用待定系数法求二次函数解析式练习题
用待定系数法求二次函数解析式练习题
集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
用待定系数法求二次函数解析式练习题
姓名：
1.抛物线过点 (0,0) (1,2) (2,3)三点
2.抛物线顶点是(2,-1)且过点(-1,2)
3.图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
4.图象与X轴交于(2,0)(3,0)且函数最小值是-3
5.抛物线 y=x2-5(m+1)x+2m的对称轴是y轴
6. y=(m-3)x2+mx+m+3的最大值是0
解答题
1.若抛物线y=x2-4x+c
(1)过点A(1,3)，求c (2)顶点在X轴上，求c
2,若抛物线 y=ax2+2x+c，的对称轴是直线 x=2，且函数的最大值
是 -3,求 a,c
3.抛物线y=ax2+bx+c的顶点是(-1,2),且a+b+c+2=0
思考题
已知抛物线 y=ax2+bx+c 与直线y=kx+4 相交于点
A(1,m),B(4,8),与x轴交于坐标原点O和点C.
(1)求直线和抛物线解析式.
(2)在x轴上方的抛物线是否存在D点,使得S△OCD =S△OCB，若存在,求出所有符合条件的点;若不存在,说明理由.
待定系数法 习题训练
待定系数法 习题训练 Ⅰ、再现性题组： 1. 设f(x)＝x 2 ＋m ，f(x)的反函数f -1(x)＝nx －5，那么m 、n 的值依次为_____。 A. 52 , －2 B. －52 ， 2 C. 52 , 2 D. －52 ，－2 2. 二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12,13 )，则a ＋b 的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3. 在(1－x 3)（1＋x ）10的展开式中，x 5的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4. 函数y ＝a －bcos3x (b<0)的最大值为32，最小值为－12 ，则y ＝－4asin3bx 的最小正周期是_____。 5. 与直线L ：2x ＋3y ＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L ’的方程是_______________。 6. 与双曲线x 2－y 2 4＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。 【简解】1小题：由f(x)＝ x 2 ＋m 求出f -1(x)＝2x －2m ，比较系数易求，选C ； 2小题：由不等式解集(－12,13)，可知－12、13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a 、b 的方程组，易求得a ＋b ，选D ； 3小题：分析x 5的系数由C 105与(－1)C 102两项组成，相加后得x 5的系数，选D ； 4小题：由已知最大值和最小值列出a 、b 的方程组求出a 、b 的值，再代入求得答案23π； 5小题：设直线L ’方程2x ＋3y ＋c ＝0，点A(1,-4)代入求得C ＝10，即得2x ＋3y ＋10＝0； 6小题：设双曲线方程x 2－y 2 4＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程x 23－y 212＝1。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知函数y ＝mx x n x 22431 +++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。 【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m 、n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。 【解】 函数式变形为： (y －m)x 2 －43x ＋(y －n)＝0， x ∈R, 由已知得y －m ≠0 ∴ △＝(－43)2－4(y －m)(y －n)≥0 即： y 2－(m ＋n)y ＋(mn －12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y 2－(m ＋n)y ＋(mn －12)＝0的两根，
九年级数学_二次函数几种解析式的求法
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2 +bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9 的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y=x x 23 2 12 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4. 再将点(1,2)代入求得a=-21
∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(2 2--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d= a ? 就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型 例 6 如图1， 抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212 其中一条的顶点为P ，
用待定系数法求函数的解析式教案
运用待定系数法求函数的解析式(教案) 教学目标： 1.了解用待定系数法求函数解析式的一般步骤; 2.掌握用待定系数法求函数的解析式的方法; 3.通过自主、合作学习，培养学生勇于探索、勤于思考的精神. 教学重点：用待定系数法求函数的解析式 教学难点:选设适当形式的函数解析式并用待定系数法求出解析式 教学设计： 一、基础扫描 1．已知一次函数y=kx+3的图像经过两点A(2,-1)，则k=__________． 2．已知反比例函数 k y x =的图象经过（1，－2）．则k=__． 3．在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.求经过A、B、C三点的抛物线的解析式. 4．抛物线的顶点为（-2，-3），且过点（0，-7），求该抛物线的解析式． 问题1：结合上述四题，说说何为待定系数法？（板书课题） 问题2：谈谈用待定系数法求一次函数、反比例函数、二次函数解析式的一般步骤. 二、课内探究 活动一：一次函数的解析式的确定 1．与直线y=x平行，并且经过点P（1,2）的一次函数解析式为_________. 2．如图,在平面直角坐标系中,A、B均在边长为1的正方形网格格点上. (1)求线段AB所在直线的函数解析式,并写出当02 y ≤≤时,自变量x的 取值范围； (2)将线段AB绕点B逆时针旋转90,得到线段BC,请在图中画出线段 BC.若直线BC的函数解析式为y kx b =+, 则y随x的增大而(填“增大”或“减小”). 活动二：反比例函数解析式的确定 1．如图，某反比例函数的图象过点（－2，1），则此反比例函数表达式为（） A． 2 y x =B． 2 y x =-C． 1 2 y x =D． 1 2 y x =-
待定系数法求函数的解析式练习题集
