注册土木工程师(岩土)基础考试各科常用公式

公式

一、 高等数学

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

a

x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2

2

=

'='?-='?='-='='2

2

22

11

)(11

)(11

)(arccos 11

)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-

='+=

'--

='-=

'?

?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C

a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C

a a dx a C

x ctgxdx x C

x dx tgx x C

ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x

x

)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222

22

22

2C a

x

x a dx C x a x

a a x a dx C a x a

x a a x dx C a x

arctg a x a dx C

ctgx x xdx C tgx x xdx C

x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2

2222222?

????++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C

a

x a x a x dx x a C

a x x a a x x dx a x C

a x x a a x x dx a x I n

n xdx xdx I n n n

n arcsin 22ln 22)ln(221

cos sin 22

2222222

2222222

22

2

22

2

π

π

2

22212211cos 12sin u du

dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　

一些初等函数： 两个重要极限：

三角函数公式： ·诱导公式：

·和差角公式： ·和差化积公式：

·倍角公式：

2

sin

2sin 2cos cos 2cos

2cos 2cos cos 2sin

2cos 2sin sin 2cos

2sin

2sin sin β

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβ

αβαβ

αβαβαβ

αβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=

±?±=

±=±±=±1

)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x

x

arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x

x x

x x

x -+=-+±=++=+-=

=+=

-=

----11ln

21)1ln(1ln(:2

:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1

1(lim 1

sin lim

0==+=∞→→e x

x

x

x x x

·半角公式：

α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

2

cos 12cos 2cos 12

sin -=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctg tg

·正弦定理：

R C

c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=

-=

2

arccos 2

arcsin π

π

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： )

()

()()2()1()(0)

()()

(!

)1()1(!2)1()

(n k k n n n n n

k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+

'+==---=-∑

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=

---'=-)(F )

()

()()()()())(()()(ξξξ

曲率：

.1

;0.

)1(lim M s M M :.,13

202a

K a K y y ds d s K M M s

K tg y dx y ds s =

='+''==??='?'???=

=''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α

ααα

α 定积分的近似计算：

α

ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=

-=-=α

α

αααααααααα

αα22222212221

2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=

-=

-=-=-==

???----+++++++++-≈

++++-≈

+++-≈

b

a

n n n b

a

n n b

a n y y y y y y y y n

a

b x f y y y y n a b x f y y y n

a

b x f )](4)(2)[(3)(])(2

1

[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：

定积分应用相关公式：

??--==?=?=b

a

b a dt

t f a b dx

x f a b y k r

m

m k F A

p F s

F W )(1)(1

,2

221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：

多元函数微分法及应用 z

y z x y x y x y x y x F F y z

F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x

v

v z x u u z x z y x v y x u f z t

v

v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z

u

dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -

=??-=??=?

-??-??=-==??+??=??+??===???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：

　

时，

，当

：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

)

,()

,(1),(),(1),()

,(1),(),(1),()

,(0

),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v

G u

G v F

u F

v u G F J v u y x G v u y x F v

u v

u ???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=???== 隐函数方程组：

多元函数的极值及其求法：

????

???

??=-<-???><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x

重积分及其应用：

????

??

??????????????

????++-=++=++==>===

=

=

=???

? ????+???

????+==='

D

z D

y D

x z y x D

y D

x D

D

y D

x

D

D D

a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f

F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M

M y d y x d y x x M

M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2

3

2

2

2

2

3

2

2

2

2

3

2

2

2

22D

2

2

)

(),()

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ

ρσ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρσ

ρσ

ρθ

θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面常数项级数：

是发散的

调和级数：等差数列：等比数列：n

n n n q q q q q n

n 1

312112

)1(3211111

2

+++++=

++++--=

++++-

级数审敛法：

散。

存在，则收敛；否则发、定义法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：、比值审敛法：

时，不确定时，级数发散

时，级数收敛

，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞

→+∞→∞

→+++=??

?

??=><=??

?

??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ

。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和

如果交错级数满足—莱布尼兹定理：

—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n

n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

１时发散ｐ 级数： 收敛；

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11

1

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n

幂级数：

01

0)3(lim

)3(111

1111

221032=+∞=+∞===

≠==><+++++≥-<++++++++∞

→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n

n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定

时发散时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全

，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散

时，收敛于

ρρρ

ρρ 函数展开成幂级

数：

+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n

n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !

)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()

()(!

)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2

0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开

成幂级数：

)

()!12()1(!5!3sin )11(!

)1()1(!2)1(1)1(1

21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--x n x

x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n

m 欧拉公式：

???

????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix

ix ix e e x e e x x i x e 或 三角级数：

。

上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )

sin cos (2)sin()(00101

0ππω???ω-====++=++=∑∑∞

=∞

= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n

傅立叶级数：

是偶函数 ，余弦级数：是奇函数

，正弦级数：（相减）

（相加）

其中，周期∑?

