2019年广州中考数学试题(附详细解题分析)

2019年广东省广州市中考数学试卷

考试时间：100分钟 满分：120分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10 小题，每小题 3 分，合计30分．

{题目}1．（2019年广州）|-6|=（ ）

A ．－6

B ．6

C ．16

-

D ．

16

{答案}B

{解析}本题考查了绝对值的定义. 负数的绝对值是它的相反数，-6的相反数是6. 因此本题选B ． {分值}3

{章节:[1-1-2-4]绝对值 } {考点:绝对值的意义} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}2．（2019年广州）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处. 到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3. 这组数据的众数是（ ）

A ．5

B ．5.2

C ．6

D ． 6.4{答案}A

{解析}本题考查了众数的定义，众数是一组数据中次数出现最多的数据. 本题中建设长度出现最多的是5，因此本题选A ． {分值}3

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:众数} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}3．（2019年广州）如图1 ，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若tan ∠BAC =

2

5

，则此斜坡的水平距离AC 为（ ）

A ．75 m

B ．50 m

C ．30 m

D ． 12 m

{答案}A

{解析}本题考查了解直角三角形，根据正切的定义，tan ∠BAC=

BC AC . 所以，tan BC

AC BAC

=∠，代入数据解得，AC =75. 因此本题选A ．

{分值}3

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:正切}

{考点:解直角三角形} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}4．（2019年广州）下列运算正确的是（ ）

A ．321--=-

B ．2113()33

?-=- C ．3515

x x x ?= D ． a ab a b

?=A

C

B 图1

{答案}D

{解析}本题考查了代数运算，根据有理数减法，325--=-，故A 不正确；根据有理数乘法和乘方运算，2111

3()3393

?-=?

=，故B 不正确；根据同底数幂乘法法则，358x x x ?=，故C 不正确；根据二次根式运算法则，D 正确. 因此本题选D ． {分值}3

{章节:[1-16-2]二次根式的乘除} {考点:两个有理数的减法} {考点:乘方运算法则} {考点:两个有理数相乘} {考点:同底数幂的乘法}

{考点:二次根式的乘法法则} {类别:易错题} {难度:2-简单}

{题目}5．（2019年广州）平面内，e O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作e O 的切线的条数为（ ）

A ．0 条

B ．1 条

C ．2 条

D ． 无数条

{答案}C

{解析}本题考查了切线长定理. 因为点P 到O 的距离d =2，所以，d >r . 从而可知点P 在圆外. 由于圆外一点可引圆的两条切线，因此本题选C ． {分值}3

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:切线长定理}

{考点:点与圆的位置关系} {类别:易错题} {难度:2-简单}

{题目}6．（2019年广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等. 设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ） A ．

120150

8

x x =

- B ．

120150

8x x

=

+ C ．

1201508x x =- D ． 120150

8

x x =

+{答案}D

{解析}本题考查了分式方程解应用题，甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（x+8）个零件. 根据两人的工作时间相等以及工作时间等于工作总量除以工作效率，可列出正确的分式方程. 因此本题选D ． {分值}3

{章节:[1-15-3]分式方程}

{考点:分式方程的应用（工程问题）} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}7．（2019年广州）如图2，□ABCD 中，AB =2，AD =4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点. 则下列说法正确的是（ ）

A ．EH =HG

B ．四边形EFGH 是平行四边形

C ．AC ⊥B

D D ． △ABO 的面积是△EFO 的面积的2倍 {答案}B

{解析}本题考查了平行四边形的综合性质. 由E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点可知，EF ，FG ，HG ，EH 分别是△ABO ，△BCO ，△CDO ，△DAO 的中位线，EH =2，HG =1. 故A 不正

G H F E O

D

B A 图2

确；由前面的中位线分析可知，EF //HG ，EH //FG ，故B 正确；若AC ⊥BD ，则□ABCD 为菱形. 但AB ≠AD ，可知C 不正确；根据中位线的性质易知，△ABO 的面积是△EFO 的面积的4倍，故D 不正确. 因此本题选． {分值}3

