
是以lg 3lg 3lg 2lg 7416
4
+
++
为首项，以5为公比的等比数列，则
1
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)5
416
4
4
16
4
n n a n -+
+
+
=+
++
，因此
1
1
1
1
1
1
1
1
16164444
111
1
1
1
16
16
4
4
4
4
1
1
1
1
1
1
161644445
5
51
4
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)5
4
16
4
4
6
4
(lg 7lg 3lg 3lg 2)5
lg 3lg 3lg 2[lg(733
2)]5
lg(33
2)
lg(7332)5
lg(332)
lg(733
n n n n n
n n
n n
n n n a n ---------=+
+
+
-
-
-
=+++---=???-??=???-??=??1
1
15
1
164
541
5
151
16
4
2
)
lg(7
3
2)
n n n n n -------?=??则1
1
5415
1
5
16
4
7
3
2
n n n n n a -----=??。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5
123n n n a a +=??转化为
1lg 3lg 3
lg 2lg 3lg 3lg 2lg (1)5(lg )4
164
4
16
4
n n a n a n +++++
=+
+
+
，从而可知数列lg 3lg 3lg 2{lg }4
16
4
n a n +
+
+
是等比数列，进而求出数列lg 3lg 3lg 2{lg }416
4
n a n +
+
+的通项公式，最后再求
出数列{}n a 的通项公式。 六、迭代法
例11 已知数列{}n a 满足3(1)2
115n
n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为3(1)2
1n
n n n
a a ++=，所以1
2
1
32
3(1)2
32
1
2
[]
n n n n n n n n n a a a ---?-??--==
2
(2)(1)
3
2(2)(1)
3
(3)(2)(1)
1
12(3)(2)(1)
(1)
1
2
3(1)223(2)23(1)2
3
3(2)(1)23
323(2)(1)2
13!2
1
[]
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a
a a
a a
-+---+--+-+--+++-+-+----??--?-??---?-??-?-????======
又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)
1
2
3
!2
5
n n n n n a --??=。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)2
1n
n n n a a ++=两边取常用对
数得
1lg 3(1)2lg n
n n
a n a +=+??，即
1lg 3(1)2
lg n
n n
a n a +=+，再由累乘法可推知
(1)12
3!2
1
32112
21
lg lg lg lg lg lg lg 5
lg lg lg lg n n n n n
n n n n a a a a a a a a a a --??---=
?
????= ，从而1
(1)3
!2
2
5
n n n n n a --??=。
二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.
例二 已知数列{}n a 中，11a =，121(2)n n a a n -=+≥
，求数列{}n a 的通项公式.
【解析】： 11a =，121(2)n n a a n -=+≥，∴2121a a =+3=，3221a a =+7=????
猜测21n
n a =-*()n N ∈，再用数学归纳法证明.（略）
反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.
例12 已知数列{}n a 满足112
2
8(1)8(21)(23)
9
n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由12
2
8(1)(21)(23)
n n n a a n n ++=+
++及189
a =
，得
2122
322
2
432
2
8(11)
88224(211)(213)
9
925258(21)
248348(221)(223)
25
2549498(31)
488480(231)(233)
49
4981
81
a a a a a a +?=+=
+=
?+?+?+?=+=+=?+?+?+?=+
=
+
=?+?+?
