和绝对值有关的问题
和绝对值有关的问题
一、知识结构框图：
数
二、绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
也可以写成：
()
()
() ||0
a a
a a
a a
?
??
=?
?
-
??
当为正数
当为0
当为负数
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）
A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c
|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++
的值（ C ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号
解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：
所以
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=，
（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6
（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：
若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12
若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12
例4．（整体的思想）方程20152015x x -=- 的解的个数是（ D ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无穷多个
分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2015看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。
例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．
0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x
1)
1(+=--x x ()()()()()()
1111112220142015ab a b a b a b ++++++++++L 分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|a b －2|=|a －1|=0，解得：a=1,b=2 于是()()()()()()
1111112220142015ab a b a b a b ++++++++++L 11112233420152017
11111112233420152017112017
20162017=
++++???=+-+-++-=-=K K 在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，有兴趣的同学可以在课下继续探究。
例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相
等 .
（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距
离
可以表示为 ．
分析：点B 表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B 所在的位置。那么
点A 呢？因为x 可以表示任意有理数，所以点A 可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A 与B 两点间的距离呢？
结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x<-1时，距离为-x-1, 当-1
综上，我们得到A 与B 两点间的距离可以表示为1+x
（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 5 ，取得最小值时x 的取值范围为 -3≤x_≤2______.
分析：2-x 即x 与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x 与2之间的距离。
)3(3--=+x x 即x 与-3的差的绝对值，
它也可以表示数轴上x 与-3之
间的距离。
如图，x 在数轴上的位置有三种可能：
图1 图2 图3
图2符合题意
（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 x<-4或x>-1
分析： 同理1+x 表示数轴上x 与-1之间的距离，4+x 表示数轴上x 与-4
之间的距离。本题即求，当x 是什么数时x 与-1之间的距离加上x 与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1。 说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，B A - 表示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数B 的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。
四、 小结
1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性
2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用
2019-2020年七年级上册和绝对值有关的问题典型例题(含答案)
2019-2020年七年级上册和绝对值有关的问题典型例题（含答案） 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析： 解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值
的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 0 )()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x
绝对值问题的求解方法
绝对值问题的求解方法 一、定义法 例1 若方程只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。 分析与解因为方程只有负数解，故，原方程可化为： ， ∴， 即 说明绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。 二、利用非负性 例2 方程的图象是（） （A）三条直线： （B）两条直线： （C）一点和一条直线：（0，0）， （D）两个点：（0，1），（－1，0）
分析与解由已知，根据非负数的性质，得 即或 解之得：或 故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。 说明利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。 三、公式法 例3 已知，求的值。 分析与解， ∴原式 说明本题根据公式，将原式化为含有的式子，再根据绝对值的定义求值。 四、分类讨论法 例4 实数a满足且，那么
分析与解由可得 且。 当时， ； 当时， 说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。 五、平方法 例5 设实数a、b满足不等式，则 （A）且 （B）且 （C）且 （D）且 分析与解由于a、b满足题设的不等式，则有 ，
