人教B版数学高一版必修一本章整合学案第三章基本初等函数(Ⅰ)
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专题探究
专题一指数、对数的运算问题
指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要问题类型，也是高考的必考内容．
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的，对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
【应用1】已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为()
A.6 B．9 C．12 D．18
解析：由2a＝3b＝k(k≠1)，知k>0，且a＝l og2k，b＝l og3k，将它们代入2a＋b＝ab，得2l og2k＋l og3k＝l og2k·l og3k，即
2
12k
og
＋
1
13k
og
＝
1
1213
k k
og og
?
，所以2l og k3＋l og k2＝1，l og k9＋l og k2＝1，l og k18＝1，因此k＝18.
答案：D
【应用2】(1)化简
3
41
8
33
22
42
33
a a b
b ab a
-
+
÷3
1
b
a
?
-
?
3ab
(2)求值：
1
2
l g
32
49
－
4
3
l8＋l g 245
提示：利用指数与对数的运算法则运算即可．
解：(1)原式＝
1
3
1111
22
3333
(8)
(2)2()
a a b
b a b a
-
++
×
1
3
11
33
2
a
a b
-
×
1
3
a
1
3
b＝
1
3(8)
8
a a b
a b
-
-
×
1
3
a×
1
3
a
1
3
b ＝3b.
(2)方法一：
12l g 3249－43
l ＋l g
＝l g
7－l g 4＋l l g 14??
＝l 12l g 10＝1
2
. 方法二：原式＝
12 (5l g 2－2l g 7)－43·32l g 2＋1
2
(2l g 7＋l g 5) ＝
52l g 2－l g 7－2l g 2＋l g 7＋1
2l g 5 ＝
12l g 2＋12l g 5＝1
2 (l g 2＋l g 5) ＝
12l g 10＝12
. 专题二 比较大小问题
比较几个数的大小关系是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用．常用的方法有：单调性法、图象法、中间量法(搭桥法)、作差法、作商法、分析转化法等． 【应用1】 比较下列各组数的大小： (1)422与333；(2)l og 0.57与l og 0.67.
思路分析：利用指数函数、对数函数、幂函数的图象随底数的变化规律比较大小． 解：(1)422＝42
×11
＝(42)11＝1611,333＝33
×11
＝(33)11＝2711，
因为y ＝x 11在x >0时是增函数，
又因为16<27，所以1611<2711，即422<333.
(2)在同一平面直角坐标系内作出对数函数y ＝l og 0.5x 和y ＝l og 0.6x 的图象，可知l og 0.57>l og 0.67.
【应用2】 比较下列各组数的大小：
(1)2－12与0.3－15；(2)l og 2524与l og 313108
；(3)1
2log 3与1
3log 2.
解：(1)∵12
2-<20＝1,0.15
3- >0.30＝1，∴12
2
-
<0. 15
3
-
.
(2)∵l og 2
524＝l og 21583??? ???
＝l og 218＋l og 253＝－3＋l og 253，l og 313108＝l og 3113912??? ???＝l og 3
19＋l og 31312＝－2＋l og 31312，又∵l og 253 >l og 31＝0， ∴－3＋l og 2 53<－2，－2＋l og 31312>－2，即l og 2524 108 . (3)∵12log 3<12log 2＝－1，13log 2>13log 3＝－1，∴12log 3<1 3log 2. 【应用3】 已知0 当a >1时，|l og a (1－x )|－|l og a (1＋x )|＝－l og a (1－x )－l og a (1＋x )＝－[l og a (1－x )＋l og a (1＋x )] ＝－l og a (1－x 2)>0， ∴|l og a (1－x )|>|l og a (1＋x )|； 当00， ∴|l og a (1－x )|>|l og a (1＋x )|. 综合可知，当0 a(1)a(1)log log x x -+＝a(1) a(1) log log x x -+＝|l og (1＋x )(1－x )|＝－l og (1＋x )(1－x ) ＝l og (1＋x ) 11x -＝l og (1＋x )2 11x x +- >l og (1＋x )(1＋x )＝1， ∴|l og a (1－x )|>|l og a (1＋x )|. 