数学建模作业——实验1

学院：软件学院

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班级：软件工程2015级 GCT班

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日期：2016年5月10日

基本实验

1.椅子放平问题

依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。

答：能放平，证明如下：

如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0，

则一定存在α’∈（0，π），使得

f(α’)=g(α’)=0

令α=π（即椅子旋转180°,AB 边与CD 边互换），则

f(π)=0，g(π)＞0

定义h(α)= f(α)-g(α)，得到

h(0)=f(0)-g(0)＞0

h(π)=f(π)-g(π) ＜0

根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（ 0，π），使得

h(α’)= f(α’)-g(α’)=0

结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到

f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。

2. 过河问题

依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。

答：用i =1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。1=i x 在此岸，0

=i x 在对岸，()4321,,,x x x x s =此岸状态，()43211,1,1,

1x x x x D ----=对岸状态。安全状态集合为 :

乘船方案，记作()4321,,,u u u u U =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为

()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=U

因为乘船k 为奇数时船从此案驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态k s 随决策k U 变化的规律为

()k

U k

k s k s 11-+=+，设计安全过河方案归结为求决策,,,,21U U U U n ∈ ，使状态S

s k ∈按转移律由初始状态()1,1,1,

11=s 经有限步n 到达状态()0,0,0,01=+n s 。根据题设条件:影响安全渡河的元素是猫、鸡、米，这3个元素中取2个元素的组合一共有=3种，分别为猫+鸡，猫+米，鸡+米。其中“猫+鸡”和“鸡+米”组合不安全，而“猫+米”的组合是安全的。第一次渡河需带3个元素中的1个元素，另外2个元素留在岸上，而留在岸上的3种组合中只有“猫+米”的组合是安全的，可见第一次渡河只能带鸡，即安全方案只有U=(1，0，1，0)，第二次将米或者猫带到对岸，把鸡带回，第三次将猫或者米带到对岸，第四次将鸡带过河，至此，猫、鸡、米均安全过河。具体有2种执行方案如下：

上述方案直观表示如下：

3.购房贷款问题（续）

在1.2.3节“购房贷款”的问题中，我们讨论了小王夫妇借贷还贷的方式。现进一步讨论此问题。

某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户（利率仍按06%/月计算），他们帮你提前3年还清贷款。但条件如下：

（1）每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；

（2）因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此，要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。

试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。

答：设每月还款额为x，利率r,贷款额A0，总还款月数为N，总还款额为X。若贷款20万，20年期，则：

x===1574.7元

X=x×N=1574.7×240=377928元

若请这家借贷公司还款，则

还款总额X1=x(N-3×12)+ 10%A0=1574.7×204+20000=341238.8元但小王夫妇预付给借贷公司20000元的佣金，如果把这20000元作为首付，则小王夫妇只需贷款18万，则总还款额：

X2=X(1-10%)=340135.2元

还款月数：

N2=X2÷x=340135.2÷1574.7=216月=18年

X1＞X2，小王夫妇不需用借贷公司还款。

4.冷却定律

按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为T0(T0

如果空气的温度是20℃，且沸腾的水在20分钟内冷却到60℃，那么水温降低到30℃需要多长时间？

答：首先，牛顿冷却定律为温度为T(t)的物体在温度的环境中冷却的速度与温度差成正比。

所以，得出微分方程，K为比例常数。

任意时刻t，物体的温度为，C为常数

根据已知条件，T0=20℃,记t=0时刻，初始水温T（0）=100℃，20分钟后水温T（20）=60℃。则：

求解函数得，k=-0.034657，C=80，即

当水温降低到30℃时，t=-ln（（30-20）÷80）÷0.034657=60分钟。5.锻炼想象力、洞察力和判断力的问题（只简单回答出理由即可）（1）某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一山路下山，下午5时回到酒店。该人比在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？

答：题中人记作A，假定有另一个人B,第二天复制A第一天的上山过程（即任何时刻的足迹均相同），那么问题相当于A、B两人分别从一段路的两端同时出发，相向行走，同时到达另一端。则A、B二人必然会在路途中相遇，相遇点即为A在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。也可用下图加以说明，两条曲线分别为上山和下山的曲线，两天都是同一时刻出发，同一时刻到达，无论曲线如何变化，总会有一个相交点，相交点即为为A在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。