《概率与数理统计》试题与参考答案

一、填空题（本大题共有10个小题，每小题3分,共30分）

1．设C B A 、、是3个随机事件，则“三个事件中至少有两个事件发生” 用

C B A 、、 表示为 ；

2．设P (A )=0.3，P (B )=0.6，若A 与B 独立，则)(B A P ?= ； 3．设X 的概率分布为C

k k X P k

?-=

=21

2)(，4,3,2,1=k ，则=C ； 4．设随机变量ξ~),(p n B ，且4=ξE ，2=ξD ，则n = ；

5．设随机变量ξ的密度函数为?????

≤

=其他,02||,cos )(πx x C x f ，则常数

C = ；

6．设n X X X ,,,21 是来自),(2σμN 的样本，则=)(X E ； 7．设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N (0，9)，Y ～N (0，1)，令Z =X -2Y ，则

D (Z )= ；

8．n X X X ,,,21 是取自总体),(2

σμN 的样本，则∑==

n

i i

X n

X 1

1

~ ；

9．若总体),(~2σμN X ，且2σ未知，用样本检验假设0H ：0μμ=时，则采用的统计量是 ；

10．设总体)(~λP X ，则λ的最大似然估计为 。

二、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.若

A

与

B

互为对立事件，则下式成立的是

（ ） A.P （A ?B ）=Ω B.P （AB ）=P （A ）P （B ） C. P （AB ）=φ

D. P （A ）=1-P （B ）

2.已知一射手在两次独立射击中至少命中目标一次的概率为0.96，则该射手每次射击的命中率为 ( ) A.0.04 B.0.2 C.0.8 D.0.96

3.设A ，B 为两事件，已知P （A ）=31，P （A|B ）=32，5

3)A |B (P =，则P （B ）=（ ）

A. 5

1 B. 5

2 C. 5

3

D. 5

4

4. 随机变量X )3(~E ,则=)(X D ( )

A. 31

B. 91

C. 271

D. 81

1

5. 设随机变量X ～N (2,32)，Φ(x )为标准正态分布函数，则P { 2

A.21)32(-Φ

B.21()3-Φ

C.1)32(2-Φ

D.2()3

Φ

6.设二维随机变量(X,Y ）的分布律为

则P{X=Y}= （ ）

A.0.3

B.0.5

C.0.7

D.0.8

7. 设随机变量X ～N （-1,3) ,Y ～N(1,2) ，且x 与y 相互独立，则X+2Y ～（ ）

A.N(1,10)

B.N(1,11)

C.N(1,5)

D.N(1,7)

8. 设随机变量X 1，X 2，…，X 100独立同分布，E (X i )=0,D (X i )=1，i =1,2，…，100，则由中心极限定理得P {100

110i i X =≤∑}近似于( )

A.0

B.Φ(l)

C.Φ(10)

D.Φ(100) 9.设x 1，x 2，…，x 5是来自正态总体N （2,σμ）的样本，其样本均值和样本方

差分别为∑

==

5

1

i i x 5

1x 和25

1

i i 2

)x x (41

s ∑

=-=

，则

s

)

x (5μ-服从 （ ） A.t(4) B.t(5) C.)4(2χ D. )5(2χ

10. 设总体X ~N （2

,σμ），2σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--=

n

1

i 2i

2

)x x

(1

n 1

s ，

检验假设H 0∶2σ=2

0σ时采用的统计量是 （ ）

A.)1n (t ~n

/s x t -μ-=

B. )n (t ~n

/s x t μ-=

C. )n (~s )1n (22

02

2

χσ-=χ D. )1n (~s )1n (22

2

2

-χσ-=χ 三、计算题：（本大题共有7个小题，共50分）

1．（6分）设在某条国道上行驶的高速客车与一般客车的数量之比为1：4，假设高速客车因发生故障需要停驶检修的概率为0.002，一般客车因发生故障需要停驶检修的概率为0.01.

（1）求该国道上有客车因发生故障需要停驶检修的概率；

（2）已知该国道上有一辆客车因发生故障需要停驶检修，问这辆客车是高速客车的可能性有多大？

2．（6分）26.由历史记录知，某地区年总降雨量是一个随机变量，且此随机变量X~N(500, 1002) （单位：mm）.求

（1）明年总降雨量在400 mm~ 600 mm之间的概率；

（2）明年总降雨量小于何值的概率为0.1 （φ(1)=0.8413, φ(1.28)≈0.9）

(2)Cov(X,Y).

4．（7分）某互联网站有10000个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问该网站的概率为0.2，求在任一时刻有2100个以上的用户访问该网站的概率.(取Φ(2.5)=0.9938)。

5. （8分）设（X , Y ）的概率密度为：

??

