第4章分解方法及单口网络

第四章

分解方法及单口网络

4.1 分解的基本步骤

4.2 单口网络的电压电流关系

4.3 置换定理

4.4 单口网络的等效电路

4.5 一些简单的等效规律和公式

4.6 戴维南定理（重点）

4.7 诺顿定理

4.8 最大功率传输定理

4.9 T形和π形网络的等效变换

叠加与分解

叠加方法：可使多个激励或复杂激励电路的求解问题化为简单激励电路的求解问题。仅适用于线性电路

分解方法：可使结构复杂电路的求解问题化为结构较简单的电路的求解问题。还可适用于非线性电路

单口网络的定义

N

大网络N看成由两个单口网络组成

像N1 、 N2这种由元件相连接组成、对外只有两个端纽的网络整体称为二端网络或单口网

络/单口（one-port）。

● 4.1 分解的基本步骤

一、基本步骤：

●把给定网络划分为两个单口网络N1和N2 ；

●分别求出N1和N2的VCR（计算或测量）；

●联立两者的VCR或由它们伏安特性曲性的交点，求得N1和N2的端口电压、电流；

●分别求解N1和N2内部各支路电压、电流。

二、说明：

● 何处划分是随意的，视方便而定：

（全面求解网络角度）

求解端口电压u 和端口电流i 只是一种手段，故可用最少的联立方程求得结果。 ● 在工程实际中，电路往往应看成由两个既定的单口网络组成。 ●

● 4.2 单口网络的电压电流关系

一、（明确的）单口网络

在单口网络中不含有任何能通过电或非电的方式与网络之外的某些变量相耦合的元件，则称该单口网络为明确的。 二、单口网络的描述方式

1、具体的电路模型

2

、端口电压与电流的约束关系 （表示为方程或曲线的形式）

3、等效电路

三、举例

例1 试求如图(a) 电路中实线所示含电压源和电阻的单口网络的VCR 及伏安特性曲线。 解法1：单口网络的VCR 由其本身性质所决定，与外接电路无关。故可在任何外接电路X （虚线所示）的情况下求它的VCR 。

有10 = 5i 1+u 和u=20(i 1-i)

消去i 1可得u=8-4i

解法2：外施电流源求电压。

设想X 是一个电流源is （设方向向下），且设其两端电压为u,可由节点法求得结果。

i i i u s s =??? ??+-=??? ??+105120151

10V

Ω最具表征意义

u/V

i/A

2

i u -=-???

??241

i u 48-=

解法3：外施电压源求电流。

设想X 是一个电压源，其电压显然为单口网络的端口电压u,所求电流显然为单口网络的端口电流i 用节点分析，得：

i u -??? ??=??? ??+105120151

i

u 48-=

结论：三种方法求得的VCR 完全一致。 既单口网络的VCR 与外接电路无关。

可以在最简单的外接电路情况下，求得它的VCR 。 例2 教材P116例题4-2。

结论：含独立电源单口网络的VCR 总可以表示为u=A+Bi 的形式。 例3 教材P116例题4-3。

结论：纯电阻单口网络的VCR 总可以表示为u=Bi 的形式。

4.3 置换定理(Substitution theorem)

置换定理也称为替代定理，它对于简化电路的分析非常有用。它既可用于线性电路，也可用于非线性电路。

一、置换定理基本内容：

对于具有唯一解的线性或非线性电路，若某支路的电压u 或电流i 已知，则该支路可用方向和大小与u 相同的电压源置换，或用方向和大小与i 相同的电流源置换，而不会影响其它各处的电流和电压。

二、置换定理说明：

三、注意：

1、置换定理对线性和非线性电路均适用。

2、搞清楚置换定理与等效变换的本质区别。 置换定理针对某个具体电路，在置换前后，被置换支路以外电路的拓扑结构和元件参数不能改变，否则无法置换；而等效变换针对任意电路，与变换以外的电路无关。如图(a)中的N1

与图(b)中的N2是置换关系，不是等效关系。

3、置换定理应用时，注意不能把受控源的控制量替换掉。

i - +

+ -

u 1 N 1 2V 2Ω 图（a ）

2

i 2 -

+

u

N 2 1A 图

支路中有受控源的控制量，不能被置换！ 四、举例

例2

如图(a)所示电路，N 为线性电阻电路，当改变电阻R 时，电路中各处电流都将改变。 当R = R 1时，测得i 1 = 5A ，i 2= 4A ； 当R = R 2时，测得i 1 = 3.5A ，i 2= 2A 。