∑???∑+=

==

======+-+-=++++=

+++=

+++???

????=====++=--∞

=nx a a x f n nxdx x f a b nx b x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n

n n n n n n n cos 2

)(2,1,0cos )(2

0sin )(3,2,1n sin )(2

0124

13121164

1312112461412185

1311)3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(1

2)sin cos (2)(0

2

2222

2222

2

222

221

π

π

π

ππ

π

π

π

πππππππ

周期为l 2的

周期函数的傅立叶级数：

一、向量代数

1、向量的有关概念：向量间的夹角、向量的方向角、方向余弦、向量在数轴上的投影

向量的坐标 {}

,,x y z x y z a a a a a i a j a k ==++

在相应坐标轴上的投影

模长：222z y x a a a a ++=

→

方向余弦：cos ||

x a a α→

=

=

cos ||

y a a a β→

=

=

cos ||

z a a γ→

=

=

单位向量 {}0cos ,cos ,cos a αβγ=

2、向量的运算：线性运算：加法 →

→

+b a 、 减法 →

→

-b a 、数乘 →

a λ

乘积运算：数量积、向量积 ----------向量的数量积→

→?b a

a b →→

?cos x x y y z z a b a b a b a b θ→→

==++

几何意义；0

b

a b a →→→

→??

?= ???——a →在b →

上的投影

性质：（1）2

a a a →→

→?=?22

2z y x a a a a ++=

→

（2）0a b a b →→

→

→

?=?⊥?0=++z z y y x x b a b a b a

微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。

，

代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：

为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x

y

y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0

),(),(),(???

一阶线性微分方程：

)

1,0()()(2))((0)(,0)()

()(1)()()(≠=+?

+?=≠?

===+?--n y x Q y x P dx

dy

e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx

dy

n dx

x P dx

x P dx

x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：

全微分方程：

通解。

应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u

y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(

二阶微分方程：

时为非齐次

时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy

x P dx y d

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

2

122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：

为常数；，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r

二阶常系数非齐次线性微分方程

型

为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''

二、空间解析几何

（一） 空间直角坐标系（三个坐标轴的选取符合右手系）

空间两点距离公式212212212)()()(z z y y x x PQ -+-+-=

（二）空间平面、直线方程 1、 空间平面方程

a 、 点法式 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A

b 、 一般式 0=+++D Cz By Ax

c 、 截距式

1=++c

z b y a x d 、 点到平面的距离2

2

2

000C

B A D

Cz By Ax d +++++=

2、 空间直线方程

a 、 一般式 ??

?=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A

b 、 点向式（对称式）

n

z z m y y l x x 0

00-=

-=-（分母为0，相应的分子也理解为0） c 、 参数式 ??

?

??+=+=+=kt

z z mt y y lt

x x 000

3、空间线、面间的关系

a 、 两平面间的夹角：两平面的法向量→1n ，→

2n 的夹角θ（通常取锐角）

两平面位置关系：1π//2π?→1n //→

2n ?

2

1

2121C C B B A A == 1π⊥2π?→

1n ⊥→

2n ?0212121=++C C B B A A

平面1π与2π斜交 ，

b 、两直线间的夹角：两直线的方向向量的夹角θ（取锐角） 两直线位置关系：1L //2L ?→1a //→

2a ?

2

1

2121n n m m l l == 1L ⊥2L ?→

1a ⊥→

2a ?0212121=++n n m m l l

b 、 平面与直线间的夹角

线面夹角：当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线之间的夹角?（取锐角）称为直线与平面

的夹角。当直线与平面垂直时，2

π

?=

（θπ?-=

2

）

线面位置关系：L //?π→

a →

⊥n ?0=++nC mB lA

L ⊥?π→a →

n //?

C n

B m A l == ???

????=====++=??∑--∞

=l

l n l l

n n n n n dx l x n x f l b n dx l x

n x f l a l

l x

n b l x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos

)(12)sin cos (2)(10

其中，周期ππππ

二、 物理

一、

热学

1、RT M

μ

=

PV ；nkT =P ；ωn 32P =

；kT 2

3=ω；kT i

2=ε；※RT i M E 2μ=

2、麦氏分布：()Ndv

dN

=v f ，表示单位速度间隔的分子数占总分子数的百分比。 最概然速率μ

RT

4

.1v p =；平均速率μ

RT

6

.1v =；方均根速率μ

RT

v 7

.12=

3、平均碰撞次数n v d 22Z π=

；平均自由程n

d 2

21

πλ=

4、等温过程C =PV ；等压过程

C T =V ；等容过程C T

=P

；绝热过程比等温线陡。 ※总功?=

2

1

A V V PdV ；※等温过程1

2

T ln A 2

1

V V RT M

PdV V V μ

=

=?，T R i

M E ?=

?2

μ ※热一律的应用：功是过程曲线下面的面积，A E Q +?=

等容0A =，T R i M ?=

?=2E Q V μ；等压T R i M ?=?2

E μ，T R i M ????