专题三 函数性质的综合应用 指数函数、对数函数、幂函数的单调性与奇偶性是函数的重要性质，同时也是高考的热点，涉及函数定义域、值域以及解析式的求法，涉及大小比较以及含参数的取值(取值范围)等，综合性较强，解题方法灵活．应注意单调性、奇偶性的运用，以及等价转化、数形结合和分类讨论等数学思想的应用． 【应用1】 设a ，b ∈R ，且a ≠2，定义在区间(－b ，b )内的函数f (x )＝l g 112ax x ++是奇函数． (1)求b 的取值范围； (2)讨论函数f (x )的单调性． 思路分析：第(1)问中利用奇函数的定义求出参数a 的值，再根据对数式中真数大于0， 求出函数f (x )的定义域，所给区间(－b ，b )应为定义域的子集，从而求出b 的范围．第(2)问中利用单调性定义判断并证明函数f (x )在(－b ，b )内是减函数． 解：(1)f (x )＝l g 112ax x ++ (－b -=-?? ?+>?+?①② ①式即为l g 112ax x --＝l g 121x ax ++，由此可得112ax x --＝121x ax ++， 也即a 2x 2＝4x 2，此式对任意x ∈(－b ，b )都成立相当于a 2＝4. 因为a ≠2，所以a ＝－2，代入②式，得 1212x x -+>0，即－12 b )都成立相当于－ 12≤－b ?? ?. (2)设任意的x 1，x 2∈(－b ，b )，且x 1 ?? ?? ? ，得－12≤－b 2， 所以0<1－2x 2<1－2x 1,0<1＋2x 1<1＋2x 2， 从而f (x 2)－f (x 1)＝l g 221212x x -+－l g 111212x x -+＝l g ()() 212112(12)(12)12x x x x -++- 因此f (x )在(－b ，b )内是减函数． 专题四 数形结合思想的应用 指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图象与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，对数函数y ＝l og a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质都与a 的取值有密切的联系，幂函数y ＝x α(α为常数)的图象与性质与α的取值有关，a ，α变化时，函数的图象与性质也随之改变，因此，在a ，α的值不确定时，要对它们进行分类讨论，利用图象可以很快捷、直观地进行比较大小、求根等计算问题． 【应用1】 若0 A.0b >c >1 C ．0 解析：首先通过构造思想把问题转化为幂函数或指数函数问题，再结合指数函数的图象与性质求解． 方法一：将0 方法二：将a 2，b 2，c 2分别看作指数函数C 1：y ＝a x ，C 2：y ＝b x ，C 3：y ＝c x 当x ＝2时的函数值，由函数值小于1，得0 的图象，如图，作直线x ＝1，与C 1，C 2，C 3的交点纵坐标分别为a ，b ，c ，易知0 <1. 答案：A 【应用2】 当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α(α为不为1的常数)的图象恒在直线y ＝x 的下方，求α的取值范围． 思路分析：对α分0<α<1，α<0与α＝0进行分类讨论，并结合图象分析． 解：当0<α<1时，对于x ∈(1，＋∞)，y ＝x α的图象在直线y ＝x 的下方，如图(1)所示． 当α<0时，对于x ∈(1，＋∞)，y ＝x α的图象也在直线y ＝x 的下方，如图(2)所示． 当α＝0时，对于x ∈(1，＋∞)，y ＝x α的图象还在直线y ＝x 的下方，如图(3)所示． 当α>1时显然不合题意，如图(4)所示． 故α的取值范围是(－∞，1)． 【应用3】 设a ∈R ，试讨论关于x 的方程l g(x －1)＋l g(3－x )＝l g(a －x )的实根的个数． 思路分析：将原方程等价转化，再结合图象分析． 解：原方程等价于()()10, 30, 0,x-13x .x x a x a x ->??->? ?->??-=-? ?()()10,30,13.x x x x a x ?->?->??--=-?①②③ 由①②，得1 由③得－x 2＋5x －3＝a (1 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a 及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图象，如图， 当x ＝1时，y ＝1；当x ＝3时，y ＝3； 当x ＝ 52时，y 最大＝134 . 由图可知，当a > 13 4 或a ≤1时，两个函数图象无交点，原方程无实数解； 当a ＝ 13 4 或1 13 4 时，两个函数图象有两个交点，故原方程有两个解． 专题五 分类讨论思想的应用 分类讨论思想在人的思维发展中有着重要作用，分类讨论事实上是一种化繁为简，化整体为部分，分别对待、各个击破的思想策略在数学解题中的体现，对培养学生思维的全面性、深刻性和条理性起着积极作用．