问当R = R 3时，测得i 2= 4/3 A ，此时测得的i 1 为多少？

解：根据置换定理，将支路R 用电流源i S (i S = i 2)来置换，如图(b) 所示。

根据线性电路的齐次性和叠加性，由电流源i S 单独作用时所产生的电流i 1’令为H 1 i S ,当i S = 0时,由电路N 内部独立源产生的电流设为i1”,于是 i 1 = H 1 i S + i 1”= H 1 i 2 + i 1”

将已知条件代入,有4 H 1 + i 1” = 5 ， 2 H 1 + i 1” = 3.5

i

R -u s1 R

+ + -+ -

R u u k + - u

α (b)N i 1i S =i 2

(a)

N

i 1

i 2

R

解得H1 = ?，i1”= 2。

于是有i1 = (3/4) i S + 2 因此，当i2= 4/3 A时i1=3A

4.4 单口网络的等效电路

一、等效的定义：

如果一个单口网络N和另一个单口网络N’的电压、电流关系完全相同，即它们在u-i 平面上的伏安特性曲线完全重叠，则这两个单口网络便是等效的。

(这两个网络可以具有完全不同的结构，但对任一外电路而言，它们具有完全相同的影响，没有丝毫的差别。)

二、等效与置换的区别：

N和N’只对一个外电路等效对该外电路而言所作的相互置换 (建立在相同工作点的基础上)。

N和N’对任意的外电路等效N和N’的VCR完全相同——等效。(建立在相同的VCR的基础上)

4.5 一些简单的等效规律和公式

电压源、电流源和电阻等三种元件中每次取两个元件串联或并联组成的，共计12种情况。

2、两电压源并联

两电压源的并联一般违背KVL，因而不可能。只有相同电压源作极性一致的并联才是

允许的。

其等效电路即为其中任一电压源。

3、两电流源并联

两电流源的并联，其等效电路为一个电流源。

4、两电流源串联

两电流源的串联一般违背KCL，因而不可能。

只有在电流源的电流都相等且方向一致时，串联才是允许的。

i s i

+

_

u

i s i s

i

+

_

u

注意：两电流源的电流都相等且方向一致。

连接情况

5、两电阻串联

6、两电阻并联

7、电压源与电流源的并联 8、电压源与电阻的并联

两种情况可归结为如图电路：

2

1R R R +=2

121R R R R R +=

a b

+

_i

N

u s

u +

_a b

+

_

i

u s u +

_

s

u u = 对所有的电流

9、电流源与电压源的串联 10、电流源与电阻的串联

两种情况可归结为如图电路：

a b

+

_i

N i s

u

a b

+

_

i i s

u

s

i i =对所有的电压

11、电压源与电阻的串联 12、电流源与电阻的并联

实际电源的模型

满足一定的条件，它们可以互为等效电

/

R R =/

//R u i i R u s s s s ==或

u

u/

u s,R i s

i u/R

i/

反映了实际电源向外电路供电时因存在内阻而引起的电源端电压或端电流的减少。

//

i i i

u u

s s

s

?

?

等效电源定理包括

戴维南定理(Thevenin’s theorem)

诺顿定理(Norton’s theorem)

4.6 戴维南定理

一、戴维南定理基本内容：

任意一个线性含源一端口网络N，对其外部而言，可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效。该电压源的电压值uOC等于电路N二端子间的开路电压，其串联电阻值R0等于电路N内部所有独立源为零时二端子间的等效电阻。

二、诺顿定理基本内容：

任意一个线性含源一端口网络N ，对其外部而言，可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效。

该电流源的电流值i SC =一端口网络N 二端子短路时其上的短路电流； 其并联电阻值R 0=电路N 内部所有独立源为零时二端子间的等效电阻。

可见，戴维南等效电路与诺顿等效电路本质上是相同的，两者互为等效。可将诺顿定理看作是戴维南定理的另一种形式。

三、应用举例

1、开路电压和短路电流的计算

（1）开路电压u OC 求解：

先将负载支路(或外接电路）断开，设出开路电压u OC 的参考方向，如图所示。注意与戴维南等效电路相对应。

然后计算该电路的开路电压u OC ，其计算方法视具体电路而定。

N

u OC

a

b

b

u

任何外接电路

i

u OC R 0

a

（2）短路电流i SC 求解：

先将负载支路(或外接电路）短路，设出短路电流iSC 的参考方向，如图所示。注意与诺顿等效电路相对应。

戴维南电路与诺顿电路互为等效电路，其等效的条件为(注意电流源与电压源的方向)：u OC = R 0 i SC

(b) 电路N 0

2、戴维南等效内阻的计算 求R 0常用下列方法：

（1）对无受控源的二端电路N---串并联方法：

若二端电路N 中无受控源，当令N 中所有独立源的值为零后，而得到的N0是一个纯电阻电路。此时，利用电阻的串并联公式和Y-△等效公式求R0最简单。

例：如图(a)所示电路N ，求其戴维南等效电阻R0。

解：根据N 0的定义，将N 中的电压源短路，电流源开路得N 0，如图(b)所示 由图(b)很容易求出N 0的ab 端等效电阻，该电阻就是戴维南等效电阻 R =3//6+4//4 = 2+2 = 4 (Ω)