{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质} {考点:三角形中位线}

{考点:平行四边形边的性质} {考点:平行四边形对角线的性质}

{考点:两组对边分别平行的四边形是平行四边形} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}

{题目}8．（2019年广州）若点A （-1，y 1），B （2，y 2），C （3，y 3）在反比例函数6

y x

=

的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 3 < y 2 < y 1 B ．y 2 < y 1 < y 3

C ．y 1 < y 3 < y 2

D ． y 1 < y 2 < y 3

{答案}C

{解析}本题考查了反比例函数的性质，当x=-1，2，3时，y 1=-6，y 2=3，y 3=2. 故可判断出y 1 < y 3 < y 2. 本题也可以通过数形结合，在坐标轴上画出图象，标出具体的点的坐标的方法得出结论. 因此本题选C ． {分值}3

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}9．（2019年广州）如图3，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ，若BE =3，AF =5，则AC 的长为（ ）

A ．45

B ．43

C ．10

D ． 8

{答案}A

{解析}本题考查了特殊平行四边形的性质和勾股定理. 如图，连接AE ，根据已知条件，易证△AFO ≌△CEO ，从而CE =AF =5. 因为EF 垂直平分AC ，所以AE =CE =5. 由∠B =90°，根据勾股定理，可得

AB =4. 因为BC =BE +EC =8，所以2

2

45AC AB BC =+=.除此以外，本题可以通过利用△COE ∽△CBA 求解. 因此本题选A ．

{分值}3

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:勾股定理}

{考点:垂直平分线的性质} {考点:矩形的性质}

{考点:相似三角形的性质} {类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}10．（2019年广州）关于x 的一元二次方程x 2-(k -1)x -k +2=0有两个实数根x 1，x 2，若(x 1-x 2+2)(x 1-x 2-2)+2x 1x 2=-3，则k 的值为（ ） A ．0或2 B ．-2或2 C ．-2 D ． 2

F E

D C

B

A 图3

F

O E D

C

B

{答案}D

{解析}本题考查了一元二次方程的相关性质. 根据题目可知，121x x k +=-，122x x k ?=-+.

另21212121212(2)(2)2()42x x x x x x x x x x -+--+=--+ 21212()42x x x x =+--. 代入上面的根与系数的关系，可化简得2

(1)42(2)3k k ----+=-，解得k =±2. 当k =-2时，△<0，方程没有实数根，舍去. 因此本题选D ． {分值}3

{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系} {考点:灵活选用合适的方法解一元二次方程} {考点:根与系数关系} {考点:根的判别式} {类别:易错题}

{难度:4-较高难度}

题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，合计18分．

{题目}11．（2019年广州）如图4，点A ，B ，C 在直线l 上，PB ⊥l ，PA =6cm ，PB =5cm ，PC =7cm ，则点P 到直线l 的距离是 cm. {答案}5

{解析}本题考查了垂线段最短这个公理，因此本题是5． {分值}3

{章节: 第5章}

{考点:垂线段最短}

{类别:数学文化} {难度:1-简单}

{题目}12．（2019年广州）代数式

8

x -有意义，应满足的条件是 . {答案}8x >

{解析}本题考查了二次根式被开方数是非负数和分式分母不为0，因此本题是8x >． {分值}3

{章节: 第15和16章}

{考点: 二次根式被开方数是非负数和分式分母不为0} {类别:易错题} {难度:2-简单}

{题目}13．（2019年广州）分解因式：2

2x y xy y ++= . {答案} 2

(1)y x +

{解析}本题考查了提公因式法和完全平方公式分解因式，因此本题是2

(1)y x +． {分值}3

{章节: 第14章} {考点:因式分解} {类别:常考题} {难度:2-简单}

C A B

P 图4

{题目}14．（2019年广州）一副三角板如图5放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转α

(090)o o α<<，使得三角板ADE 的一边的直线与BC 垂直，则α的度数为 .

