基本初等函数图像及性质大全(初中高中)
基本初等函数图像及性
质大全(初中高中) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一、一次函数与二次函数
（二）二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．
（3）二次函数图象的性质
顶点坐标
2
4
,
24
b a
c b a a
?
?
-
-
?
?
?
值域
2
4
,
4
ac b
a
??
-
+∞
?
??
2
4
,
4
ac b
a
??
-
-∞
?
??
单调区间
,
2
b
a
??
-∞-
?
??
递减
,
2
b
a
??
-+∞
?
??
递增
,
2
b
a
??
-∞-
?
??
递增
,
2
b
a
??
-+∞
?
??
递减
①.二次函数2
()(0)
f x ax bx c a
=++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,
2
x
a
=-
顶点坐标是
2
4
(,)
24
b a
c b
a a
-
-
②当0
a>时，抛物线开口向上，函数在(,]
2
b
a
-∞-上递减，在[,)
2
b
a
-+∞上递增，当2
b
x
a
=-时，
2
min
4
()
4
ac b
f x
a
-
=；当0
a<时，抛物线开口向下，函数在(,]
2
b
a
-∞-上
递增，在[,)
2
b
a
-+∞上递减，当
2
b
x
a
=-时，
2
max
4
()
4
ac b
f x
a
-
=．
二、幂函数
（1）幂函数的定义
叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．
过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
三、指数函数
（1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n
a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a
a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．
（3）运算性质
①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （4）指数函数
四、对数函数
（1）对数的定义： ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作
log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化： log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式： log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中
2.71828e =…）．
（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M
M N N
-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =
⑤log log (0,)b n a a n
M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：
log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且 （5）对数函数
五、反函数 （1）反函数的概念
设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子
()x y ?=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一
确定的值和它对应，那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数，函数()x y ?=叫做函数
()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．
（2）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；
②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；
③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （3）反函数的性质
①原函数()y f x =与反函数
1
()y f x -=的图象关于直线y x =对称． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．
六、三角函数的图像和性质 （一）正弦与余函数的图像与性质
函数 x y sin =
x y cos =
图像
定域义
R
R
值域 []1,1-
[]1,1-
最值
2,1 2
2,1 2
x k y k Z
x k y k Z
π
ππ
π=
+=∈=-
+=-∈最大最小时，时，
2, 1 2,1
x k y k Z x k y k Z πππ==∈=+=-∈最大最小时，时， 单调性
[2,
2]22
3[2,2]22
Z
k k k k k π
π
πππ
π
ππ-
++++∈在每个上递增
在每个上递减
[2,2][2,2] Z
k k k k k ππππππ-++∈在每个上递增
在每个上递减 奇偶性 奇函数
偶函数
周期性 是周期函数，2π为最小正周期 是周期函数，2π为最小正周期 对称性 对称中心(,0)k π，
:,()2
x k k Z π
π=
+∈对称轴
对称中心(
,0)2
k π
π+，
:,()x k k Z π=∈对称轴
2. 正切与余切函数的图像与性质
函数
x y tan = x y cot =
图像
定域义
{|,}
2
x x R x k k Z
π
π
∈≠+∈
且
{|,}
x x R x k k Z
ππ
∈≠+∈
且
值域R R
单调性
(,)
22
Z
k k
k
ππ
ππ
-++
∈
在每个上递增
(,)
Z
k k
k
πππ
+
∈
在每个上递减
奇偶性奇函数奇函数
周期性是周期函数，π为最小正周期是周期函数，π为最小正周期
对称性
对称中心(,0)
2
kπ
对称中心(,0)
2
kπ
七、反三角函数的图像与性质
1. 反正弦与反余函数的图像与性质
函数
反正弦函数
arcsin
y x
=
是
sin,
22
y x x
ππ
??
=∈-
??
??
，
的反函数
反余弦函数arccos
y x
=
是[]
cos0,
y x xπ
=∈
，的反函数
图像
定域义 []1,1-
[]1,1-
值域 ,22ππ??-????
[]0,π 单调性 [1,1]-+在上递增
[1,1]-+在上递减
奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无
无
对称性
对称中心(0,0)
对称中心(0,)2
π
2. 反正切与反余切函数的图像与性质
函数
反正切函数arctan y x =
是tan (,)22
y x x ππ=∈-，的反函数
反余切函数arccot y x =
是()cot 0,y x x π=∈，的反函数
图像
定域义 (,,)-∞+∞
(,,)-∞+∞
值域 ,22ππ??
- ?
?
? ()0,π
单调性 (,,)-∞+∞在上递增 (,,)-∞+∞在上递减 奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无
无
对称性
对称中心（0，0）
对称中心（0，π/2）