构造函数法解选填压轴题

微专题：构造函数法解选填压轴题

高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。

几种导数的常见构造：

1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=

若遇到()()0'≠>a a x f ，则可构()()ax x f x h -=

2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=

3．对于'()()0f x f x +>，构造()()x f e x h x

= 4．对于'()()f x f x > [或'()()0f x f x ->]，构造()()x f x h x e =

5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =

6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()x

x f x h = 一、构造函数法比较大小

例1．已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立，0.20.22(2)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，33log 9(log 9)c f =,则,,a b c 的大小关系是 ( ) .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .Db a c >>

【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+,

所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减,

当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减.

因为0.2122<<,0131og π<<,3192og =,所以0.23013219og og π<<<,所以b a c >>,选D.

变式: 已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x +

>， 若111(),2(2),ln (ln 2)222

a f

b f

c f ==--=，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（ D ） .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .Db a c >>

例2．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ?∈，均有()()f x f x '>，则有

A ．2016(2016)(0)e

f f -<，2016(2016)(0)f e f > B ．2016(2016)(0)e f f -<，2016(2016)(0)f e f < C ．2016

(2016)(0)e f f ->，2016(2016)(0)f e f > D ．2016(2016)(0)e f f ->，2016(2016)(0)f e f < 【解析】构造函数()(),x f x g x e

=则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e '''--'==， 因为,x ?∈R 均有()()f x f x '>，并且0x e >，所以()0g x '<，故函数()()x f x g x e =

在R 上单调递减， 所以(2016)(0)(2016)(0)g g g g -><，，即20162016(2016)(2016)(0)(0)f f f f e e

--><，， 也就是20162016(2016)(0)(2016)(0)e f f f e f -><，，故选D ．

变式: 已知函数()f x 为定义在R 上的可导函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，e 为自然对数的底数，则（ C ）

2016.(1)(0)(2016)(0)A f e f f e f >??、

2016.(1)(0)(2016)(0)C f e f f e f >?>?、 2016.(1)(0)(2016)(0)D f e f f e f

例3．在数列{}n a 中，1()n 1,()n n a n N +*=+∈．则数列{}n a 中的最大项为( )．

A

B

C

D ．不存在

【解析】由已知1a =

2a =

，3a =

4a 易得12234,......a a a a a <>>>. 猜想当2n ≥时，{}n a 是递减数列

又由11n n a n +=+知ln(1)ln 1

n n a n +=+，令ln ()x f x x =， 则221ln 1ln ()x x x x f x x x

?--'== ∴当3x ≥时，ln 1x >，则1ln 0x -<，即()0f x '<

∴()f x 在[)3,+∞内为单调递减函数，

2n ∴≥时，{}ln n a 是递减数列，即{}n a 是递减数列

又12a a <，∴数列{}n a

中的最大项为2a 故选B ．

练习1．已知函数)(x f y =对任意的)22(ππ，-

∈x 满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>,则（ ）A ．)4(2)0(πf f > B. )3(2)0(π-

()3(2ππ-<-f f

提示：构造函数()()cos f x g x x

=，选D ．

二、构造函数法解恒成立问题

例1．若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（ ）

A ．()()af b bf a <

B ．()()bf a af b <

C ．()()af a bf b <

D ．()()bf b af a <

【解析】由已知()()0xf x f x '+> ∴构造函数 )()(x xf x F =，

则()F x '=()()0xf x f x '+>， 从而)(x F 在R 上为增函数。

a b < ∴()()F a F b < 即()()af a bf b <，故选C 。

例2．已知)(x f 是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足)()(x f x f x -'≤0，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（ ）

A ．()()af b bf a ≤

B ．()()bf a af b ≤

C ．()()af a bf b ≤

D ．()()bf b af a ≤ 【解析】x x f x F )()(=，0)()()(2'≤-='x x f x xf x F ，故x

x f x F )()(=在（0，+∞）上是减函数， 由b a <，有b b f a a f )()(≥，即 ()()af b bf a ≤。故选A 。

变式 1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()'()f x g x 、分别为()()f x g x 、的导函数，且满足'()()()'()0f x g x f x g x +<，则当a x b <<时，有（ C ）