{答案}15°或60°

{解析}本题考查了旋转、三角形内角和和分类讨论思想，因此本题是15°或60°． {分值}3

{章节: 第23章}

{考点: 旋转、三角形内角和和分类讨论思想} {类别:思想方法} {难度:3-中等难度}

{题目}15．（2019年广州）如图6放置的一个圆锥，它的主视图是直角边为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 .（结果保留π） {答案}22π

{解析}本题考查了勾股定理、三视图和扇形的弧长，因此本题是22π． {分值}3

{章节: 第24章}

{考点: 扇形的弧长} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}16．（2019年广州）如图7，正方形ABCD 的边长为2，点E 在边AB 上运动（不与A,B 重合），较∠DAM=450，点F 在射线AM 上，且AF= 2BE ，CF 与AD 相交于点G,连接EC,EF,EG.则下列结论：

(1)045ECF =∠, (2)2

1+2

AEG a △的周长为（

），(3)222BE DG EG += (4)21

8

EAF a △的面积的最大值是，其正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）

{答案}(1)和(4)

{解析}本题考查了正方形和勾股定理，因此本题是(1)和(4)． {分值}34

{章节: 第18章}

{考点: 正方形和勾股定理} {类别:高度原创} {难度:4-较高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共3小题，合计18分．

图5 图6 图7

{题目}17．（2019年广州市第17题）解方程组

1 39 x y x y -=??

+=?①②

{解析}本题考查了二元一次方程组．

{答案}解：由②-①得：48y =

解得：2y =

将2y =代入①得21x -=

解得3x =

∴原方程组的解为32x y =??

=?

{分值9}

{章节:[1-8-2]消元---解二元一次方程组} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:解二元一次方程组}

{题目}18．（2019年广州市第18题）如图8，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ,DE FE =,

FC//AB

求证：ADE ?≌CFE ?

{解析}本题考查了全等三角形的判定方法，以及平行线的性质．

{答案}解：∵ FC//AB

∴A ACF ∠=∠,ADF F ∠=∠ 在ADE ?和CFE ?中

A ACF ADF F DE FE

∠=∠??

∠=∠??=? ∴ADE ?≌CFE ?

{分值9}

{章节:[1-12-2]全等三角形的判定} {难度:2-简单}

{类别:常考题}{类别:易错题}

{考点:全等三角形的判定}{考点:全等三角形的判定SSS} {考点:全等三角形的判定SAS}

{考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {考点:平行线的性质与判定}

{题目}19．（2019年广州第19题）

已知)(1

22

2b a b

a b a a P ±≠+--=

（1）化简p

（2）若点),(b a 在一次函数2-=x y 的图象上，求p 的值.

{解析}本题考查了因式分解、分式通分约分和分式运算、一次函数图象上点的坐标与解析式的关系、代数式的运算、分母有理化．

（1）对第一个分式的分母因式分解后，确定两个分式的最简公分母，然后进行通分，把异分母分式化成同分母分式进行减法运算，最后把算得的结果进行约分.

（2）将点的的坐标代入一次函数的解析式，得到一个关于字母b a ,的式子，把字母b 或者a 用含另一个字母的式子来表示后，代入第一问化简后的结果，就可以消去a 和b ，得到一个具体的数

2

2

，也可以把2-=a b 化成2=-b a ，整体代入第一问化简的结果. {答案}解： （1）))(())((2b a b a b

a b a b a a p -+---+=

()()()b a b a b a a -+--=2 ()()b a b a b

a -++=

b

a -=1

（2）将点),(b a 代入2-=x y 得

2-=a b 则()

22

2

1211=

=--=-=

a a

b a p {分值}10分

{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:因式分解－平方差} {考点:约分} {考点:通分}

{考点:一次函数的图象}

{题目}20．（2019年广州第20题）

某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.

扇形统计图

组别 时间/小时 频数/人数

A 组 0≤t ＜1 2

B 组 1≤t ＜2 m

C 组 2≤t ＜3 10

D 组

3≤t ＜4 12 E 组

4≤t ＜5

7

F 组

t ≥5

4

请根据图表中的信息解答下列问题： （1）求频数分布表中的m 的值；

（2）求B 组，C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图；

（3）已知F 组的学生中，只有1名男生，其余都是女生.用列举法求以下事件的概率；从F 组中随机选取2名学生，恰好都是女生.

