抛物线单元测试题

抛物线期末复习单元测试题

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共６0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1 抛物线x y 102

=的焦点到准线的距离是( )

A

25 B 5 C 215 D 10 ２.以抛物线2

2(0)y px p =>的焦半径||PF 为直径的圆与y 轴位置关系是( ）

?Ａ 相交 ?B 相切

C ．相离 ?D.以上三种均有可能

3 设AB 为过抛物线)0(22

>=p px y 的焦点的弦,则AB 的最小值为（ )

A

2

p

B p

C p 2

D 无法确定 4 若抛物线x y =2

上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为

( )

A 1(,44±

B 1(,)84±

C 1(,44

D 1(,84

５．若双曲线22

21613x y p

-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上,则p 的值为（ )

Ａ.2

B ．３???Ｃ.4

6．已知点P 在抛物线2

4y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ）

A ．(

41，－1) ?B ．（4

1,1） ?C.（１，2） Ｄ．（１，-2) 7.已知点P 是抛物线2

2y x =上的一个动点,则点P 到点（０，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）

?B.3? ?D ．

92

8.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点11

1222()()P x y P x y ，，，, 333()P x y ，在抛物线上，且123,,x x x 成等差数列, 则有（ ）

A.123FP FP FP +=?? B ．2

2

2

123FP FP FP +=

C ．2132FP FP FP =+? ?D.2213FP

FP FP =·

9．过点(2,4)M 作与抛物线28y x =只有一个公共点的直线l 有 （ ）

Ａ．０条?B ．1条?Ｃ．2条?D ．3条

１0.已知抛物线2

:8C y x =的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且

AK =，则AFK ?的面积为（ ）

A.4 ? Ｂ．８? C.１6? D.3２ 11．抛物线2

2x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线

m x y +=对称,

且2

1

21-=?x x ,则m 等于( ) A

23 B 2 C 2

5

D 3 12．过抛物线2

(0)y ax a =>的焦点Ｆ作一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 的

长分别是ｐ、ｑ，则

q

p 1

1+等于（ ） Ａ.2a ? B.

a

21

Ｃ．4a D ．

a

4 二、填空题（本大题共4小题，每小题４分，共16分．把答案填在题中的横线上) 13．若直线10ax y -+=经过抛物线2

4y x =的焦点,则实数a = .

1４.过抛物线2

2(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(A 在y 轴左侧)，则

AF

FB

= ． １５.已知抛物线2

1y ax =-的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 .

16 对于抛物线2

4y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是 。

三、解答题（本大题共６小题,共7４分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分1２分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(3,)M m -到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m 的值。

18．(本小题满分12分）已知顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15,（1)求抛物线的方程；（2）若抛物线与直线25y x =-无公共点,试在抛物线上求一点,使这点到直线25y x =-的距离最短。

1９.(本小题满分12分）如图,已知点(10)F ，,直线:1l x =-,P 为平面上的动点， 过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ,且QP QF FP FQ =. (Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

(Ⅱ)过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点,交直线

l 于点M ,已知1MA AF λ=,2MB BF λ=，求12λλ+

20.(本小题满分12分)已知抛物线C :2

2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交C 于点N . （Ⅰ)证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行;

(Ⅱ)是否存在实数k 使0NA NB =,若存在，求k 的值;若不存在,说明理由．

21.(本小题满分12分)如图倾斜角为α的直线经过抛物线2

8y x =的焦点F ,且与抛物线交于

,A B 两点.(Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程;

(Ⅱ)若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明cos2FP FP α-为定值,并求此定值．

２２．(本题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2

y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，． （Ⅰ)若2OA OB =,求c 的值；

(Ⅱ）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线; （Ⅲ)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.

x y

O l F

P Q

M

N

参考答案

一、选择题（本大题共１2小题，每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．Ｂ 210,5p p ==,而焦点到准线的距离是p

