标准差与估计标准差

2-3 變異的計算及解析

由基礎課程裡我們可以知道：表示變異的方法有很多，其最常使用的是“標準差”；關於標準差的計算又分兩個觀念：(真)標準差σ與估計標準差σ?。

為了解釋這兩個觀念的差異，我們先看下例數據：

下例數據有經過分組，每組抽測5個數據(即S/S 或n = 5的意思)。分組的原因不外乎量產、或長期研究等, 需要分批量測而形成母體與樣本的關係。

(1)(真)標準差σ：

若將所有Raw Data 視為一個母體、混合不分組，則

=STDEV( )所計算出來的標準差即為所求，即工程師最熟

悉的算法。

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使用時機：a.) 想了解母體真正的變異的時候；b.) 想敏銳地抓出上圖/組間變異的異常的時候。

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目的：了解整個母體的總變異。

優點：可以充分反映整個母體的異常(含上圖/組間變異、及下圖/組內變異的異常…尤其是組間變異的異

常)。

缺點：數據量要夠大(避免誤差過大)、且上圖不能有異常(避免組間變異顯著)，否則計算出來的 不具代

表性。

(2) 估計標準差σ?：

大部分的工程師沒聽說過估計標準差。Raw Data 若經過分組(分組與抽樣皆要隨機)，我們可以利用樣本的變異、去估算整個母體的變異；但是要特別注意組間變

σ)已經被假設成常態分配；以白話來說：想像管制異(X

圖-上圖的每個組平均X是一顆綠豆，當這些綠豆被一把撒到管制圖-上圖的時候，這些綠豆皆自動定位到常態分配該有的位置上，因此整個上圖的假設都是常態分配，若真有異常、也早已被視而不見。

故以估計標準差σ?來看問題，祇能解析下圖/組內變異的

異常(即管理面的異常：如某單一人/機抽樣技術不穩定的問題、某單一作業機台不穩定的問題、某個別材料品質不穩定的問題等 一般因 …主要還是抽樣技術不穩定的問題)。

此時的計算，都是由下圖/組內變異的平均來倒推，以估算整個母體變異的期望值：σ?=s/c4 =R/d2 (註)，其中c4、d2是查表值( 附表)，隨著n (即S/S)而變，n愈大估計值就會愈接近母體。

註：樣本s、R、MR與母體σ之間的關係，令母體與樣本均為常態分配，不需執行冗繁的計算，可以直接以查表方式整理如下：

E(s)= c4σ，D(s)= c3σ，其中c4、c3是查表值(

附表)

E(R)= d2σ，D(R)= d3σ，其中d2、d3是查表值( 附表)

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使用時機：當組間變異過於顯著，無法正確評估製程之實力時。(註)

註：理想上σ?=σ；實務上通常σ?<σ：

σ?代表著統計經驗對一特性在常態分配時的理想預

測；也許是因為製程真的較差、也許是因為管制圖

的管理分組做得並不好，造成上圖/組間變異變得比

常態分配預期的還要大。

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目的：估算整個母體的總變異的期望值。

優點：因為計算的是期望值，當數據量不大時、較(真)標準差具代表性。

缺點：只能反映下圖/組內變異的異常，而組內變異的異常通常只能反映管理問題，所以較適合量產使用。

t检验是对各回归系数的显著性所进行的检验，（－－这个太不全面了，这是指在多元回归分析中，检验回归系数是否为0的时候，先用F检验，考虑整体回归系数，再对每个系数是否为零进行t检验。t检验还可以用来检验样本为来自一元正态分布的总体的期望，即均值；和检验样本为来自二元正态分布的总体的期望是否相等）目的：比较样本均数所代表的未知总体均数μ和已知总体均数μ0。