{解析}本题第一问和第二问考查了统计常见的频数分布表和扇形统计图，第三问考查了“分两层”的“不放回”的概率，用列表法和树形图法都可以．

（1）用总数减去已知的各组的频数就可以得出B 组的频数m 的值；（2）B 组人数占了总人数的

81，所以对应的扇形的圆心角占360°的81；C 组的人数占总人数的4

1

，所以对应的扇形的圆心角占360°的4

1

；（3）用列表法或树形图法列出2名学生所以可能的组合情况，找出恰好都是女生的

所有情况，()所有可能的情况数

恰好都是女生的情况数

恰好都是女生=P .

{答案}解： （1）5471210240=-----=m

（2）B 组：

?=??45360405；C 组：?=??9036040

10

（3）

共有12种等可能的情况，其中恰好都是女生的共有6中，分别是女1 女2、女1 女3、女2 女1、女2女3、

女3 女1、女3 女2。

所以P （恰好都是女生）=

2

1126= {分值}10分

{章节:[1-10-1]统计调查}

{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:频数（率）分布表} {考点:扇形统计图}

{考点:两步事件不放回}

{题目}21．（2019年广州第21题）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G 基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G 基站数量是目前的4倍；到2022年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座. （1）计划到2020年底，全省5G 基站的数量是多少万座？

（2）按照计划，求2020年底至2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率. {解析}本题考查了一元二次方程的应用问题（增长率）．

（1）直接用目前的1.5万座乘以4就可以得到2020年的数量；（2）套用公式a (1＋x )2＝b ，注意计算的正确性即可；

{答案}解： （1）万万645.1=?座

答：计划到2020年底全省5G 基站的数量是6万座. （2）设全省5G 基站数量的年平均增长率为x .

根据题意得：()34.17162

=+x

解得%707.01==x ，（不符合题意，舍去）7.22-=x

答：全省5G 基站数量的年平均增长率为50%．

{分值}12分

{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程} {类别:易错题}

{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}

{题目}22．（2019年广州市市第22题）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P(-1,2)，AB ⊥x 轴于点E ，正比例函数y=mx 的图像与反比例函数x

n y 3

-=的图像相交于A ，P 两点.

（1）求m ，n 的值与点A 的坐标； （2）求证：AEO CPD ???； （3）求sin ∠CDB 的值.

{解析}本题考查了代数与几何的综合运用。（1）利用待定系数法求解反比例函数和正比例函数解析式；（2）相似三角形的证明；（3）由（2）将sin ∠CDB 转化为求sin ∠EOA ．

{答案}解：

).2,1(,21.1,1222

2.

2

2.1,21

3

223

)2,1(P 1212-∴-==-==-=-∴??

???-=-=∴-=-=∴=-=--=

-=∴-==-A y x x x x x y x y x

y x y n m n m x

n y mx y 时，当解得反比例函数：正比例函数：，解得，的图像上，与在函数点）（Θ

AEO CPD CPD 90AEO AB EAO DCP 90CPD CD AB BD AC ABCD 2??∴∠==∠∴⊥∠=∠=∠∴⊥∴∽轴

，∥，为菱形

四边形）（οοΘΘx

55

25

2AO AE EOA sin CDB sin 5EO AO AEO Rt 2

AE 1OE AB )2,1(A 1EOA

CDB AEO

CPD 322===

∠=∠∴=+===∴⊥-∠=∠∴AE x 中，△在，轴，且）得由（∽△△）（Θ

{分值}12分

{章节: {章节:[1-26-1]反比例函数} {难度:3-中等难度}

{类别:思想方法}{类别:常考题} {考点:代数与几何综合运用}

{题目}23．（2019年）如图10，圆O 的直径AB=10，弦AC=8，连接BC. （1）尺规作图：作弦CD ，使CD=BC （点D 不与B 重合），连接AD ；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD 的周长. {解析}本题考查了尺规作图与圆的相关知识． {答案}解： （1）如图