整理得 ， 由此可知，从而 上式仅当时成立， ∴，即且， 选B。 说明运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。 六、图示法 例6 在式子中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析与解问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使最小（如图）。 由于是当P点在线段AD上取得最小值3，是当P在线段BC上取得最小值1，故的最小值是4。选D。 说明由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。
第一讲 和绝对值有关的问题(部分含答案)
第一讲和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x
初一数学绝对值难题解析
初一数学绝对值难题解析 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： （1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0） （2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？ 答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b， 解得b＝0，这时a≥0；
和绝对值有关的问题
和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程20152015x x -=- 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2015看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x
专题-含有绝对值图像及综合问题
关于绝对值的图像 法一：图像变换；法二：分类讨论改写成分段函数 一关于max 与min 1 （2008江西理科）函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间( 2 ，2)内的图象大致是 A B C D 二转化分段函数 1 作出函数y ＝x ｜2－x ｜的图像 2 函数的大致图像为（） ． 3 函数()f x cos x tan x =?在区间322,ππ?? ??? 上的图像为（） 2|log | 1 ()2 x f x x x =- -
三相关应用 1 求函数()2 21y x x x R =+--∈的最小值 答案：最小值是 34 2 已知函数()()(),2 210f x x a g x x ax a =-=++>且函数()f x 与()g x 的图像与y 轴交于同一点。 （1）求a 的值； （2）求函数()()f x g x +的单调增区间。 答案：（1）a=1；（2）,1 2??-+∞???? 3 已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-= （1） 如果[]1,4x ∈，求函数()()() ()1h x f x g x =+的值域； （2） 求函数()()()()() 2 f x g x f x g x m x +--= 的最大值； 答案：（1）换元法。（2）()()()()()()()22,log ,02 32log ,2,g x f x g x x x m x x x f x f x g x ≥?<≤??==??->时()1m x <，所以()max 1m x = 此时 2 x =。 4
初中数学绝对值专项练习题有问题详解
标准、据探测，月球表面白天垂直照射的地方温度高达127℃，而夜晚温度可降低到1 ℃℃．根据以上数据推算，在月球上昼夜温差有零下183，则此时甲、乙，乙走了—32m、甲、乙两人在一条笔直的公路上，同时从2A地出发，记向右为正，甲走了+48m m 之间的距离是 （填“＞”、“＜”或“=”）3 、比较大小：－－3的非负整数是4、大于－2而小于集合．、从正有理数集合中去掉正分数集合，得到53，4，5，6．根据图，6、一个体的每个面分别标有数字12，?中该体三种状态所显示的数据，可推出“？”处的数字是多少？ 7、绝对值不小于3又不大于5的所有整数之和为__________ 8、写出一个值，使你写出的值为 . 9、在数轴上到-2所表示的点的距离为3个单位长度的点表示的数是 . 10、如果m＞0，n＜0，m＜|n|，那么m、n、﹣m、﹣n的大小关系是． 11、下表是我市某一天在不同时段测得的气温情况：则这一天气温的极差是℃． 文案． 标准时间0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 18℃17气温℃19℃26℃27℃22℃ ABCABACBC中点间距离是．中点与两点之间的距离是5 cm，是线段上的任意一点，
则12、已知，13、绝对值大于2，且小于4的整数有_______． abab= ，则│—+5│=014、若│+—4│ 。的两点之间的距离是__________15、数轴上表示数和表示二、简答题 元买了礼物去看爷爷，母亲节时他又取元，存入银行．十一放假取出35080016、某同学春节期间将自己的压岁钱) 元给妈妈买了礼物，则存上存入、支出情况显示为( 出100+100 ，+800，+350100 ．+800，+350，﹣B．A +100 350，．﹣，﹣100 D800，﹣，﹣C．+800350分别填入六个形，使得按虚线折成体后，相对，2710，7，，－2，－1017、右面是一个体纸盒的展开图，请把－) 分面上的两数互为相反数。(4 文案． 标准6分）18、根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（本题 B；：两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：、⑴请你根据图中AB观察数轴，与点A 的距离为4的点表示的数是：；⑵ ⑶若将数轴折叠，使得A点与－3表示的点重合，则B点与数表示的点重合； ⑷若数轴上M、N两点之间的距离为2014(M在N的左侧)，且M、N两点经过(3)中折叠后互相重合，则M、N 两点表示的数分别是：M: N: ． 19、数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, －5, －8 (1). 计算以下各点之间的距离：
七年级动点问题与绝对值有关的综合运用
图 1图 2 与绝对值有关的综合应用 【课前导读——知识要点】 一、数轴与运动：起点、方向、运动量?终点 1．如图1，点A 对应的数为a ，若点A 向右运动m 单位到达点B，则点B 对应的数为a m +； 2．如图2，点A 对应的数为a ，若点A 向左运动m 单位到达点B，则点B 对应的数为a m -； 注意：右加左减； 二、数轴上两点间的距离：求距离，大减小 如图，A 点对应的数为a ，B 点对应的数为b ，则线段AB 的长度为b a -； 三、数轴两点对应线段的中点：求中点，平均数 如图，A 点对应的数为a ，B 点对应的数为b ，则线段AB 的中点M 对应的数为 2 a b +； 解：设M 点对应的数为x （如图）. 则有：MA= ，BM= ， ∵M 为线段AB 的中点，∴MA=BM，∴ ， ∴x = ，即点M 对应的数为 . （a 、b 的平均数） 四、利用绝对值性质解绝对值方程： 1．若x a =（0a ≥），则x a =±?若()f x a =（0a ≥），则()f x a =±； 2．若a b =，则a b =或0a b +=?若()()f x g x =，则()()f x g x =或()()f x g x =； 3．若()()f x g x =，则()()f x g x =或()()f x g x =，但需要检验()0g x ≥； 4．若()()f x g x a ±=，零点分段讨论法分别去掉两个绝对值符号； 【新知讲授】 例一、已知数轴上A、B 两点对应的数分别为-2和4，P 点为数轴上的一点，若P 点到A 点的距离是P 点到 B 点距离的2倍，求P 点对应的数. x
