圆中三大切线定理

14 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版

围田地

漫画释义

满分晋级阶梯

圆7级

期末复习之圆中的

重要结论及应用

圆6级

期末复习之圆的综合

圆5级

圆中三大切线定理

2

圆中三大切线定理

中考内容与要求

中考考点分析

圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考

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16 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版

查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。

要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。

年份 2011年 2012年 2013年 题号 20，25 8，20，25 8，20，25 分值

13分 17分 17分 考点

圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系

圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系

圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系

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题型一：切线的性质定理

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题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。

【例1】 如图，在△ABC 中，BC AB =，以AC 为直径的⊙0与BC 边

交于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AB 于点E ，若 DE ⊥AB ．求证：BE AE 3=．

判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。

【例2】 如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC

于点E ，过点A 作⊙O 的切线 交OE 的延长线于点F ， 典题精练

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典题精练

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题型二：切线的判定定理

E O

D

C

B

A

18 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版

连结CF 并延长交BA 的延长线于点P . ⑴ 求证：PC 是⊙O 的切线.

⑵ 若AB =4，2 1：：=PC AP ，求CF 的长.

【例3】 如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=?，BD 平分ABC ∠，以

D 为圆心、CD 长为半径作D ⊙，与AC 的另一个交点为

E ．

⑴ 求证：AB 与D ⊙相切； ⑵ 若43AC BC ==，，求AE 的长．

【例4】 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于

点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．

⑴ 求证：BE 与O ⊙相切；

⑵ 连结AD 并延长交BE 于点F ，9OB =，2

sin 3

ABC ∠=， 求BF 的长．

E D

C

B

A

切线长和切线长定理：

⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

【引例】已知：如图，PA PB 、分别与O ⊙相切于A B 、两点．求证：⑴ APO BPO ∠=∠；

⑵ PA PB =；⑶ OP 垂直平分线段AB ．

【解析】 连结OA OB ，

∵PA PB ，分别与O ⊙相切，

例题精讲

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题型三 切线长定理

20 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版

∴PA OA PB OB ⊥⊥，， ∵OA OB =，OP=OP ∴AOP BOP △≌△ ∴APO BPO ∠=∠． ∴PA PB =，

由等腰三角形“三线合一”可知：OP AB ⊥且AC BC =， ∴OP 垂直平分线段AB ．

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【例5】 ⑴ 如图，PA PB DE 、、分别切O ⊙于A B C 、、，若10PO =，

PDE △周长为16，求O ⊙的半径．

⑵ 梯形ABCD 中，AB CD ∥，O 是AB 上一点，以O 为圆心的半圆与AD CD BC 、、都相切．已知6AD =，4BC =，求AB 的长． 典题精练

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【例6】 ⑴ 如右图所示，ABC △的内切圆与三边AB 、BC 、CA 分别切

于D 、E 、F .13cm AB =，14cm BC =，11cm CA =，求AD 、BE 、CF 的长．

⑵ 如图，在ABC ?Rt 中，?=∠90C ，6=AC ，8=BC ，圆O 为 ABC ?的内切圆，点D 是斜边AB 的中点，则O D A ∠t a n .

【例7】 已知：AB 是半圆O 的直径，点C 在BA 的延长线上运动（点C 与点A 不重合），以OC

为直径的半圆M 与半圆O 交于点D ，DCB ∠的平分线与半圆M 交于点E ． (1) 求证：CD 是半圆O 的切线（图1）； (2) 作EF AB ⊥于点F （图2），猜想EF 与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明.

C

F O

图2 C 图1

D

22 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版

训练1. 如图，AB 是半圆的直径，直线MN 切半圆于C AM MN BN MN ⊥⊥，，如果AM a =，BN b =，那么半圆的半径是

_____________．

训练2. 如图所示，ABC △中，内切O ⊙和边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F .若

70FDE ∠=?，求A ∠的度数.

训练3. 如图，1O ⊙和2O ⊙为Rt ABC △的内切等圆，90C ∠=?，43AC BC ==，，求1O ⊙的半

径r ．

B

思维拓展训练(选讲)

训练4. 已知，如图在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为半径的圆O 与AD AC

、分别交于点E F 、，ACB DCE ∠=∠． ⑴ 判断直线CE 与O ⊙的位置关系，并证明你的结论；

⑵ 若tan 2ACB BC ∠=，求O ⊙的半径．

题型一 切线的性质定理 巩固练习

【练习1】 如图，AB 与O ⊙相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，

60AOB ∠=?，4cm BC =，则切线AB = cm .

题型二 切线的判定定理 巩固练习

【练习2】 在平行四边形ABCD 中，1060AB AD m D ==∠=?，，，以AB 为直径作O ⊙，

⑴ 求圆心O 到CD 的距离（用含m 的代数式来表示）； ⑵ 当m 取何值时，CD 与O ⊙相切．

【练习3】 已知：如图，由正方形ABCD 的顶点A 引一条直线分别交BD 、

复习巩固

24 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版

CD 及BC 的延长线于点E 、F 、G ，求证：CE 和CGF △的外接圆相切．

【练习4】 如图，AB 是O ⊙的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦 D F A B ⊥于点G ．

⑴ 求证：点E 是BD 的中点； ⑵ 求证：CD 是O ⊙的切线；

⑶ 若4

sin 5

BAD ∠=，O ⊙的半径为5，求DF 的长．

题型三 切线长定理 巩固练习

【练习5】 ⑴ 如图，O ⊙是ABC △的内切圆，D E F 、、是切点，18cm AB =，

20cm BC =，12cm AC =，又直线MN 切O ⊙于G ，交A B B C

、于M N 、，则BMN △的周长为______________．

⑵ Rt ABC △中，9068C AC BC ∠=?==，，，则ABC △的内切圆半径r =________．

⑶ 等腰梯形ABCD 外切于圆，且中位线MN 的长为10，那么这个等腰梯形的周长是

_____．

第十七种品格：成就

巴雷尼与诺贝尔奖

巴雷尼小时候因病成了残疾，母亲的心就像刀绞一样，但她还是强忍住自己的悲痛。她想，孩子现在最需要的是鼓励和帮助，而不是妈妈的眼泪。

母亲来到巴雷尼的病床前，拉着他的手说：“孩子，妈妈相信你是个有志气的人，

希望你能用自己的双腿，在人生的道路上勇敢地走下去！好巴雷尼，你能够答应妈妈吗？”

母亲的话，像铁锤一样撞击着巴雷尼的心扉，他“哇”地一声，扑到母亲怀里大哭起来。

从那以后，妈妈只要一有空，就给巴雷尼练习走路，做体操，常常累得满头大汗。有

一次妈妈得了重感冒，她想，做母亲的不仅要言传，还要身教。尽管发着高烧，她还

是下床按计划帮助巴雷尼练习走路。黄豆般的汗水从妈妈脸上淌下来，她用干毛巾擦擦，咬紧牙，硬是帮巴雷尼完成了当天的锻炼计划。

体育锻炼弥补了由于残疾给巴雷尼带来的不便。母亲的榜样作用，更是深深教育

了巴雷尼，他终于经受住了命运给他的严酷打击。他刻苦学习，学习成绩一直在班上

名列前茅。

最后，以优异的成绩考进了维也纳大学医学院。大学毕业后，巴雷尼以全部精力，致

力于耳科神经学的研究。最后，终于登上了诺贝尔生理学和医学奖的领奖台。

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