用待定系数法求函数解析式 姓名 一、填空： 1、抛物线832 +-=x y 的开口 ，对称轴方程．．．．． 是 ，顶点坐标为 。 2、已知()1222---=n n x n y 是二次函数，且它的开口向上，则n ＝ ，解析式为 ， 此抛物线顶点坐标是 。 3、把抛物线23x y -=向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的解析式是 ， 此函数图象的顶点坐标是： 。 4、与抛物线22 1x y =的形状和开口方向相同，顶点为(3，1)的二次函数解析式为 。 5、把函数253212--- =x x y 配方成()k h x a y +-=2的形式为 ， 当x ＝ 时，函数y 有最 值，为 ；当x 时，y 随x 增大而减小。 6、抛物线652--=x x y 与x 轴交点坐标是 ，与y 轴交点坐标为 。 7、二次函数()4122 ++-=x k x y 顶点在y 轴上，则k ＝ ；若顶点在x 轴上，则k ＝ 。 8、抛物线c bx x y ++=2的顶点是(2，4)，则b ＝ ，c ＝ 。 9、二次函数c bx ax y ++=2图象如图所示，则a 0，b 0，c 0，b 2－4ac 0， a ＋ b ＋ c 0，a －b ＋c 0。 10、已知二次函数c bx ax y ++=2 中，a <0，b >0，c <0，则此函数图象不经过第 象限。 二、解答下列各题： 1、已知抛物线c bx ax y ++=2经过三点A(0，2)、B(1，3)、C(－1，－1)， 求抛物线解析式以及图象与x 轴的交点坐标。 2、已知抛物线c bx ax y ++=2中，21=a ，最高点的坐标是??? ? ?-251，，求此函数解析式。 3、已知抛物线经过以下三点(－1，0)，(3，0)，(1，－5)。 求该抛物线的解析式。
二次函数几种解析式的求法
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2 +bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9 的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23 212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4.
再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(2 2 --=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d= a ? 就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型
专题用待定系数法求二次函数的解析式
精心整理 精心整理 专题1-用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式常见的三种表达形式： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0） 顶点式：y=a(x －h)2+k （a ≠0，（h ，k ）是抛物线的顶点坐标） 交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)（a ≠0，x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标） 例1.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点坐标为（－2，4），且经过原点，求二次函数解析式. 求二次4例2x=－1x=－11. 2.3.4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式 6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 8.把二次函数25 3212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的
精心整理 精心整理 解析式。 9.二次函数y=ax 2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。 10.已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。 11.已知二次函数图象的顶点为（2,k ）,在一次函数y=x+1上，并且点（1,1）在图像上，求此二次函数解析式 12.已知二次函数y=ax 2-2ax+c(a 不为0)的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 左B 右，与y 轴正半轴交于点C ，AB=4，OA=OC,求二次函数的解析式 13. 2且x 114.3,0）， （1Q 点坐15（1（2）
利用待定系数法因式分解和分式的拆分等
第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等 一、 方法技巧 1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等． 2. 使用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）； （3）解方程（组），从而使问题得到解决. 例如：“已知()22 52x a x bx c -=-?++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ， b ， c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法． 3. 格式与步骤: (1)确定所求问题含待定系数的解析式. 上面例题中，解析式就是：()2 2a x bx c -?++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程. 在这一题中，恒等条件是： 210 5a b c -=??=??=-? (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决. ∴10 5a b c =??=??=-? 二、应用举例 类型一 利用待定系数法解决因式分解问题 【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除. （1）求a ，b （2）分解因式：432237x x ax x b -+++ 【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+--- 【解析】
九年级数学二次函数几种解析式的求法素材
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代 入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系 数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点， 且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.
再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-,4)1(212++x 即y=-.272 12+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函 数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移 两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(22--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为 2，求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a ?