.()()()()A f x g b f b g x > .()()()()B f x g a f a g x >

.()()()()C f x g x f b g b > .()()()()D f x g x f b g a >

变式2. 设函数b x a x g x f b a x g x f <<'<'则当且上均可导在),()(,],[)(),( 时，有（ C ）

A ．)()(x g x f >

B ．)()(x g x f <

C ．)()()()(a f x g a g x f +<+

D ．)()()()(b f x g b g x f +<+

例3．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且2

2()()f x xf x x '+>，下面不等式恒成立的是（ ）

A ．0)(>x f

B ．0)(

C ．x x f >)(

D ．x x f <)(

【解析】由已知，首先令0=x 得0)(>x f ，排除B ，D ．

令2()()g x x f x =，则[]()2()()g x x f x xf x ''=+，

① 当0x >时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x '''+=>?>， 所以函数()g x 单调递增，所以当0x >时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．

② 当0x <时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x

'''+=>?<， 所以函数()g x 单调递减，所以当0x <时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．

综上0)(>x f ．故选A ．

例4． 如果22(1)(1)1x x y y ++++=，那么下面的不等式恒成立的是（ ）

A ． 0x y ==

B ．0x y +=

C ．0xy =

D ．0x y +>

【解析】构造函数2()lg(1)()f x x x x R =++∈ ，易证()f x 在R 上是奇函数且单调递增

22(1)(1)1x x y y ++++=

2()()lg(1)f x f y x x ∴+=+++2lg(1)y y +

+ =22lg[(1)(1)]x x y y +++++=lg1 = 0

()()f x f y ∴=- 即：()()f x f y ∴=-

又 ()f x 是增函数 x y ∴=- 即0x y +=。故选B ．

练习1. 已知y x y x ---<-)5.0(log )()5.0(log 313

13131，则实数y x ,的关系是（ D ）

A.0>-y x

B. 0<-y x

C. 0>+y x

D.0x y +<

【解析】构造函数133()(log 2)x f x x =-，()f x 是增函数，又()()f x f y <-，0x y +<，故选D ． 练习2. 已知函数)(x f y =是R 上的可导函数，当0≠x 时，有0)()(>+

'x x f x f ,则函数x x xf x F 1)()(+=的零点个数是( B )

A.0

B.1

C. 2

D.3

【解析】由x x xf x F 1)()(+=，得1()xf x x

=-，构造函数g()()x xf x =， 则g ()()()x f x x f x ''=+ ，∵当0≠x 时，有0)()(>+

'x x f x f ,∴当0≠x 时，()()0xf x f x x '+> 即当0x >时，g ()()()0x f x x f x ''=+>，此时函数g()x 单调递增，此时g()g(0)0x >=，

当0x <时，g ()()()0x f x x f x ''=+<，此时函数g()x 单调递减，此时g()g(0)0x >=，

作出函数g()x 和函数1y x

=-的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数x

x xf x F 1)()(+=的零点个数为1个．故选B ．

三、构造函数法解不等式

例1.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，()2f x '>，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )

A ．(－1,1)

B ．(－1，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(－∞，＋∞)

【解析】构造函数G (x )＝f (x )－2x －4，所以()()2G x f x ''=-，由于对任意x ∈R ，()2f x '>，

所以()()2G x f x ''=->0恒成立，所以G (x )＝f (x )－2x －4是R 上的增函数，

又由于G (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝0，所以G (x )＝f (x )－2x －4>0，

即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B.

变式1. 已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且21)('

12)(+-x x

【解析】构造新函数1()()()22

x F x f x =-+, 则11

(1)(1)()11022

F f =-+=-=， 1'()'()2F x f x =-，对任意x R ∈，有1'()'()02

F x f x =-<，即函数()F x 在R 上单调递减， 所以()0F x <的解集为(1,)+∞，即212)(+，且()23f =，则关于x 的不等式()1f x x <+的解集为 (,2)-∞

变式3.已知函数()f x 为定义在R 上的可导函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，且(1)f e =，则()

1x f x e 的解集为 (,1)-∞

变式4.函数)(x f 的定义域是R ，2)0(=f ，对任意R x ∈，()()1f x f x '+>，则不等式1

)(+>?x x e x f e 的解集为（ A ）

A. }0{>x x

B. 0}x x {<

C. 1}x -1x x {><或

D. }101{<<-

例2 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2()()0xf x f x x

'-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是

解：因为当x ＞0时，有

2()()0xf x f x x '-<恒成立，即[()f x x ]′＜0恒成立， 所以()f x x

在(0,)+∞内单调递减． 因为(2)0f =，所以在（0，2）内恒有()0f x >；在(2,)+∞内恒有()0f x <．

又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，

所以在(,2)-∞-内恒有()0f x >；在(2,0)-内恒有()0f x <．

又不等式2()0x f x >的解集，即不等式()0f x >的解集．所以答案为(,2)-∞-∪（0，2）．

变式1. 已知定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x xf x x '+>，则不等式 0)2(4)2014()2014(2>--++f x f x 的解集为（ C ）