??+=12Q P μ

等温0E =?，1

2

T ln

Q V V RT M

μ

=

；绝热过程0Q =

5、顺时针：正循环，热机效率吸

放吸净

Q Q -1Q A ==

η

卡诺循环12T T -1=η；2

12

T -T T ==ω 二、波动

1、简谐振动表达式()0t Acos ?ω+=y ，m k

/T 2==πω

※波动方程??? ??+=???

? ??+??? ??

=00x 2t Acos u x t Acos ?λπω?ω

y ???

?

??+??? ??=00u x -x t Acos ?ω y 2、波的能量：动能和势能的大小相等，方向、相位相同；波能量不守恒； 平均能量密度22A 2

1

ωρω=

3、驻波：振幅相同，方向相反的两列波的叠加。相邻波腹（波节）距离为半波长。

4

、多普勒效应：ννs

'

v u v

u ±=

，其中'ν为观察者接收的频率，ν为波源频率，0v 为观察者速度，s v 为波源速度。观察者向着声源运动时，0v 前取正号，远离取负号；波源向着观察者运动时，s v 前取负号，远离取正号。 三、光学

1、干涉：※光程差()??

???+±±==212-1122λ

λδk k r n r n ，相位差δλπ?2=?

※双缝干涉：相邻明（或暗）条纹中心间距d

D

x λ=?

薄膜干涉：劈尖2

2λ

δ+=ne ，半波损失，从光疏到光密的反射光；θλl n e ==?2

2、衍射：

※单缝衍射()???

?

?

????

±=?±+±=中央明纹暗纹

明纹022212sin λλλ?k k k a 3、光学仪器分辨率： 最小分辨角D

λ

θ2

2.10=，分辨率λ22.1D R =

X 射线，衍射，布拉格λ

?k d =sin 2 4、光栅常数明纹λ

?k d =sin

5、偏振：※马吕斯定律α2

0cos I I =

布儒斯特方程：1

2

0arctan n n i i ==，反射光全是线偏振光，折射光为部分偏振光

三、化学

反应速率 v 可表示为：

反应速率常数 k 随温度 T 变化的定量关系：

范荷甫公式表示了平衡常数K 与反应温度T 的定量关系：

电离常数，用表示（弱酸也可用表示，弱碱用表示）

浓度还是平衡浓度）而改变。

弱酸及其盐组成的缓冲溶液（酸性缓冲液）

氧化还原反应达到平衡时，电池电动势为零，E ( + ) ＝E（一）

四、电工

F21 = - Fl2＝

2

12

042

1r q q r12(8-1-1)

阻抗、容抗及电抗的公式及电阻，电容功率的计算

转差率s 是用来表示n 与n0相差程度的物理量，

五、工程经济

名义利率r是指计息周期利率i乘以一年内的计息周期数m 所得的年利率。即：

r=i×m

m

m

r

P

F?

?

?

?

?

+

=1

n

n

i

F

i

F

P-

+

=

+

=)

1(

1）

（

()

i

i

A

F

n1

1-

+

=

()

()

()

11

1

1

n

n

n

i

P F i A

i i

-

+-

=+=

+

（年金终值的逆运算）

()1

1-

+

=

n

i

i

F

A

平均年限法是最常用的固定资产折旧方法，其计算公式为

%

100

-1

?

=

折旧年限

预计净残值率

年折旧率

双倍余额递减法年折旧率=平均年限法计算的年折旧率×2

折旧额每年递减，其折旧率也是每年变化的，只是其折旧总额是固定不变的。其计算公式为

固定资产年折旧率=(折旧年限-已使用年限)/折旧年限×（折旧年限＋1）/2×100％

固定资产年折旧额==(固定资产原值-预计净残值) ×年折旧率

等额还本利息照付法的计算公式：

等额还本付息法的计算公式：

动态投资回收期（Pt′）是在考虑资金时间价值的条件下，用回收投资的资金来源回收投资所需要的时间。其表达式为：

∑'

=

-=

+

-

t

p

t

t

c

t

i

CO

CI

1

)

1()

(

财务净现值（FNPV）

财务净现值是指按行业的基准收益率或设定的折现率，将项目计算期内净现金流量的现值之和，其计算公式为：

()()∑=+-=n

t c t i CO CI FNPV 1

t

-

1

出口产出的影子价格（出厂价）＝离岸价（ FOB ）×影子汇率一出口费用（9－5－l ) 进口投入的影子价格（到厂价）＝到岸价（ CIF ) ×影子汇率＋进口费用（9－5－2 )

盈亏平衡的计算公式为：

％

年营业税金及附加年可变成本年营业收入年固定成本

生产能力利用率100BEP ?--=

％单位产品营业税及附加

单位产品可变成本单位产品价格年固定总成本

生产量100)BEP(?--=

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