?≤≤≤≤=其它

0,10,),(x

y x Axy y x f

求：（1）A；（2）关于X和关于Y的边缘概率密度；（3）判断X与Y是否独立？

6. （8分）某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾额数X服从泊松分布，

即X~P（λ），若已知P（X=1）=P（X=2），且该柜台销售情况Y（千元），1X2+2。

满足Y=

2

试求：（1）参数λ的值；

（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率；

（3）该柜台每小时的平均销售情况E（Y）。

7.（8分）生产一种工业用绳，其质量指标是绳子所承受的最大拉力，假定该

=15公斤，采用一种新原材指标服从正态分布，原来生产的绳子指标均值μ

料后，厂方称这种原材料能提高绳子的质量，为检验厂方的结论是否真实，从其新产品中随机抽取45件，测得它们所承受的最大拉力的平均值为15.8公斤，样本标准差S=0.5公斤.取显著性水平α=0.01，试问这些样本能否接受厂方的结论.

（附表：t 0.01(45)=2.4121，t 0.005(44)=2.6923.）

参考答案

一、填空题（本大题共有10个小题，每小题3分,共30分）

1．设C B A 、、是3个随机事件，则“三个事件中至少有两个事件发生” 用

C B A 、、

表示为 BC AC AB ；

2．设P (A )=0.3，P (B )=0.6，若A 与B 独立，则)(B A P ?= 0.82 ； 3．设X 的概率分布为C

k k X P k

?-=

=212)(，4,3,2,1=k ，则=C 1637

； 4．设随机变量ξ~),(p n B ，且4=ξE ，2=ξD ，则n = 8 ；

5．设随机变量ξ的密度函数为?????≤

=其他,02||,cos )(πx x C x f ，则常数C = 21 ；

6．设n X X X ,,,21 是来自),(2σμN 的样本，则=)(X E μ ；

7．设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N (0，9)，Y ～N (0，1)，令Z =X -2Y ，

则

D (Z )= 13 ；

8．n X X X ,,,21 是取自总体),(2

σμN 的样本，则∑==

n

i i

X n

X 1

1

~

),

(2

n

N σμ；

9．若总体),(~2σμN X ，且2σ未知，用样本检验假设0H ：0μμ=时，则采用的统计量是 n

s x t /0μ-=

；

10．设总体)(~λP X ，则λ的最大似然估计为 x 。

二、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.若

A

与

B

互为对立事件，则下式成立的是

（ D ） A.P （A ?B ）=Ω B.P （AB ）=P （A ）P （B ） C. P （AB ）=φ

D. P （A ）=1-P （B ）

2.已知一射手在两次独立射击中至少命中目标一次的概率为0.96，则该射手每次 射击的命中率为

( C )

A.0.04

B.0.2

C.0.8

D.0.96

3.设A ，B 为两事件，已知P （A ）=31，P （A|B ）=32，5

3)A |B (P =，则P （B ）=（ A ）

A. 5

1 B. 5

2 C. 5

3

D. 5

4

4. 随机变量X )3(~E ,则=)(X D

( B )

A. 31

B. 91

C. 271

D. 81

1

5. 设随机变量X ～N (2,32)，Φ(x )为标准正态分布函数，则P { 2

A.21)32(-Φ

B.21()3-Φ

C.1)32(2-Φ

D.2()3

Φ

6.设二维随机变量(X,Y ）的分布律为

则P{X=Y}=

（ A ）

A.0.3

B.0.5

C.0.7

D.0.8

7. 设随机变量X ～N （-1,3) ,Y ～N(1,2) ，且x 与y 相互独立，则X+2Y ～（ B ）

A.N(1,10)

B.N(1,11)

C.N(1,5)

D.N(1,7)

8. 设随机变量X 1，X 2，…，X 100独立同分布，E (X i )=0,D (X i )=1，i =1,2，…，100，则由中心极限定理得

P {

100

1

10i

i X

=≤∑}近似于

( B )

A.0

B.Φ(l)

C.Φ(10)

D.Φ(100) 9.设x 1，x 2，…，x 5是来自正态总体N （2,σμ）的样本，其样本均值和样本方

差分别为∑

==

5

1

i i

x 5

1x 和

2

5

1

i i 2

)x x (4

1s ∑

=-=

，则

s

)x (5μ-服从

（ A ）

A.t(4)

B.t(5)

C.)4(2χ

D. )5(2χ

10. 设总体X ~N （2

,σμ），2σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--=

n

1

i 2i

2

)x x

(1

n 1

s ，

检验假设H 0∶2σ=

20

σ时采用的统计量是

（ D ） A.)1n (t ~n

/s x t -μ-=

B. )n (t ~n

/s x t μ-=

C. )n (~s )1n (22

02

2

χσ-=χ D. )1n (~s )1n (22

2

2

-χσ-=χ 三、计算题：（本大题共有7个小题，共50分）

1．（6分）设在某条国道上行驶的高速客车与一般客车的数量之比为1：4，假设高速客车因发生故障需要停驶检修的概率为0.002，一般客车因发生故障需要停驶检修的概率为0.01.

