第五章 万有引力与航天(A)(解析版)

优创卷·一轮复习单元测评卷

第五章 万有引力与航天

A 卷 名校原创基础卷

一、选择题(本题共8小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，第1～6题只有一项符合题目要求，第7～10题有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.)

1.（2020·江苏省宜兴期末）观看科幻电影《流浪地球》后，某同学设想地球仅在木星引力作用下沿椭圆轨道通过木星的情景，如图所示，轨道上P 点距木星最近（距木星表面的高度可忽略）。则（ ）

A.地球靠近木星的过程中运行速度减小

B.地球远离木星的过程中加速度增大

C.地球远离木星的过程中角速度增大

D.地球在P 点的运行速度大于木星第一宇宙速度 【答案】D 【解析】

A.地球靠近木星时所受的万有引力与速度成锐角，做加速曲线运动，则运行速度变大，A 错误；

B.地球远离木星的过程，其距离r 变大，则可知万有引力增大，由牛顿第二定律：

2

GMm

ma r = 则加速度逐渐减小，B 错误；

C.地球远离木星的过程线速度逐渐减小，而轨道半径逐渐增大，根据圆周运动的角速度关系v

r

ω=，可知运行的角速度逐渐减小，C 错误；

D.木星的第一宇宙速度指贴着木星表面做匀速圆周的线速度，设木星的半径为R ，满足1GM

v R

过P 点后做离心运动，则万有引力小于需要的向心力，可得

22P v Mm

G m R R

<

可推得：

1P GM

v v R

>

= 即地球在P 点的运行速度大于木星第一宇宙速度，D 正确； 故选D 。

2.（2020·江西省南康月考）如图所示为一卫星绕地球运行的轨道示意图，O 点为地球球心，已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，OA=R ，OB=4R ，下列说法正确的是（ ）

A.卫星在A 点的速率v gR >

B.卫星在A 点的加速度>a g

C.卫星在B 点的速率gR

v = D.卫星在B 点的加速度2

16B GM

a R <

【答案】A

【解析】A.在A 处，若为圆轨道，万有引力提供向心力

22Mm v G m R R

= 解得

GM

v R

=

结合

2Mm

G

mg R

= 解得

v gR =在椭圆轨道上，卫星在A gR A 正确； B.万有引力提供加速度

2Mm

G

ma r = 解得

2GM

a r

=

因为OA R =，所以

a g =

B 错误；

C.根据开普勒第二定律

41

A B v v = 根据机械能守恒定律

2211224A B Mm Mm

mv G mv G

R R

-=- 联立方程解得

B v =

=

C 错误；

D.万有引力提供加速度

2

16B Mm

G

ma R

= 解得

2

16B GM

a R

=

D 错误。 故选A 。

3.（2020·张家界市月考）月球公转周期为“一个月”，其天文学数据比日常生活中的30天要少3天，设月地距离为地球半径的n 倍，由此可知地球同步卫星到地心的距离为地球半径的（ ） A.

3

n

倍 B.

4

n 倍 C.

7

n 倍 D.

9

n 倍 【答案】D 【解析】

根据开普勒第三定律

3232r T r T =同同

月月

解得

2

3

3333221=279

T n r r n R R T =?=同同月月

ABC 错误，D 正确。 故选D 。

4.（2020·辽河油田期中）如图所示，A 、B 、C 三颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，已知三颗卫星的质量关系为A B C m m m =<，轨道半径的关系为A B C r r r <=，则三颗卫星（ ）

A.线速度大小关系为A B C v v v <=

B.加速度大小关系为A B C a a a >=

C.向心力大小关系为A B C F F F =<

D.周期关系为A B C T T T >= 【答案】B

【解析】人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，则有：2222

4GMm mv m r

ma r r T

π?===， 解得：GM v r =，2GM a r =，23

4r

T GM

π=

由题意有：A B C r r r <=，

因此可知线速度大小关系为：A B C v v v >=，加速度大小关系为：A B C a a a >=，周期关系为：

A B C T T T <=， 根据2

GMm

F r =

向和A B C m m m =<可知A B F F >，B C F F <， 故选项B 正确，A 、C 、D 错误.