待定系数法练习题
待定系数法练习题 一．选择题（共10小题） 1．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则此正比例函数的关系式为（） A．y=3x B．y=﹣3x C．D． 2．已知某条经过原点的直线还经过点（2，1），下列结论正确的是（） A．直线的解析式为y=2x B．函数图象经过二、四象限 C．函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）D．y随x的增大而减小 3．已知y﹣1与x成正比，当x=2时，y=9；那么当y=﹣15时，x的值为（） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 4．函数y=kx+2，经过点（1，3），则y=0时，x=（） A．﹣2 B．2 C．0 D．±2 5．一次函数的图象经过点（2，1）和（﹣1，﹣3），则它的解析式为（） A．B．C． D． 6．一次函数y=kx+b的图象如图，则（） A．B．C．D． 7．如图，矩形OABC的边OA在x轴上，O与原点重合，OA=1，OC=2，点D的坐标为（2，0），则直线BD 的函数表达式为（） A．y=﹣x+2 B．y=﹣2x+4 C．y=﹣x+3 D．y=2x+4
8．已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（） x ﹣1 0 1 y 1 m ﹣5 A．﹣1 B．0 C．﹣2 D． 9．已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则k的值为（） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．k的值不确定 10．把正比例函数y=2x的图象向下平移3个单位后，所得图象的函数关系式为（） A．y=2（x﹣3）B．y=2x﹣3 C．y=2x+3 D．y=2x 二．填空题（共8小题） 11．已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A（0，1），B（2，0），则当x时，y≤0． 12．如图，在直角坐标系中，已知矩形ABCD的两个顶点A（3，0）、B（3，2），对角线AC所在的直线L，那么直线L对应的解析式是． 13．如图，一次函数的y=kx+b图象经过A（2，4）、B（0，2）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为． 14．已知一次函数y=kx+b，当x减少3时，y增加2，则k的值是． 15．已知函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴交点的纵坐标为﹣2，且当x=2时，y=1．那么此函数的解析式 为． 16．正方形ABCO的边长是2，边OA，OC分别在y轴、x轴的正半轴上，且点E是BC的中点，则直线AE 的解析式是． 17．已知点A（2a﹣1，3a+1），直线l经过点A，则直线l的解析式是． 18．一次函数y=kx+b 的图象过点A（﹣1，2），且与y轴交于点B，△OAB的面积是2，则这个一次函数的表达式为． 三．解答题（共6小题） 19．在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种基本方法 二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2 +bx+c (a ≠0)。 2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。 3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0) 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。 4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。 探究问题，典例指津： 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x －4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。 分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。 解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2 －1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
第7讲 待定系数法求二次函数的解析式(基础课程讲义例题练习含答案)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础） 【学习目标】 1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式； 2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的． 【要点梳理】 要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2 y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2 ()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)； (3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2 y ax bx c =++或2 ()y a x h k =-+， 或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2 y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--． 【典型例题】 类型一、用待定系数法求二次函数解析式 1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式. 【答案与解析】 本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax 2 +bx+c(a ≠0)，由题意得： ?? ?? ?-=++-=++-=+-5 3939c b a c b a c b a 解得?????-==-=531c b a
待定系数法求解析式
待定系数法求函数解析式 【要点梳理】 一．已知三点求抛物线解析式 例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式． 例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式． 三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式 例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式． 四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式 例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 五．求平移后新抛物线解析式 例6把抛物线2x y- =向左平移1个单位，然后 向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式． 六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式 例7 在一张纸上作出函数3 2 2+ - =x x y的图 象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数 3 2 2+ - =x x y的图象关于x轴对称的抛物线， 并写出新抛物线解析式． 【课堂操练】 1．求下列条件下的二次函数解析式： （1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）． （2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）． 2．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于y轴对称的抛物线解析式． 3．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于x轴对称的抛物线解析式． 4．