(3)如图，连接OC ，BD ，设OC 与BD 相交于E

∵CB =CD

∴CB

?=CD ? ∴OC ⊥BD,点E 为BD 中点 ∵AB 为圆O 的直径 ∴∠ACB =90°

∵AB =10，AC =8 ∴BC =√AB 2?AC 2=6 设OE =x ，则CE =5?x

由勾股定理有BC 2?CE 2=OB 2?OE 2 即62?(5?x )2=52?x 2

解得x =7

5

∵E 为BD 中点，O 为AB 中点

∴AD =2OE =14

5

所以四边形ABCD 的周长为：AB +BC +CD +AD =

124

5

{分值}12分

{章节:[1-24-1]圆} {难度:4-较高难度}

{类别:思想方法}{类别:常考题} {考点:尺规作图与圆的相关知识}

{题目}24．（2019年广东省广州市第24题）

如图11，等边△ABC 中，AB ＝6，点D 在BC 上，BD ＝4，点E 为

边AC 上一动点(不与点C 重合)，△CDE 关于DE 的轴对称图形为△FDE (1)当点F 在AC 上时，求证:DF ∥AB

(2)设△ACD 的面积为S 1,△ABF 的面积为S 2，记S ＝S 1?S 2:

S 是否存在最大值?若存在，求出S 的最大值;若不存在,请说明理由 (3)当B ，F ，E 三点共线时，求AE 的长

{解析}本题考查了平行线的判定，由面积的最值问题涉及到的线段最短问题，对称问题，三角函数问题、勾股定理，三点共线问题等知识点。三点共线问题对学生来说不好理解，而且在复习过程中涉及的这类题型比较少，因此这题对学生来说难度还是很大的。 （1） 当点F 在AC 上时，可知∠A ＝∠CFD=60°可得：DF ∥AB （2）△ACD 的面积通过已知条件易得3√3 ，要使S ＝S 1?S 2存在最大值，则S 2的面积要最小，

即△ABF 的面积要最小，也就是高即FH 最小，当D ，F ，H 三点共线时，FH 取最小值。

（3）当B ，F ，E 三点共线时，∠BFD ＝180°-∠EFD ＝120°,想办法作高，这道题能够正确作出辅助线是关键。然后再利用特殊角的三角函数值或勾股定理来求解。计算量还是比较大的。

{答案}解： (1)当F 在AC 上时，如图，

∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°， 由折叠得，∠DFC ＝∠C ＝60° ∴∠DFC ＝∠A ， ∴DF ∥AB.

(2)过A 点作AG ⊥BC 于点G ，如图， ∵△ABC 为等边三角形， ∴BC=AB=6.

∴ AG=AB.sin 60=3√3 ∵BD=4, ∴ CD=BC-BD=6-4=2 ∴S 1=1

2CD .AG =3√3

由折叠得，FD ＝DC ＝2，

∴F 点在以D 点为圆心，半径为2的圆上， 过F 点作FH ⊥AB 于点H ， ∴S 2 =12AB ×FH =3FH S ＝S 1?S 2=3√3-3FH

∴当FH 取最小值时，S 有最大值，DF+FH ≥DH ∴当D ，F ，H 三点共线时，FH 取最小值， 此时，FH=DH-DF ＝BD.sin ∠ABD-DF ＝2√3?2 3√3-3FH=3√3-2(2√3?2)=6?3√3 S 取最大值为6?3√3

(3)法一:由折叠得，∠EFD ＝∠ECD ＝60°，DF ＝DC ＝2， 当B ，F ，E 三点共线时，∠BFD ＝180°-∠EFD ＝120°

如图，过D 点作DG ⊥BE 交BE 于点G ，过B 点作BH ⊥AC 交AC 于点H ， 在Rt △DFG 中，FG ＝DF-cos ∠DFG ＝1，DG ＝DF-sin ∠DFG ＝√3

在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BG ＝√BD 2

?GD 2=√13

BF=BG-FG=√13?1

在Rt △ABC 中，CH ＝1

2AC ＝3，BH ＝BC.sin ∠C ＝3√3，

设CE ＝EF ＝x ，

则HE ＝CH-CE ＝3-x ，BE ＝BF+EF ＝√13-1+x ， 在RI △BEH 中，由匀股定理得BH 2+EH 2=BE 2

()22

2

)113()