（1）求该国道上有客车因发生故障需要停驶检修的概率；

（2）已知该国道上有一辆客车因发生故障需要停驶检修，问这辆客车是高速客车的可能性有多大？

解 设A={高速客车} ，B={一般客车} C={客车需要维修} (1) 则，由全概公式，得

P(C)=0084.001.05

4

002.051)/()()/()(=?+?=+B C P B P A C P A P

(2)贝叶斯公式，得

0595.00084

.0002

.05

1

)()/()()/(=?==

C P A C P A P C A P

2．（6分）26.由历史记录知，某地区年总降雨量是一个随机变量，且此随机变量X ~N(500, 1002) （单位：mm ）.求

（1）明年总降雨量在400 mm ~ 600 mm 之间的概率；

（2）明年总降雨量小于何值的概率为0.1 （φ(1)=0.8413, φ(1.28)≈0.9）

解 （1）)1()1()1100500

1()600400(-Φ-Φ=<-<-=<

=6826.018413.021)1(2=-?=-Φ

(2) 由 1.0)100500100500(

)(=-<-=

500

(=-Φx 所以，有 9.01.01)100500

(1)100500(=-=-Φ-=--Φx x

由已知，得，28.1100

500

=--x

故，x = 372

3．（7分）设随机变量X 的分布律为 .记Y =X 2，求：(1)D (X )，D (Y )；

(2)Cov(X,Y ).

解 因 6.01.024.015.00)(=?+?+?=X E

8.01.024.015.00)(2222=?+?+?=X E

所以，44.06.08.0)()()(222=-=-=X E X E X D

又因，2.11.024.015.00)()()(33332=?+?+?==?=X E X X E XY E

8.0)()(2==X E Y E

21.024.015.00)()(44442=?+?+?==X E Y E 所以，44.08.02)()()(222=-=-=Y E Y E Y D

于是，72.08.06.02.1)()()(),(=?-=-=Y E X E XY E Y X COV

4．（7分）某互联网站有10000个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问该网站的概率为0.2，求在任一时刻有2100个以上的用户访问该网站的概率.(取Φ(2.5)=0.9938)。 解 设X 为访问网站的人数

则，由题意知，n=10000,p=0.2,q=0.8 所以，)2.0,10000(~b X 由大数定理有，

)1,0(~N npq

np X - ，此时40,2000==npq np

所以，)40

2000

2100(1)2100(1)2100(-Φ-=≤-=≥X P X P

=0062.09938.01)5.2(1=-=Φ- 5. （8分）设（X , Y ）的概率密度为：

??

?≤≤≤≤=其它

0,10,

),(x

y x Axy y x f

求：（1）A ；（2）关于X 和关于Y 的边缘概率密度；（3）判断X 与Y 是否独立？

解 （1）由归一性，得?

?

+∞∞-+∞∞

-=10,(dydx y x f ，得

1][1

=??x dx Axydy ，于是

18

=A

，所以A=8

（2）)10(48),()(3

0≤≤===??+∞∞-x x xydy dy y x f x f x

X

)10()1(48),()(21

≤≤-===??+∞

∞

-y y y xydx dx y x f x f y

Y

（3）易知 ，)()(),(y f x f y x f Y X ≠

所以，X 与Y 不独立

6. （8分）某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾额数X 服从泊松分布，即X ~P （λ），若已知P （X=1）=P （X=2），且该柜台销售情况Y （千元），满足Y=2

1

X 2+2。 试求：（1）参数λ的值；

（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率； （3）该柜台每小时的平均销售情况E （Y ）。 解 （1）由P （X=1）=P （X=2）得，

λλ

λλ

--=

e e

!

2!

12

所以，2=λ ，所以2)()(===λY D X E （2）20

1!

01)0(1)1(---=-

==-=≥e e X P X P λλ

（3）2)(21

)221()(22+=+=X E X E Y E

=6)22(2

1

2]))(()([2122++=++X E X D =5

7.（8分）生产一种工业用绳，其质量指标是绳子所承受的最大拉力，假定该指标服从正态分布，原来生产的绳子指标均值μ0=15公斤，采用一种新原材料后，厂方称这种原材料能提高绳子的质量，为检验厂方的结论是否真实，从其新产品中随机抽取45件，测得它们所承受的最大拉力的平均值为15.8公斤，样

本标准差S=0.5公斤.取显著性水平α=0.01，试问这些样本能否接受厂方的结论.

（附表：t 0.01(45)=2.4121，t 0.005(44)=2.6923.） 解 因方差2σ未知，检验：15:0=μH 所以，应用t 检验 其中，)44(~/0t n

s x t μ-=

，5.0,8.15,45,01.0====s x n α

所以，733.1045

/5.0158.15=-=

t

由αλ-=<1)|(|t P ，得，6923.2)44()44(005.02

===t t αλ

由于，λ>||t ，所以这些样本不能接受厂方的