已知二次函数c bx x y+ + =2 2 1 的图象过点A （c，－2），，求证：这 个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线 上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字． （1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题 目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程； 若不能，请说明理由． （2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添 加一个适当的条件，把原题补充完整． 【课后巩固】 1．将抛物线2 y x =的图像向右平移3个单位，则 平移后的抛物线的解析式为___________． 2．二次函数3 4 2+ + =x x y的图象可以由二次 函数2x y=的图象平移而得到，下列平移正确的 是（） A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 3．已知2 y ax bx c =++的图象过（－2，－6）、 （2，10）和（3，24）三点，求函数解析式． 4．已知函数2 y ax bx c =++，当x＝1时，有最 大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的 解析式． 5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别 为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解 析式．
《待定系数法》习题
《待定系数法》习题 一、基础过关 1．将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向下平移h 个单位，沿x 轴向左平移k 个单位得到y ＝x 2－2x ＋3的图象，则h ，k 的值分别为 ( ) A ．－2，－1 B ．2，－1 C ．－2,1 D ．2,1 2．已知()()2231x x x ax b +-=-+，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．2,3 B ．2，－3 C ．－2,3 D ．－2，－3 3．已知二次函数的图象顶点为(2，－1)，且过点(3,1)，则函数的解析式为 ( ) A ．()2221y x =-- B ．()2221y x =+- C ．()2221y x =++ D ．()2221y x =-+ 4．已知二次函数221y x ax =-+在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a≤2或a≥3 B ．2≤a≤3 C ．a≤－3或a≥－2 D ．－3≤a≤－2 5．二次函数的图象与x 轴交于A (－2,0)，B (2,0), 并且在y 轴上的截距为4，则函数的解析式为________________________________________________________________________． 6．如图所示，抛物线()2 213y x m x m =-++++与x 轴交于A 、B 两点，且OA ＝3OB ，则m ＝________. 7．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求此二次函数的解析式． 二、能力提升 8．已知函数2 y ax bx c =++，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图中的( )
二次函数解析式的8种求法
二次函数解析式的8种求法 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉： 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次． 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ． 解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1 由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3 ∴ m = 3 ． 二、开放型 此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ． 分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2 中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一） 三、平移型： 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．
例3、二次函数 2 53212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的． 解：Θ253212++= χχy = ()232 12-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的． 这两类题目多出现在选择题或是填空题目中 四、一般式 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2 ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值； 五、顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数； 六、两根式 已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，， ，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值． 例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式： 1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5） 2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5） 3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－ 29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得：
用待定系数法求数解析式
用待定系数法求数解析式
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用待定系数法求二次函数解析式 二次函数是初中数学主要内容之一，也是联系高中数学的重要纽带。它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点，求二次函数的解析式又是重点。求二次函数的解析式，要观察题目中给出的条件，灵活选用方法。一般地，有三个点且点不是特殊点时，一般采用一般式；若有三个点，且有二点为函数图像与x 轴交点时，采用交点式；若有顶点时，一般采用顶点式。同时，在采用交点式时，要注意二次项系数a 不能漏掉。应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，运用待定系数法求解。即：根据已知条件列出关于a 、b 、c 或h 、k 及x 1、x 2的方程(注意有几个未知数就列出几个方程)；解方程组求出待定的系数；写出解析式，要化为一般式． (1)一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) ⑵顶点式：y=a(x-h)2＋k(a ≠0)，（h,k ）是抛物线顶点坐标。 (3)交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)，x 1，x 2分别是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标． 思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式： 较方便。 例1 图像过A(0，1),B(1，2),C(2，-1)三点，求这个二次函数的关系式． 解：分析：因为图像过三点，且三个点不属于特殊点。因此，只能采用一般式求解。 设函数解析式为y=ax 2+bx+c ∵抛物线过（0，1），（1，2），（2，-1） c=1 ∴ a+b+c=2 4a+2b+c=-1 解之得a=-2，b=3，c=1； ∴函数解析式为y=-2x 2+3x+1 小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。 思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式 较方便。 例2 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式． 