2．Ｂ 设Ｑ为ＰF 中点,分别过P 、Ｑ作准线l 则111

||(||)(||)||2222p QN p PM p PF PF =+=+=+,

∴点Ｑ到y 轴的距离1||||22

p d QN PF =-=，故选B 。

3 C 垂直于对称轴的通径时最短,即当,,2

p

x y p ==±min 2AB p

4.B 点P 到准线的距离即点P 到焦点的距离，得PO PF =,过点P 所作的高也是中线

18

x P ∴=

,代入到x y =2

得24y P =±，12(,)84P ∴±

５．Ｃ 解:双曲线的左焦点坐标为:2

(3,0)16p -+，抛物线22y px =的准线方程为

2

p x =-

, 所以23162

p p

-+=-，解得：4p =,故选C 。

6．A 解：点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离,如图

PF PQ PS PQ +=+，故最小值在,,S P Q 三点共线时取得,

此时,P Q 的纵坐标都是1-,故选A 。(点P 坐标为1

(,1)4

-）

7．A 解：本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设P 在抛物线准线的投影为'P ，抛物线的焦点为F ,则1(,0)2

F ,依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|'|||PP PF =，则点P 到点(0,2)A 的距离与P 到该抛物线准线的距离之和

22117

||||||()222

d PF PA AF =+≥=+=,故选A 。

8．C 解:由123,,x x x 成等差数列得2132x x x =+,从而有2132()()(),222

p p p

x x x +=+++根据抛物线定义即得:2132FP FP FP =+.故选C 。

9．C 解：∵点(2,4)M 在抛物线2

8y x =上，∴过点(2,4)M 作与抛物线2

8y x =只有一个公共点的直线l 只有２条，故选C 。

10．B 解：∵抛物线2

:8C y x =的焦点为()20F ，,准线为2x =- ∴()20K -，

设()00A x y ，，过A 点向准线作垂线AB ,则()02B y -， ∵2AK AF =

,又()0022AF AB x x ==--=+

∴由2

2

2

BK AK AB =-得()2

2

002y x =+, 即()2

0082x x =+,解得()24A ±， ∴AFK ?的面积为011

44822

KF y ?=??= 故选B. １１. A 22212121212111,2(),2AB y y k y y x x x x x x -=

=--=-+=--而得,且212122

x x y y ++(,)

在直线y x m =+上，即

2121

2121,222

y y x x m y y x x m ++=++=++ 2

2

2

21212121213

2()2,2[()2]2,23,2

x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++==

12．C(特例法）过抛物线2

(0)y ax a =>的焦点F 作与y 轴垂直的直线，则12p q a

==

,∴

11

4a p q

+=，故选Ｃ。 二、填空题（本大题共4小题,每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上） 13．解：直线10ax y -+=经过抛物线2

4y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- 14．解:如图，分别过点,A B 向抛物线准线作垂线,垂足为,C D ； 过A 点作AE BD ⊥于E 。则,AF AC BF BD ==,

,AB AF BF BE BD AC BF AF =+=-=-，

又30BAE ∠=所以

111

223

BE BF AF AF AB BF AF BF -=?=?=+ １５．解: 抛物线22

11(1)y ax x y a

=-?=+,

顶点(0,1)-焦点是坐标原点,所以11144

a a =?= 抛物线2

114

y x =

-与两坐标轴的三个交点为(2,0),(0,1)±-,所以三角形面积1

4122

S =??=

16．(],2-∞ 设2(,)4t Q t ，由PQ a ≥得222222

(),(168)0,4

t a t a t t a -+≥+-≥

22

1680,816t a t a +-≥≥-恒成立,则8160,2a a -≤≤

三、解答题(本大题共6小题,共74分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

1７.解法一、设抛物线方程为2

2(0)y px p =->，则焦点(,0)2

p

F -

,由题意可得 ??