在分类讨论中要注意分类必须是完整的、不重不漏的，每一级分类标准是统一的．当指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝l og a x (a >0，a ≠1)的底数a 与1的大小关系不确定时，常用到分类讨论思想，因为a 的取值影响函数的单调性． 【应用1】 若－1 2 3 <1(a >0，a ≠1)，求a 的取值范围． 思路分析：将对数不等式统一成同底的形式，再利用分类讨论思想及函数的单调性进行转化求解． 解：－1＜l og a 23<1?l og a 1a ＝－1 3 <1＝l og a a . 当a >1时，y ＝l og a x 为增函数，有 1a <2332，结合a >1，故a >3 2. 当0 1a >23>a .∴a <23，结合0 3 . ∴a 的取值范围是23032a a ??<< ??? ?或a>. 【应用2】 设a >0，a ≠1，若P ＝l og a (a 3＋1)，Q ＝l og a (a 2＋1)，试比较P ，Q 的大小． 思路分析：比较P ，Q 的大小，即比较同底的两个对数l og a (a 3＋1)与l og a (a 2＋1)的大小， 这只需根据真数的大小，就可结合对数函数y ＝l og a x 的单调性作出判断． 解：当0l og a (a 2＋1)，即P >Q . 当a >1时，由y ＝a x 在R 上是增函数可知，a 3>a 2>0，故a 3＋1>a 2＋1>0. 又∵y ＝l og a x (a >1)在(0，＋∞)上是增函数， ∴l og a (a 3＋1)>l og a (a 2＋1)，即P >Q . 综上可知，当a >0，a ≠1时，总有P >Q . 专题六 等价转化在讨论函数问题中的应用 转化思想即在处理问题时，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解．转化思想的应用非常普遍，如，未知向已知转化，新知识向旧知识转化，复杂问题向简单问题转化，不同数学问题之间的相互转化，实际问题向数学问题转化等． 【应用1】 指出函数f (x )＝224544 x x x x ++++的单调区间，并比较f (－π)与 2f ?- ?? 的大小． 思路分析：可考虑把函数f (x )转化为我们学过的幂函数的问题，然后考虑相关幂函数的性质，进一步比较函数的大小． 解：f(x)= =1+ =1+(x+2)-2，其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，如图所示，该函数在(-2，+∞)上是减函数，在(-∞，-2)上是增函数，且其图象关于直线x=-2对称． 又∵-2-(-π)=π-2<- -(-2)=2- ，∴f(-π)>f . 专题七 函数图象的变换 图象变换题集数形结合的数学思想、运动变化的观点于一体，考查了函数图象的画法和相关函数的性质，对于知识的转化、数学能力的提升均起到促进的作用，故在教材乃至高考试题中均占有重要的地位，不容忽视． 【应用1】 画出函数y ＝2|x － 1|的图象，并根据图象说出其对称性、单调性及值域． 解：当x －1≥0，即x ≥1时，y ＝2x － 1， 当x－1<0，即x<1时，y＝2－(x－1)＝ 1 1 2 x-?? ? ?? . 所以y＝2|x－1|＝ 1 1 2,1, 1 , 1. 2 x x x x - - ?≥ ? ??? ?? ? 其图象是由两部分合成的，一是把y＝2x图象向右平移1个单位长度，取x≥1的部分； 二是把y＝ 1 2 x ?? ? ?? 的图象向右平移1个单位长度，取x<1的部分，对接处的公共点为(1,1)， 如图所示． 由图象可知： ①对称性：对称轴为直线x＝1； ②单调性：在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数； ③函数的值域：[1，＋∞)． 【应用2】(1)画出函数y＝l og2(x＋2)与y＝l og2(x－2)的图象，并指出两个函数图象之间的关系； (2)画出函数y＝f(x)＝l og2|x|的图象，并根据图象指出它的单调区间． 思路分析：画函数图象是研究函数变化规律的重要手段，可利用y＝l og2x的图象进行变换． 解：(1)函数y＝l og2x的图象如果向右平移2个单位长度就得到y＝l og2(x－2)的图象；如果向左平移2个单位长度就得到y＝l og2(x＋2)的图象， 所以把y＝l og2(x＋2)的图象向右平移4个单位长度就得到y＝l og2(x－2)的图象(如图所示)． (2)当x≠0时，函数y＝l og2|x|满足f(－x)＝l og2|－x|＝l og2|x|＝f(x)，所以y＝l og2|x|是偶函数，它的图象关于y轴对称． 当x>0时，y＝l og2x. 因此先画出y＝l og2x(x>0)的图象为C1，再作出C1关于y轴对称的图象C2，C1与C2构成 函数y＝l og2|x|的图象，如图所示． 由图象可以得出函数y＝l og2|x|的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞)．