5.（2020·浙江省高三二模）脉冲星是科学家不会放过的“天然太空实验室”，它是快速旋转的中子星，属于大质量恒星死亡后留下的残骸，也是宇宙中密度最高的天体之一。某颗星的自转周期为T （实际测量为

1.83s ，距离地球1.6万光年）。假设该星球恰好能维持自转不瓦解，令该星球的密度ρ与自转周期T 的相

关量为

2

1

T ρ为q 星，同时假设地球同步卫星离地面的高度为地球半径的6倍，地球的密度0ρ与自转周期0

T 的相关量

2

001

T ρ为q 地，则（ ） A.7q q =星地 B.q q =星地

C.149

q q =

星地 D.1

343

q q =

星地 【答案】D 【解析】

由2

24F m R T

π=，可得周期越小，物体需要的向心力越大，物体对星球表面的压力越小，当周期小到一定

值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即

2

22Mm m R R T G π?? ???

= 又

34

3

M R ρπ=

联立解得

213G q T ρπ

==星 地球的同步卫星的轨道是地球的半径的7倍，对地球的同步卫星

()

()2

002

20

0477M m G

m R T R π'

='

又

30004

3

M R ρπ=

联立解得

2

0011029G

q T ρπ

==地

1

=

343

q q 星地 故选D 。

6.（2020·江苏省扬州联考）为了实现人类登陆火星的梦想，我国宇航员王跃和俄罗斯宇航员一起进行了“模拟登火星”的实验活动，假设火星半径与地球半径之比为1∶2，火星质量与地球质量之比为1∶9。已知地表的重力加速度为g ，地球半径为R ，万有引力常量为G ，忽略自转的影响，则（ ） A.火星表面与地球表面的重力加速度之比为2∶9

B.∶3

C.火星的密度为

3g

GR

π

D.若王跃以相同初速度在火星表面与地球表面能竖直跳起的最大高度之比为9∶2 【答案】B 【解析】 A.由

2

Mm

G

mg R = 得

2M

G

g R

= 已知火星半径是地球半径的12，质量是地球质量的19，则火星表面的重力加速度是地球表重力加速度的4

9

，

故A 错误； B.根据

2

2Mm v G m R R

= 得

v =

已知火星半径是地球半径的12，质量是地球质量的19，则火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的3

倍，故B 正确；

2Mm

G

mg R

= 得，地球的质量

G

gR M 2

= 地球的密度

3344ππ3

M g GR R ρ=

=

火星表面的重力加速度是地球表重力加速度的49，火星半径是地球半径的12

，则火星的密度为23πg GR ，故

C 错误；

D.火星表面的重力加速度是地球表重力加速度的4

9

，根据22v h g =知，在火星表面与地球表面能竖直跳起的

最大高度之比为9：4，故D 错误。 故选B 。

7.（2020·江西省南康月考）2019年4月10日，“事件视界望远镜"项目正式公布了人类历史上第一张黑洞照片.黑洞是一种密度极大，引力极强的天体，以至于光都无法从天体表面逃逸，所以称为黑洞，理论分析表明，任意天体的逃逸速度是环绕速度(第一宇宙速度)的2倍.如果天文学家观测到距离某果洞为r 的天体以速度v 绕该黑洞做匀速圆周运动.已知光速为c ，引力常最为G .下列关于该黑洞的说法，正确的是（ ）

A.该黑洞质量为2v r

G

B.该黑洞质量为2Gv r

C.该黑洞的最小半径为222v r

c

D.该黑洞的最大半径为222v r

c

【答案】AD 【解析】

由于某天体绕黑洞做匀速圆周运动，则天体所受的万有引力等于向心力，则有：2

2Mm v G m r r

=，解得：

2v r

M G =，A 正确，B 错误；设“黑洞”的可能半径为R ，质量为M ，逃逸速度大于真空中光速的天体才能成为黑洞，所以需满足逃逸速度2GM R 大于光速c ；即有2

2GM R c ≤，又2v r

M G

=，代入可得，该黑洞最大半径222v r

R c

=，C 错误，D 正确.