???=-+=5

)23(622

2p m p m ,解之得???==462p m 或???=-=462p m , 故所求的抛物线方程为2

8y x =-，62±的值为m 。 解法二、设抛物线方程为2

2(0)y px p =->,则焦点(,0)2p F -

，准线l ：2

p x = 则由抛物线定义知:||||352

p

MF MN ==+

=,∴4p = 故所求的抛物线方程为2

8y x =-，62±的值为m 。

１８．解:（１)设抛物线的方程为2

2y px =，则2

2,21

y px

y x ?=?

=+?消去2121221

4(24)10,,24

p x p x x x x x ---+=+=

=

12AB x =-=

==，

24120,2,6p p p =--==-或 22412y x y x ∴=-=，或

（2)解法一、显然抛物线2

4y x =-与直线25y x =-无公共点,设点2

(,)4

t P t -为抛物线

24y x =-上的任意一点，点Ｐ到直线25y x =-的距离为d ，则

2d =

=

当1t =-时,d 取得最小值，此时1

(,1)4

P -

-为所求的点 解法二、显然抛物线2

4y x =-与直线25y x =-无公共点,设与直线25y x =-平行且与抛物线2

4y x =-相切的直线方程为2y x b =+,切点为P ，则点P 即为所求点。 由2

24y x b y x

=+??

=-?消去y 并化简得：22

44(1)0x b x b +++=, ∵直线与抛物线相切,∴2

2

16(1)160b b ?=+-=,解得：12

b =- 把12b =-

代入方程22

44(1)0x b x b +++=并解得：14

x =-，∴1y =- 故所求点为1

(,1)4

P --。

19.解法一:(Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，,由QP QF FP FQ =得：

(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，,化简得2:4C y x =.

(Ⅱ)设直线AB 的方程为:1(0)x my m =+≠.

设11()A x y ，，22()B x y ，,又21M m ?

?-- ???

，

， 联立方程组241y x x my ?=?=+?，

，

,消去x 得：

2440y my --=,2(4)120m ?=-+>，故

121244y y m y y +=??

=-?，

．

由1MA AF λ=,2MB BF λ=得：

1112y y m λ+

=-,2222

y y m

λ+=-，整理得:1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ??∴+=--

+ ?

??

121222y y m y y +=--2424m

m =

---0=．

解法二:（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，

()()0PQ PF PQ PF ∴-+=,22

0PQ PF ∴-=，PQ PF ∴=．

所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意,轨迹C 的方程为:2

4y x =. (Ⅱ)由已知1MA AF λ=,2MB BF λ=，得120λλ<. 则:

12MA AF MB

BF

λλ=-

．…………①

过点A B ，分别作准线l 的垂线,垂足分别为1A ,1B ， 则有:

11

MA AA AF MB

BB BF =

=

．…………②

由①②得：12AF AF BF

BF

λλ-

=

，即120λλ+=．

20．解:解法一:（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，

，222(2)B x x ，, 把2y kx =+代入2

2y x =得2

220x kx --=， 由韦达定理得122

k

x x +=

，121x x =-， ∴1224N M x x k

x x +==

=，∴N 点的坐标为2

48k k ??

???

，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ?

?-=- ??

?, 将2

2y x =代入上式得22

2048

mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切,

22

22282()04

8mk k m m mk k m k ??

∴?=--=-+=-= ???，m k ∴=.

即l AB ∥．

（Ⅱ）假设存在实数

k ，使0NA NB =,则NA NB ⊥，又

M 是AB 的中点，

1

||||2

MN AB ∴=

．

由(Ⅰ）知121212111

()(22)[()4]222

M y y y kx kx k x x =

+=+++=++ 2

2142224

k k ??=+=+ ???. MN ⊥x 轴，22216

||||2488

M N k k k MN y y +∴=-=+-=

.

又2

212121||||1()4AB x x k

x x x x =-=++-

2

2

2214(1)11622k k k ??

=-?-=++ ???

.

22161

168k k +∴=+,解得2k =±.