由此可猜测2
2
(21)1(21)
n n a n +-=
+，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当1n =时，2
12
(211)18(211)
9
a ?+-=
=
?+，所以等式成立。
（2）假设当n k =时等式成立，即2
2
(21)1(21)
k k a k +-=
+，则当1n k =+时，12
2
8(1)(21)(23)
k k k a a k k ++=+
++
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
22
22
2
2
2
2
2
(21)18(1)(21)
(21)(23)
[(21)1](23)8(1)
(21)(23)
(21)(23)(23)8(1)
(21)(23)
(21)(23)(21)
(21)(23)(23)1(23)
[2(1)1]1[2(1)1]
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +-+=
+
++++-+++=
++++-+++=
++++-+=
+++-=
+++-=
++2
由此可知，当1n k =+时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*n N ∈都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法
例13 已知数列{}n a
满足111(14116n n a a a +=++
=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令n b =2
1(1)24
n n a b =-故2
111(1)24n n a b ++=
-，
代入11(1416
n n a a +=
++
得2
21111(1)[14
(1)]24
16
24
n n n b b b +-=
+-+即22
14(3)n n b b +=+
因为0n b =≥
，故10n b +=≥则123n n b b +=+，即1132
2
n n b b +=+
，
可化为113(3)2
n n b b +-=
-，所以{3}n b -
是以13332b -=
=
=为首项，以2
1为
公比的等比数列，因此1
21
132()
()2
2n n n b ---==，则21()32
n n b -=+，
即2
1
()
32
n -=+，得2111()()3423
n n n a =
++。
的换元为n b ，使得所给递推关系式转化11322
n n b b +=
+
形式，从
而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
数列专题训练包括通项公式求法和前n项和求法 的方法和习题
数列专题 1、数列的通项公式与前n 项的和的关系 11, 1,2 n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ). 2、等差数列的通项公式 *11(1)() n a a n d dn a d n N =+-=+-∈； 3、等差数列其前n 项和公式为 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-. 4、等比数列的通项公式 1*11()n n n a a a q q n N q -== ?∈； 5、等比数列前n 项的和公式为 11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=? 或 11,11,1 n n a a q q q s na q -?≠? -=??=?. 常用数列不等式证明中的裂项形式: （1）( 1111n n =-+n(n+1)1111 ()1 k n k =-+n(n+k);
(2) 211111()1211 k k k <=---+2k (3)211111111(1)(1)1k k k k k k k k k - =<<=-++-- (4) 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ??=- ??+++++?? ; (5) ()()11 1!!1! n n n n =- ++ (6) = < <=1(1)n n >+) 一.数列的通项公式的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =， 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①
数列通项公式的求法(较全)
常见数列通项公式的求法 公式： 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.
2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=， 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.
数列通项公式方法大全很经典精品
【关键字】方法、关键、关系、满足 1，数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以122 2 a 1 1==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故
求数列通项公式专题典型例题精校版
数列的通项公式专题 题型一【积差求商】形如1 1++?=-n n n n a ka a a 例1：已知数列}{n a 满足112++?=-n n n n a a a a ，且2 11=a ，求数列}{n a 的通项公式.变式训练1：已知数列}{n a 满足113++?=-n n n n a a a a ，且911=a ，求数列}{n a 的通项公式.变式训练2：已知数列}{n a 满足113++?=-n n n n a a a a ，且21=a ，求数列}{n a 的通项公式.题型二【n a 与n S 】 例2：已知数列}{n a 的前n 项和22+=n S n ，求数列}{n a 的通项公式.
变式训练1：已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足1)1(log 2+=+n S n ，求数列}{n a 的通项公式.变式训练2：已知数列}{n a 的前n 和为n S ，21=a ，且)1(1++=+n n S na n n ，求n a .变式训练3：已知数列}{n a 的前n 和为n S ，且满足21),2(,0211=≥=?+-a n S S a n n n ，求n a ．变式训练4：已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足2)1(4 1+=n n a S 且0>n a ，求}{n a 通项公式．变式训练5：数列{}n a 满足11154,3 n n n a S S a ++=+=，求n a .
题型三【累加法】形如已知1a 且()1n n a a f n +-=(()f n 为可求和的数列)的形式均可用累加法。例3：已知数列}{n a ，且21=a ，n a a n n =-+1，求通项公式n a .变式训练1：已知数列}{n a 满足21=a ，231++=+n a a n n ，求}{n a 的通项公式.变式训练2：已知数列}{n a ，且21=a ，n n n a a 21+=+，求通项公式n a .变式训练3：数列{}n a 中已知11=a ,3231+++=+n a a n n n ,求{}n a 的通项公式.