3(33x x +-=-+

解得：113-=x

∴AE=AC-CE=137-

法二：由折叠得，∠EFD ＝∠ECD ＝60°，DF ＝DC ＝2， 当B ，F ，E 三点共线时，∠BFD ＝180°-∠EFD ＝120°

如图，过D 点作DG ⊥BE 交BE 于点G ，过B 点作BH ⊥AC 交AC 于点H ，

在Rt △DFG 中，FG ＝DF-cos ∠DFG ＝1，DG ＝DF-sin ∠DFG ＝√3

在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BG ＝BD ?GD 2=√13

∴BF=BG-FG=√13?1

∵

2=CD BD

∴2=??CDE

BDE S S

由折叠得EDC EDF ??? ∴EDC EDF S S ??=

∴BFD EDF S S ??=,BF=EF=CE=√13?1

∴AE=AC-CE=7-√13

{分值}14

{章节:[1-12-3]等边三角形} {难度:5-高难度} {类别:高度原创}

{考点:平行线的性质与判定} {考点:等边三角形的性质} {考点:三角形的面积} {考点:三角形的成立条件} {考点:三线合一}

{考点:含30°角的直角三角形} {考点:勾股定理的应用}

{考点:三点共线的条件及应用} {考点:轴对称图形的性质} {考点:面积的最值}

{题目}25.（2019年广州中考第25题）已知抛物线G ：2

23y mx mx =--有最低点.

（1）求二次函数2

23y mx mx =--的最小值（用含m 的式子表示）；

（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线1G .经过探究发现，随着m 的变化，抛物线1G 顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）记（2）所求的函数为H ，抛物线G 与函数H 的图象交于点P ，结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围.

{解析}本题考查了含参二次函数图象的性质，抛物线的变换—平移，数形结合．第（2）问中利用消元思想求函数解析式与高中阶段含参数方程十分类似。

（1）把抛物线的转化成顶点式求得顶点坐标，而顶点的纵坐标即为其最小值；

（2）利用抛物线图象平移的特征可表示出平移后的解析式，联立横纵坐标的表达式组成方程组，然后消去参数m ，即可得函数关系式，再利用x 的表达式求得其取值范围；

（3）首先利用抛物线的含参解析式求得其定点，并画出两个函数的图象，用数学结合法，两条连续函数交点的位置就可以锁定了，从而求解得出答案。

{答案}解： （1）由题意得：2

2

2

23(2)3(1)3y mx mx m x x m x m =--=--=---, ∵抛物线有最低点， ∴m>0,

又∵2

(1)0x -≥， ∴2(1)0m x -≥， ∴3y m ≥--，

∴二次函数的的最小值是3m --.

（2）由题意得，1G ：2

(1)3y m x m m =----（m>0）， 设1G 的顶点为1D ，则有1(1,3)D m m +--，

则13

x m

y m =+??

=--?消去参数m ，得2y x =--，

∵m>0，∴11x m =+>， ∴函数关系式为2y x =--， 自变量x 的取值范围是1x >.

（3）∵2

23y mx mx =--，

∴2

(2)3y x x m =--

令220x x -=，得120,2x x ==， ∴抛物线G 过定点（0，3-），(2,3)D - 结合图象如下图：

抛物线的顶点E （1，3m --），

当1x =时，123y =--=-，∴点F （1，3-），

∵33m ->--，∴点F 在点E 的上方， 当2x =时，抛物线G 过点(2,3)D -，

函数2y x =--过点(2,4)M -，

∴点D 在点M 的上方，

∴抛物线G 与函数H 交点在线段FM 上（不包含端点）， ∴交点P 的纵坐标P y 取值范围是：43P y -<<-. {分值}14分

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {难度:5-高难度} {类别:高度原创}

{考点:二次函数y ＝ax 2+bx+c 的性质} {考点:求二次函数的函数值} {考点:二次函数图象的平移}

{考点:二次函数的系数与图象的关系} {考点:含参系数的二次函数问题} {考点:其他二次函数综合题}