8.（2020·广西壮族自治区桂林期中）如图所示，a.b 两颗卫星在同一平面内绕地球做匀速圆周运动，其中b 为地球同步卫星（周期为1天）。地球的质量为M 。半径为R ，引力常量为G 。下列说法错误的是（ ）

A.地球北极附近的重力加速度大小为

2

GM

R B.a 运行的线速度小于b 运行的线速度 C.a 运行的周期大于1天

D.根据开普勒第二定律可知，在相同时间内，a .b 与地心连线扫过的面积相等 【答案】BCD 【解析】

C.开普勒第三定律可知，卫星的轨道半径越大，运行的周期越长，因b 运行的周期为1天，故a 运行的周期小于1天，故C 符合题意；

B.因a 的轨道半径比b 的轨道半径小，故a 运行的线速度大于b 运行的线速度，故B 符合题意； A.根据

2

GMm

mg R

= 可得

2

GM

g R =

故A 不符合题意；

D.对同一行星而言，它与中心天体的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故D 符合题意。 故选BCD 。

9.（2020·江西省南昌月考）美国国家航空航天局宣布首次在太阳系外发现“类地”行星Kepler-186f 。若宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星表面进行科学考察，在行星表面h 高度(远小于行星半径)处以初速度v 水平抛出一个小球，测得水平位移为x 。已知该行星半径为R ，自转周期为T ，万有引力常量为G 。则下列说法正确的是（ ）

A.该行星表面的重力加速度为222hv x

B.该行星的质量为22

2

2hv R Gx

C.R

D.【答案】ABC 【解析】

A.根据平抛运动的规律可知：212h gt =，x vt =解得2

2

2hv g x

=，A 正确； B.根据2Mm mg G R =，得行星的质量222

2

2gR hv R M G Gx

==，B 正确；

C.根据2224()()Mm G m R h R h T π=++得，又2

GM gR =，解得h R =，C 正确；

D.根据2

v mg m R

=得，行星的第一宇宙速度v ==D 错误。 10.（2020·辽宁省沈阳月考）2017年10月16日，美国激光干涉引力波天文台等机构联合宣布首次发现双中子星并合引力波事件.如图为某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动的示意图，若A 星的轨道半径大于B 星的轨道半径，双星的总质量M ，双星间的距离为L ，其运动周期为T ，则（ ）

A.A 的质量一定大于B 的质量

B.A 的线速度一定大于B 的线速度

C.L 一定，M 越大，T 越大

D.M 一定，L 越大，T 越大 【答案】BD 【解析】

设双星质量分别为A B m m 、，轨道半径分别为A B R R 、

，角速度相等且为ω，根据万有引力定律可知：22A B A A m

m G m R L ω=， 2

2A B B B m m G m R L ω=，距离关系为：A B

R R L +=，联立解得：A B B A

m R m R =，因为A B R R >，所以A 的质量一定小于B 的质量，故A 错误；根据线速度与角速度的关系有：

A A

B B v R v R ωω==、，因为角速度相等，半径A B R R >，所以A 的线速度大于B 的线速度，故B 正确；又

因为2T π

ω

=，联立以上可得周期为：()3

2A B L T G m m π=+，所以总质量M 一定，两星间距离L 越大，

周期T 越大，故C 错误，D 正确.所以BD 正确，AC 错误.

二、非选择题（本大题共6小题，共60分）

11.（8分）（2020·江苏省宜兴中学高一期末）地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍，一飞行器在近地圆轨道1上，经一系列变轨后在近月圆轨道2上运行，已知地球中心到月球中心的距离为r 求：

（1）飞行器在近地圆轨道1上受到地球的引力F 1与在近月圆轨道2上受到月球的引力F 2的比值； （2）O 为地月连线上一点，飞行器在该点受到地球和月球的引力的合力为零，求O 点到地心的距离r 1.

【答案】（1）81

16

（2）

9

10

r

【解析】

（1）由万有引力定律得飞行器在近地圆轨道1上受到地球的引力

1

12

1

mM

F G

R

=

在近月圆轨道2上受到月球的引力

2

22

2

mM

F G

R

=

所以

2

112

2

221

81181

11616

F M R

F M R

=?=?=

（2）由题意可得

12

22

12

()()

mM mM

G G

r r

=

12

r r r

+=

联立解得

1

9

10

r r

=

12.（9分）（2020·江西省南康中学高一月考）如图所示，宇航员站在某一质量分布均匀的星球表面一斜坡上的P点沿水平方向以初速度0v抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为θ，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：