A )2012,(--∞ B. )02012(，- C. )2016,(--∞ D. )02016(，-

变式2.函数()f x 的定义域为R ，(2)2016f -=，对任意x ∈R ，都有()2f x x '<成立，则不等式2()2012f x x >+的解集为（ C ）

A. (2,2)-

B. (2,)-+∞

C. (,2)-∞-

D. (,)-∞+∞

变式3. 设)(x f y =是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，(0)2017f =,则不等式()2016x x f x e e >+的解集为（ D ）

A. (2016,)+∞

B. (,0)(2016,)-∞?+∞

C. ),0()0,(+∞?-∞

D. ),0(+∞

变式4.函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,0)2(=-f ,且0>x 时,()()0f x xf x '+>,则不等式0)(≥x xf 的解集是___[2,0][2,)-?+∞_______（提示：构造的()()g x xf x =为奇函数，(0)0f =） 例4设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，

则不等式()()0f x g x <的解集为 (3,)-+∞

变式1．设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集为 (,3)(0,3)-∞-? .

变式2．已知R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，若(1)(1)5(1)(1)2

f f

g g -+=-，则关于x 的不等式log 1a x >的解集为 1(0)2， .

变式3. 设奇函数)(x f 定义在),0()0,(ππ?-上，其导函数为()f x '，且02f π??= ???

，当π<

的解集为_(,0)(,)66πππ-?. （提示：构造的()()sin f x g x x

=为偶函数）

四、构造函数法求值

例1．设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)f e =

.则(1)f 的值为 . 提示：由'()()f x f x ≥-得'()()0f x f x +≥，所以'()()0x x e f x e f x +≥，即[()]'0x e f x ≥，

设函数()()x F x e f x =，则此时有1(2)(0)1F F =≥=，

故()()1x F x e f x ==，1(1)f e

= 变式．已知()f x 的导函数为'()f x ，当0x >时，2()'()f x xf x >，且(1)1f =，若存在x R +∈，使

2()f x x =，则x 的值为 1 .（提示：构造2()()f x g x x =

） 例2．已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()

x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <， (1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，若有穷数列*()()()f n n N g n ??∈????

的前n 项和等于3132，则n 等于 5 . 解：∵ '()()()'()f x g x f x g x <，∴2()()g()()g ()[]0()()

f x f x x f x x

g x g x ''-'=<， 即函数()()x f x a g x =单调递减，∴0＜a ＜1．又(1)(1)5(1)(1)2

f f

g g -+=-， 即152a a +

= ∴解得12a =或a=2（舍去）． ∴()1()()2x f x g x =，即(n)1()(n)2

n f g =， 数列1{()}2

n 是首项为112a =，公比12

q =的等比数列， ∴11()2n n S =-，由1311()232n n S =-=，解得n=5。 变式1． 已知)(x f ,)(x g 都是定义在R 上的函数，0)(≠x g ，()()()()f x g x f x g x ''?>，且)()(x g a x f x

= （0>a ，且1≠a ）。25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若数列?

?????)()(n g n f 的前n 项和大于62，则n 的最小值为（ A ） A 8 B 7 C 6 D 5 变式2．已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，()()x f x g x a =，

5(1)(1)(1)(1)2f g f g +--=

．在区间[3,0]-上随机取一个数x ， ()()f x g x 的值介于4到8之间的概率是（ ）

A ．

13 B ．38 C ．12 D ． 23

解：由题意，'()()()'()0f x g x f x g x +<，∴[()()f x g x ]'＜0，

∴函数()()f x g x 在R 上是减函数，∵()()x f x g x a =，∴0＜a ＜1 ∵5(1)(1)(1)(1)2

f g f g +--=． ∴152a a +=∴12a = ∵()()f x g x 的值介于4到8，∴[3,2]x ∈--

∴在区间[3,0]-上随机取一个数x ，()()f x g x 的值介于4到8之间的概率是13

P =

，故选A ． 【模型总结】

关系式为“加”型

（1）'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+

（2）'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+

（3）'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+

（注意对x 的符号进行讨论）

关系式为“减”型

（1）'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x x

f x f x e f x e f x f x e e e --== （2）'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[]'f x xf x f x x x

-= （3）'()()0xf x nf x -≥ 构造121

()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== （注意对x 的符号进行讨论）

构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构想组合一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标。