几种常见的数列的通项公式的求法
几种常见的数列的通项公式的求法 一． 观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,1716 4,1093,542,211 （3） ,5 2 ,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 2 2 ++=n n n a n （3）;12 += n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 二、公式法 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2， ∴2 213)2(q q b b -==q 2 ，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例 3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是 （ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 解析：设等差数列的公差位d ，由已知???==+??+12348)()(3 333a d a a d a ， 解得 ?? ?±==2 4 3d a ，又 {} n a 是递减数列， ∴ 2 -=d ， 8 1=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。 例 4. 已知等比数列 {}n a 的首项11=a ，公比10< 1，数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通 项公式． （二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比 数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-?? 数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是 以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法 （1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结 一、 形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ； 的通项公式，进而求得n a 。 二、 形n a a * ； 三、 形 ()x f x =） 情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是 以公比为A 的等比数列。 情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。 设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根； （1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列； （2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。 【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时， 由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】 求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则???-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =12-n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析：Θ 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥? ? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1 -n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就 可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析：Θ 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n Λ ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( )* ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析：Q 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈ 故3241123123411231 n n n a a a a n a a n a a a a n -===-g g g g L g g g g L g () 2,n n N *≥∈ 而11a =也适合上式，所以() n a n n N *=∈ 六、构造法： ㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是 关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法: 一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1b m k = - 故111n n b b a k a k k -? ?+=+ ?--? ? 求数列通项公式的常用方法 类型1、()n n S f a = 解法：利用???≥???????-=????????????????=-)2() 1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去 n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例 1 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？ 1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 112n n a a +=，又112a =，12n n a ??= ??? . 变式 1. 已知数列{}n a 中，3 1 1= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，求n a 变式2. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈． 求数列}{n a 的通项公式 变式3. 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列. 求数列{}a n 的通项公式； 变式4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．求数列{}n a 的通项n a 变式5. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈． 求数列}{n a 的通项公式； 变式6. 已知在正整数数列}{n a 中，前n 项和n S 满足2 )2(81+=n n a S （1）求证：}{n a 是等差数列 （2）若n b 3021 -=n a ，求}{n b 的前n 项 和的最小值 1.已知数列{a n}中，a1 =1，a n+1＝2a n＋4，,求数列{a n}的通项公式。 2.已知数列{a n}中，a1 =1，a n+1＝3a n＋4n＋1,求数列{a n}的通项公式。 3.已知数列{a n}中，a1 =1，3a n a n+1+2a n+1- a n＝0, 求数列{a n}的通项公式。4．[2012·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列． (1)求a1的值； (2)求数列{a n}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有1 a1＋1 a2＋…＋ 1 a n< 3 2. 5.2010全国(20)设数列满足且 . （1）求的通项公式； (Ⅱ)设. 6.2011广东20. 设数列满足, (1)求数列的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n,. {}n a 10a =111111n n a a +-=--{}n a 1,1n n n k n k b b S == =<∑记S 证明：0,b >{}n a 111=,(2)22 n n n nba a b a n a n --= ≥+-{}n a 1 112 n n n b a ++≤+ 7.（2010全国）已知数列{}n a 中，1111,n n a a c a +==- . （Ⅰ）设51,22 n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 . 8． [2012·全国卷] 函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)、Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标． (1)证明：2≤x n 数列通项公式的求法及数列求和方法详解 专题一：数列通项公式的求法 关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17 16 4,1093,542,211（3） ,5 2 ,21,32 , 1（4） ,5 4 ,43,3 2 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+?