初一数学绝对值难题解析
初一数学绝对值难题解析 令狐采学 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： （1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0） （2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－ b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c 的点在原点左侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？
绝对值问题的解法
绝对值问题的解法 绝对值是初中代数中的重点内容，也是复习的难点，深刻的理解绝对值的概念，牢固地掌握绝对值的性质，是解决绝对值问题的关键，现将绝对值有关性质总结如下： ⑴若a＞0,则∣a∣=a; 若 a=0, 则∣a∣=a, 若 a＜0, 则∣a∣= - a。 ⑵∣a∣≧0,即绝对值的非负性。 ⑶∣a∣+∣b∣=0,则a=0,b=0。 ⑷∣a∣=m,则a=m或a=-m。 下面举例说明绝对值问题的解法。 一、运用绝对值概念： 例1、若x＜-2,则y=∣1-∣x+1∣∣等于（）。 （A）2+x (B) -2-x (C) x (D) –x 解：∵x＜-2, ∴1+x＜0 ∴∣1+x∣=(1+x)=-1-x 于是y=∣1-(-1-x)∣=∣2+x∣ 又∵2+x＜0,∴y=-(2+x)=-2-x,故选（ B ）。 二、平方法： 例2、已知实数 a满足∣1-a∣=1+∣a∣, = 。 解：原式两边平方得： 1-2a+ a 2 =1+2∣a∣+ a 2 ∵∣a∣=-a,即a≤0 ∴∣a-1∣=1-a 三、分类讨论法： 例3、若ab＞0,则∣a∣／a+ ∣b∣／b- ∣ab∣∕ab的值等于。 解：∵ab＞0,∴a、b同号。 ⑴若a、b同正，则∣a∣=a,∣b∣=b,∣ab∣=ab ∴∣a∣／a+ ∣b∣／ b-∣ab∣／ab=1+1-1=1。 ⑵若a、b同负，则∣a∣=-a,∣b∣=-b,∣ab∣=ab,∴∣a∣／a+∣b∣／b-∣ab∣／ ab=-1-1-1=-3。 综上所述，本题答案为1或-3。 四、应用非负数性质： 例4、若∣x-y+2∣与∣x+y-1∣=0 ∵ x+y-1=0
和绝对值相关的函数问题
和绝对值相关的函数问题 一、热点追踪 例1.(1)函数()||x f x e x a =-在(1,2)-上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． (2)已知函数()||ln f x x x a x =--，求函数)(x f y =的单调区间． 例2(1)已知函数||)(a x x x f -=在[0，2]上的值域为[0，4]，则实数a 的取值范围是 ． (2)已知函数|1||2|)(++-=x a x x f ，若)(x f 的最小值为1，则实数a 的值是 ． 串讲： 1.已知函数||)(2a x x x f -=，存在]2,1[∈x ，使得2)(
变式：求函数2()2([0,1],)f x x x a x a R =+-∈∈的最小值． 例3已知函数x a x x x f 2||)(+-=.若存在]4,4[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a tf x f =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是 ． 串讲： 函数2()3,f x x x =+若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为_________ 拓展： 1.已知函数f (x )＝???ax －1， x ≤0，x 3－ax ＋|x －2|，x ＞0 的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是_______． 2.若函数0,),,(|2|)(>?∈--=b a R b a b ax x x f ，总存在]2,1[0∈x ，使得m x f ≥)(0，则实数m 的取值范围是 ．
2016上海初一数学绝对值难题解析
2016上海初一数学绝对值难题解析 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： （1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0） （2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？ 答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b， 解得b＝0，这时a≥0；
绝对值的最值问题
【例题1】：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？ 分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程 可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值） 1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40 3）当-13
关于某绝对值函数的问题解决精华(含问题详解)
. 下载可编辑 . 关于绝对值函数的问题解决 有一道某地高三模拟考试题，涉及到绝对值函数，用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性。 试题 已知函数1)(2 -=x x f ，|1|)(-=x a x g . （1） 若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，数a 的取值围； （2） 若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，数a 的取值围； （3） 求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演．．．．． 算步骤．．． ）. 解答 （1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a < . （2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；
. 下载可编辑 . ②当1x ≠时，（*）可变形为21|1| x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ?+>?-==?-+<-? 因为当1x >时，()2x ?>，当1x <时，()2x ?>-， 所以()2x ?>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所数a 的取值围是2a -≤. （3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ?+--?--++->即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ② 当01,22 a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2 a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ③ 当10,02 a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2 a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④ 当3 1,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2 a -上递减，