即存在2k =±,使0NA NB =．

解法二:（Ⅰ)如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，

，，，把2y kx =+代入2

2y x =得 2220x kx --=．由韦达定理得121212

k

x x x x +==-，．

∴1224N M x x k

x x +===,∴N 点的坐标为248k k ?? ???

，．

22y x =，4y x '∴=，

∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44

k

k ?

=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ,使0NA NB =.

由(Ⅰ）知2222

1122224848k k k k NA x x NB x x ????=--=-- ? ?????，，，,则 22221212224488k k k k NA NB x x x x ?????

???=--+-- ??? ????

???????

222212124441616k k k k x x x x ?????

???=--+-- ??? ????

???????

1212144444k k k k x x x x ???

????

???=--+++ ???

??????????????

? ()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ??

??

=-++++++??

???

???

22114(1)421624k k k k k k ????

=--?++?-+?+ ?

??????

22313164k k ????

=---+ ? ????

?0=，

21016k --<，23

304

k ∴-+=，解得2k =±．

即存在2k =±,使0NA NB =.

21.(I)解:设抛物线的标准方程为2

2y px =，则28p =,从而4p =． 因此焦点02p F ??

???

，的坐标为(20)，, 又准线方程的一般式为2

p

x =-．

从而所求准线的方程为2x =-．

(II)解法一:如答21图作AC l ⊥，BD l ⊥， 垂足分别为C D ，，则由抛物线的定义知

FA AC =，FB BD =.

记,A B 的横坐标分别为A x ,B x ,

则cos 222

A p p p

FA AC x FA α==+=++

cos 4FA α=+,解得4

1cos FA α

=

-． 类似地有4cos FB FB α=-，解得4

1cos FB α

=+．

记直线m 与AB 的交点为E ,则1

()22

FA FB FE FA AE FA FA FB +=-=-

=- 2

144

4cos 21cos 1cos sin α

αα

α

??=-

= ?-+??． 所以2

4

cos sin FE FP αα

=

=． 故222442sin cos 2(1cos 2)8sin sin FP FP α

αααα

-=

-==·. 解法二:设()A A A x y ，，()B B B x y ，，直线AB 的斜率为tan k α=,则直线方程为

(2)y k x =-．

将此式代入2

8y x =得2

2

2

2

4(2)40k x k x k -++=，故22

4(2)

A B k x x k ++=.

记直线m 与AB 的交点为()E E E x y ，，则22

2(2)2A B E x x k x k +--=,4

(2)E E y k x k

=-=， 故直线m 的方程为22

4124k y x k k k ??

+-=-- ???

， 令0y =,得点P 的横坐标22244p k x k +=+,故222

4(1)4

sin P E k FP x x k α+=-==. 从而222442sin cos 2(1cos 2)8sin sin FP FP ααααα

-=

-==为定值． 22.解：(1)设直线AB 的方程为y kx c =+,

将该方程代入2

y x =得2

0x kx c --=．

令2()A a a ，，2

()B b b ，，则ab c =-．

因为22

2

2OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =, 或1c =-（舍去）．故2c =．

(2)由题意知2a b Q c +??

-

???，，直线AQ 的斜率为22222

AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--． ∴直线AQ 的方程为：2

2()y a a x a -=-,即2

2y ax a =-

由22

2y ax a y x

?=-?=?得22

20x ax a -+=,22(2)40a a ?=--= 因此,AQ 为该抛物线的切线． （3）(2）的逆命题成立，证明如下: 设直线AQ 的方程为：2

()y a k x a -=-,

由22

()y a k x a y x ?-=-?=?

得:22

0x kx ka a -+-= 若AQ 为该抛物线的切线,则,

2

2

4()02k ka a k a ?=--=?=

又设0(,)Q x c -,则直线AQ 的斜率为2200a c a ab k a x a x +-==--,所以20

2a ab

a a x -=-,

得2

02ax a ab =+,因0a ≠,有02

a b

x +=

. 故点P 的横坐标为

2

a b

+，即P 点是线段AB 的中点．