-=+n n a n n . 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和 { b n }的通项公式； 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 2010届高考数学快速提升成绩题型训练 ——数列求通项公式 在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 已知数列{}n a 中，3 1 1= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。 已知数}{n a 的递推关系为43 2 1+= +n n a a ，且11=a 求通项n a 。 在数列{}n a 中，11=a ,22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a 。 已知数列｛n a ｝中11=a 且1 1+=+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列. （1）求数列{}a n 的通项公式； 已知等差数列{a n }的首项a 1 = 1，公差d > 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项． （Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式； 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足 322-=+n a S n n )(*N n ∈． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； 设数列{}n a 满足2 1 123333 3 n n n a a a a -++++= …，n ∈* N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； 已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，1 n n n b a a +=（*n ∈N ），且{}n b 是以q 为公比的等比数列． （I ）证明：22n n a a q +=； （II ）若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列； 1. 设数列{a n }的前项的和S n = 3 1（a n -1） (n * ∈N )． (Ⅰ)求a 1；a 2； (Ⅱ)求证数列{a n }为等比数列． 3. 已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为 '()62f x x =-，数列{}n a 的 前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 7. 已知数列{}n a 的前n 项和S n 满足2(1),1n n n S a n =+-≥． (Ⅰ)写出数列{}n a 的前3项;,,321a a a (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式． 8. 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ?+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。 9. 已知数列}a {n 满足1a 1 n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。 10. 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 11. 已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 数列通项公式的几种求法 注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。 一、公式法 二、累加法 三、累乘法 四、构造法 五、倒数法 六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a = （七）、对数变换法 （当通项公式中含幂指数时适用） （八）、迭代法 （九）、数学归纳法 已知数列的类型 一、公式法 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 已知递推公式 二、累加法 )(1n f a a n n +=+ （1）()f n d = （2）()f n n = （3）()2n f n = 例 1 已知数列{} n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3 1.n n a n =+-） 三、累乘法 n n a n f a )(1=+ （1）()f n d = （2）()f n n =， 1 n n +，2n 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 （(1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???） 评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+，进而求出 13211221 n n n n a a a a a a a a a ---?????L ，即得数列{}n a 的通项公式。 例4 （20XX 年全国I 第15题，原题是填空题） 已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。（! .2 n n a = ） 评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥，进而求出 132122 n n n n a a a a a a a ---????L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 1，数列通项公式的几种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是 以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法 一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12 -=n s n 变式练习： 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2 +n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和2 12 n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 数列专题1：求数列的通项公式 一、观察法 例1、用观察法写出下列数列的一个通项公式： （1）1，6，15，28，45，… （2）5，55，555，5555，55555，… （3）1，2+3，3+4+5，4+5+6+7，5+6+7+8+9，… （4）21，65-，1211，2019-，30 29 ，… 二、由n S 求n a （作差法） 给出数列{}n a 的前n 项和为n S 或1+n S 与n S 的递推关系，或者给出数列{}n a 的前n 项和 n S 与n a 的递推关系，求通项n a 型一：2 111 ≥=?? ?-=-n n S S S a n n n 【法一】“1--n n S S ”代入消元消n a ； 【法二】写多一项，作差消元消n S ． 【注意】检验1=n 的值，若1a 的值适合n a 的表达式，应把1a 合并到n a 中去，否则应 写成分段形式． 型二：??? ??≥==-)2( ) 1( 1 1n T T n T a n n n 【法一】“ 1 -n n T T ”代入消元消n a ， 【法二】写多一项，作商消元消n T . 例2、（1）若)1(21+-=+n n S n n ，求n a ； （2）若11=a ，)(12 3 *1N n S S n n ∈+=+，求n a ． 【变式2】设数列{}n a 的前n 项和为n S （1）若)(3*2N n n n S n ∈-=，求n a ． （2）若n n a S 31+=（* N n ∈），0≠n a ，求n a ． 三、累加、类乘法 型一：)(1n f a a n n =--或)(1n f a a n n +=+，用累加法求通项公式 ) 1()2()2()1(1223211f a a f a a n f a a n f a a n n n n +=+=-+=-+=--- ? 的情况 检验，1) () 1()2()2()1(21 1 11=+=-+-++++=≥∑-=n i f a n f n f f f a a n n i n 型二： )(1 n f a a n n =-或n n a n f a )(1=+，用累乘法求通项公式 )1()2()2()1(1 223211f f n f n f a a a a a a a a n n n n ???-?-=????--- 1)1()2()2()1(,2a f f n f n f a n n ????-?-=≥ 检验1=n 的情况 ?数列通项公式方法大全很经典
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