（1）该星球表面的重力加速度g；

（2）该星球的第一宇宙速度v；

（3）人造卫星在该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T。

【答案】（1）0

2tan

v

g

t

θ

=；（20

2tan

v R

t

θ

3

2

2

tan

Rt

v

π

θ

【解析】

（1）小球做平抛运动，水平位移

0x v t =

竖直位移

212

y gt =

由位移关系得

2012tan gt y x v t θ==

02tan v g t

θ

=

（2）该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供

2

2GMm v m R R

= 该星球表面物体所受重力等于万有引力

2

GMm

mg R

= 得

v ==

（3）人造卫星的向心力由万有引力提供

2

2

24GMm m r r T

π=

T ==当r R =时，T 最小

T ===13.（9分）（2020·广西壮族自治区桂林期中）已知月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞船在绕

月球的圆形轨道Ⅰ上运动，轨道半径为r ，r ＝4R ，到达轨道Ⅰ的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G ，求： （1）第一次点火和第二次点火分别是加速还是减速； （2）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；

（3）飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间。

【答案】（1）都减速；（2）01

2

v g R =3）02g R T =【解析】

(1)由高轨道到低轨道，需要出卫星所需要的向心力小于万有引力，故要减速才可实现，即第一次点火与第二次点火都是减速；

(2)由题意可知轨道I 的轨道半径为4R ，由万有引力提向心力，设飞船的质量为m ，运行速率为v ，根据牛顿第二定律有

2

2

(4)4Mm v G m R R

= 解得

01

2

v g R =

(3)由题意可知轨道Ⅲ的轨道半径为R ，设运行周期为T ，根据牛顿第二定律有

2

224Mm G m R R T

π= 代入月球质量可得

2g R

T π

=14.（10分）月球半径约为地球半径的

14，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的1

6

，把月球和地

球都视为质量均匀分布的球体.求：

(1)环绕地球和月球表面运行卫星的线速度之比

v v 地

月

； (2)地球和月球的平均密度之比

ρρ地

月

. 【答案】（1

）v v =地月2） 1.5ρρ=地

月

【解析】

（1）根据题意，在月球表面物体的重力等于万有引力：2

Mm

G

mg R = 由万有引力定律提供向心力得：2

2Mm v G m

R R

=

联立解得：v =

所以：

v g R v g R 地地地

月月月

== （2）设想将一质量为0m 的小体放在天体表面处.由万有引力定律可得 在月球表面物体的重力等于万有引力：0

02Mm G

m g r

= 又因为：

343

M

r ρπ=

联立解得：4g

G r

ρπ=

所以地球和月球的平均密度之比为：

3

2

g r g r ρρ==月地地月月地 15.（10分）（2020·江苏省如皋月考）2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”（LIGO ）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并.已知光在真空中传播的速度为c ，太阳的质量为M 0，万有引力常量为G .黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在.假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体。

(1)因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在。天文学家

观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T ，半径为r 0的匀速圆周运动.由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞。利用所学知识求此黑洞的质量M ；

(2)严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在。我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m 1、m 2的质点相距为r 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为12

p m m E G

r

=-（规定无穷远处势能为零）.请你利用所学知识，推测质量为M ′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径R 最大不能超过多少？

【答案】(1)23

02

4r M GT

π=；(2)22GM R c '= 【解析】

(1)小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m ，根据万有引力定律和牛顿第二定律

2

0202Mm G m r r T π??

= ???

解得

23

02

4r M GT π=

(2)设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处，根据能量守恒定律

2102Mm mv G R ??+-= ??

? 解得

2

2GM R v

'

=

因为连光都不能逃离，有v = c 所以黑洞的半径最大不能超过2

2GM R c

'

=

16.（14分）（2020·江西省南康月考）由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）若A 星体的质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：

（1）A 星体所受合力的大小F A ； （2）B 星体所受合力的大小F B ； （3）C 星体的轨道半径R C ； （4）三星体做圆周运动的周期T .

【答案】（1）2223Gm a （227Gm （37 （4）3

πa T Gm

= 【解析】

（1）由万有引力定律，A 星体所受B 、C 星体引力大小为

2

4222A B R CA m m m F G G F r a

===，

则合力大小为

223A m F G a

=

（2）同上，B 星体所受A 、C 星体引力大小分别为

222

2

22

2A B AB C B CB

m m m F G G r a

m m m F G G r a

==== 则合力大小为

2

2cos 602Bx AB CB m F F F G a =?+=

2

2sin 603By AB m F F G a

=?=.

可得

2

2B m F a

==

（3）通过分析可知，圆心O 在中垂线AD 的中点，

C R == （4）三星体运动周期相同，对C 星体，由

2

2

22C B C m F F m R a T π??=== ???

可得

T =