上海初一数学绝对值难题解析
上海初一数学绝对值难题 解析 Revised final draft November 26, 2020
2016上海初一数学绝对值难题解析 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左 侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| （2）|a－c|－|a＋c| 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？ 第二类：考察对绝对值基本性质的运用 5、已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，求x＋y＋2012的值？ 6、设a、b同时满足： (1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1； (2) |a－4|＝0；那么ab等于多少？ 7、设a、b、c为非零有理数，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0, 请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c| 。 8、满足|a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）共有几对？
绝对值的化简问题
绝对值的化简问题 【知识梳理】 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“ ”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? # 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； （5）a b a b a b -≤+≤+，
对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； ! 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立． 绝对值几何意义 当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值． 零点分段讨论的一般步骤： 找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离． 【例1】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．x 的几何意义 是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； — 【例2】 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； 【例3】 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若 31x -=，则x = ． 【例4】 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若
绝对值的化简问题
绝对值的化简问题 【知识梳理】 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“ ”，求一个数的绝对值，就是根据性质去 掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； （5）a b a b a b -≤+≤+， 对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；
对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立． 绝对值几何意义 当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值． 零点分段讨论的一般步骤： 找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离． 【例1】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．x 的几何意义 是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； 【例2】 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则 21-= ； 【例3】 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若 31x -=，则x = ． 【例4】 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若 22x +=，则x = ．
关于绝对值函数的问题解决精华(含答案)
1 关于绝对值函数的问题解决 有一道某地高三模拟考试题，涉及到绝对值函数，用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性。 试题 已知函数1)(2 -=x x f ，|1|)(-=x a x g . （1） 若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2） 若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，求实数a 的取值范围； （3） 求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演算．．．．．． 步骤．． ）. 解答 （1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1 x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a < . （2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；
2 ②当1x ≠时，（*）可变形为21 |1| x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ?+>?-==?-+<-? 因为当1x >时，()2x ?>，当1x <时，()2x ?>-， 所以()2x ?>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤ . （3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1), 1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ?+--? --++->即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ② 当01,22 a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2 a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ③ 当10,02 a a -<<即-2≤ ≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2 a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④ 当3 1,222a a -<-<-即-3≤ ≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2 a -上递减，