分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9． 根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值． 小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。试一试，比较一下。 思路3、已知图象与 轴两交点坐标，可用交点 的形式，其中x 1、x 2， 为抛物线与 轴的交点的横坐标，也是一元二次方程 的两个根。 一般地，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解；当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以，已知抛物线与x 轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中x 1 ，x 2 为两交点的横坐标。 例3已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 解 设所求二次函数为，y=a(x+2)(x-4)，由于这个函数的图象过（0，3），可以得到a(0+2)×(0-4)=3 解这个方程组，得a= -38 所以: y= -38(x+2)(x-4)= 233 384 x x -++. 所以，所求二次函数的关系式是y= 233 384 x x -++. 思路4、已知图象与 轴两交点间距离 ，求解析式，可用︱x 1-x 2︱2=（x 1+x 2）2 -2x 1x 2的形式来求，其中︱x 1-x 2︱ 为两交点之间的距离， x 1、x 2为图象与 轴相交的交点的横坐标。 4、二次函数的图象与 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 思路5、由已知图象的平移求解析式，一般是把已知图象的解析式写成y=a(x-h)2＋k 的形式，若图象向左（右）移动m 个单位，括号里-h 的值就加（减）m 个单位；若图象向上（下）平移 n
待定系数法求函数的解析式练习题集
待定系数法求一次函数得解析式练习题 一、旧知识回顾 1,填空题: (1)若点A(-1,1)在函数y=kx得图象上则k= 、 (2)在一次函数y=kx-3中,当x=3时y=6则k= 、 (3)一次函数y=3x-b过A(-2,1)则b= ,。 3、解方程组: 3.练习: (1)已知一次函数得图象经过点(1,-1)与点(-1,2)。求这个函数得解析式。 (2)已知一次函数y=kx+b中,当x=1时,y=3,当x=-1时,y=7。求这个函数得解析式。且求当x=3时,y得值。 (3)师:已知直线上两点坐标,能求出这条直线得解析式,若不直接告诉两点得坐标,已知这条直线得图象,能否求出它得解析式？ 如: 5.练习: 1.选择题: 1)一次函数得图象经过点(2,1)与(1,5),则这个一次函数( ) A、y=4x+9 B、 y=4x-9 C、 y=-4x+9 D、 y=-4x-9 (2)已知点P得横坐标与纵坐标之与为1,且这点在直线y=x+3上,则该点就是( ) A、(-7,8) B、 (-5,6) C、 (-4,5) D、 (-1,2) 3)若点A(-4,0)、B(0,5)、C(m,-5)在同一条直线上,则m得值就是( ) A、8 B、4 C、-6 D、-8 (4)一次函数得图象如图所示,则k、b得值分别为( ) A、k=-2,b=1 B、k=2,b=1 C、k=-2,b=-1 D、k=2,b=-1 2、尝试练习: (1)已知一次函数 y=kx+2,当x=5时,y得值为4,求k得值。 (2)已知直线y=kx+b经过(9,0)与点(24,20),求这个函数得解析式。 (3)一次函数y=kx+5与直线y=2x-1交于点P(2,m),求k、m得值、 (4)一次函数y=3x-b过A(-2,1)则b= ,该图象经过点B( ,-1)与点C(0, )、 (5)已知函数y=kx+b得图象与另一个一次函数y=-2x-1得图象相交于y轴上得点A,且x轴下方得一点B(3,n)在一次函数y=kx+b得图象上,n满足关系n2=9、求这个函数得解析式、
二次函数待定系数法求函数解析式(供参考)
专题训练求二次函数的解析式 一、已知三点求解析式 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点. 2.一个二次函数的图像经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点．求这个二次函数的解析式． 3. 已知二次函数的图象经过点（－1，－6），（1，－2）和（2，3），求这个二次函数的解析式，并求它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（1，0），（2，0），（3，4）三点，则求抛物线的解析式。 5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，10），（2，7），且3a＋2b＝0，求该抛物线的解析式。 6.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.
7. 已知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A （－3，0）和B （0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M ，它的对称轴与x 轴的交点记为N.（1）求抛物线C 的解析式；（2）求点M 的坐标； 8.已知：如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A ，B ，C 三点.求此抛物线的解析式. 9. 如图所示，求此抛物线的解析式。 10. 如图，抛物线c bx x y ++- =22 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．求抛物线的解析式．
11．如图所示，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过点A（－1，0），C（0，4）. （1）求抛物线的解析式； （2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于x轴对称的点的坐标. 12.如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A（1，0），C（0，－3）. （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标. 13. 如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）. （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）.
利用待定系数法求函数解析式练习题
20.已知点A（ 1，）、B 、O（0,0），试说明A、O、B三点在同一条直线上。 22.为缓解用电紧张矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示．分别求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的函数关系式； 23.已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图象都经过点P（-2，1），且一次函数图象与y轴交于点Q（0，3）。 （1）求出这两个函数的解析式； （2）在同一个坐标系内，分别画出这两个函数的图象。 24..若一次函数的图象与直线y=-3x+2交y轴于同一点，且过点(2,-6)，求此函数解析式25、某一次函数的图像与直线y=6-x交于点A(5,k),且与直线y=2x-3无交点，求此函数的解析式. 26、已知直线y=kx+b在y轴上的截距为－2，且过点（－2,3）. （1）求函数y的解析式；（2）求直线与x轴交点坐标；（3）x取何值时，y＞0； 27、直线x-2y+1=0 在y轴上的截距为______． 28.一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范围是-3≤x≤6相应函数值的范围是-5≤y≤-2,求这个函数的解析式. 29. 一次函数y=kx+b的图象过点(-2,5)，并且与y轴相交于点P，直线y=-1/2x+3与y轴相交于点Q，点Q与点P关于x轴对称，求这个一次函数解析式 30、正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为（3,4），并且OB＝5 （1）求△OAB的面积 （2）求这两个函数的解析式 3)3 ,1 (- -
6.一次函数y=kx+b中，kb>0,且y随x的增大而减小，则它的图象大致为（） 8.下面是y=k1x+k2与y=k2x在同一直角坐标系中的大致图象,其中正确的是( )