（2）对于含受控源的二端电路N ： ⅰ 外加电源法

N 中所有独立源的值为零，注意：受控源要保留，此时得到的N 0内部含受控源，则根据电阻的定义，在N0的二端子间外加电源，若加电压源u ，就求端子上的电流i(如图a)；若加电流源i ，则求端子间电压u (如图b)。注意：u 与i 对N 0来说，必须关联。

i u R

(a)外加电压源法

(b)外加电流源法

ⅱ 开路短路法

根据开路电压u OC 、短路电流i SC 和R0三者之间的关系求R0 。先求出u OC ，再求出i SC 注意：若求u OC 时其参考方向为a 为“+”极，则求i SC 时其参考方向应设成从a 流向b ，则

SC OC i u R

i 1

2Ωa

b 2Ω4V

2A (b)对N求i SC

i SC 0.5i 1在节点a,b 分别列KCL ，有 :

i 2 + 0.5i 1 + 2 = i 1， i 3 +2 = i SC ,故 i 2 = -2 + 0.5 i 1 = -2 +0.5 i SC , i 3 = i SC - 2,

对回路B 利用KVL 和OL ，有:

2 i 2–4 +2 i 3=0,代入得 : 2(-2 +0.5 i SC )–4 +2(i SC - 2)= 0， 解得i SC = 4A

故 R 0 = u OC / i SC = 12/4 = 3(Ω)

ⅲ 伏安关系法：

伏安关系法:直接对二端线性电路N ，推导出两端子上的电压u 和电流i 之间的一次关系式 [即N 端子上的伏安关系式(VCR)]，其常数项即为开路电压u OC ，电流前面所乘的系数即为等效内阻R 0 。

戴维南等效电路如图(a)，端口上电压u 与电流i 取关联参考方向，其端口的伏安关系(VCR ）为

u = u OC + R 0 i

B

四、戴维南等效定理应用小结及注意事项：

1、只适用于线性电路，不适用于非线性电路。

2、诺顿定理可看成戴维南定理的另一种形式。

3、求戴维南等效电阻 R 0 时，受控源不能置零值，必须保留在原电路中一并计算 R 0 。

4、若只求某一个支路的电压、电流或功率时利用戴维南定理是比较方便的。

5、二端电路N 和外电路之间必须无任何耦合联系，例如：对图(A)和图(B)不能对N 应用戴维南定理。但如果控制量位于端口上(图C)，则可以使用。

N

u1 u1 +

－ R1

b

a i +

－u

R 2

3

+ －

图(A)

(b)

R

L

u OC

R 0N

i

4.8、最大功率传输定理

在电子技术中，常要求负载从给定电源（或信号源）获得最大功率，这就是最大功率传输问题。

实际中，常遇到这样的问题：给定一个有源二端电路，向一负载电阻RL 供电。问RL 为何值时其上获得最大功率？如图(a)所示。

由于电路N 给定，因此可将其等效成戴维南等效电路，如图(b)所示。由该图可知，负载

RL 消耗的功率为：

L L OC L L R R

R u R i P 2

2

???? ??+==

为求出功率最大的条件，求PL 对RL 的导数，并令它等于零，即

0)

()()()](2)[(3

002400202

=+-=++-+=L L OC L L L L OC

L L R R R R u R R R R R R R u dR dP

解得R L = R 0，又由于

083

2220<-==R u dR P d OC

R R L L

L

所以，当R L = R 0时负载获得的功率最大。功率的最大值为

02

max 4R u P OC

L =

R L = R 0也称为最大功率匹配条件

4.9 星形网络与三角形网络的等效变换

一、 问题提出：

给定的电路N

R L

等效条件：

. , , , , , ③①

③①②③②③①②①②33221

1u u u u u u i i i i i i '='='='='='=

二、等效结果：

Y 趋于Δ

3212112R R R R R R +

+= 1323223R R R R R R +

+=

2131331R R R R R R +

+=

Δ趋于Y

31231231121R R R R R R ++=

31231212232R R R R R R ++=31231223

313R R R R R R ++=

对称三端电阻网络：

?===R R R R 312312

Y

R R R R ===321

对称三端网络的变换关系：

Y R R 3=? ?

=R R Y 31