计算公式：

t统计量：

自由度：v=n - 1

适用条件：

(1) 已知一个总体均数；

(2) 可得到一个样本均数及该样本标准误；

(3) 样本来自正态或近似正态总体。

例1 难产儿出生体重n=35, =3.42, S =0.40,

一般婴儿出生体重μ0=3.30（大规模调查获得），问相同否？

解：1.建立假设、确定检验水准α

H0：μ = μ0 （无效假设，null hypothesis）

H1：（备择假设,alternative hypothesis，）

双侧检验，检验水准:α=0.05

2.计算检验统计量

，v=n-1=35-1=34

3.查相应界值表，确定P值，下结论

查附表1，t0.05 / 2.34 = 2.032,t < t0.05 / 2.34,P >0.05，按α=0.05水准，不拒绝H0，两者的差别无统计学意义

什么是T检验

T检验，亦称student t检验（Student's t test），主要用于样本含量较小（例如n<30），总体标准差σ未知的正态分布资料。

T检验是用于小样本（样本容量小于30）的两个平均值差异程度的检验方法。它是用T分布理论来推断差异发生的概率，从而判定两个平均数的差异是否显著。

T检验是戈斯特为了观测酿酒质量而发明的。戈斯特在位于都柏林的健力士酿酒厂担任统计学家，基于Claude Guinness聘用从牛津大学和剑桥大学出来的最好的毕业生以将生物化学及统计学应用到健力士工业程序的创新政策。戈特特于1908年在Biometrika上公布T检验，但因其老板认为其为商业机密而被迫使用笔名（学生）。实际上，戈斯特的真实身份不只是其它统计学家不知道，连其老板也不知道。

T检验的适用条件：正态分布资料

单个样本的t检验

目的：比较样本均数所代表的未知总体均数μ和已知总体均数μ0。

计算公式：

t统计量：

自由度：v=n - 1

适用条件：

(1) 已知一个总体均数；

(2) 可得到一个样本均数及该样本标准误；

(3) 样本来自正态或近似正态总体。

例1 难产儿出生体重n=35, =3.42, S =0.40,

一般婴儿出生体重μ0=3.30（大规模调查获得），问相同否？

解：1.建立假设、确定检验水准α

H0：μ = μ0（无效假设，null hypothesis）

H1：（备择假设,alternative hypothesis，）

双侧检验，检验水准:α=0.05

2.计算检验统计量

，v=n-1=35-1=34

3.查相应界值表，确定P值，下结论

查附表1，t0.05 / 2.34= 2.032,t< t0.05 / 2.34,P >0.05，按α=0.05水准，不拒绝H0，两者的差别无统计学意义

配对样本t检验

配对设计：将受试对象的某些重要特征按相近的原则配成对子，目的是消除混杂因素的影响，一对观察对象之间除了处理因素/研究因素之外，其它因素基本齐同，每对中的两个个体随机给予两种处理。

?两种同质对象分别接受两种不同的处理，如性别、年龄、体重、病情程度相同配成对。

?同一受试对象或同一样本的两个部分，分别接受两种不同的处理

?自身对比。即同一受试对象处理前后的结果进行比较。

目的：判断不同的处理是否有差别

计算公式及意义：

t 统计量：

自由度：v=对子数-1

适用条件：配对资料

T检验的步骤

1、建立虚无假设H0:μ1= μ2，即先假定两个总体平均数之间没有显著差异；

2、计算统计量T值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法；

1）如果要评断一个总体中的小样本平均数与总体平均值之间的差异程度，其统计量T值的计算公式为：

2）如果要评断两组样本平均数之间的差异程度，其统计量T值的计算公式为：

3、根据自由度df=n-1，查T值表，找出规定的T理论值并进行比较。理论值差异的显著水平为0.01级或0.05级。不同自由度的显著水平理论值记为T(d f)0.01和T(df)0.05

4、比较计算得到的t值和理论T值，推断发生的概率，依据下表给出的T 值与差异显著性关系表作出判断。

T值与差异显著性关系表

T P值差异显著程度

差异非常显著

差异显著

T< T(df)0.05 P> 0.05 差异不显著

5、根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。

T检验举例说明

例如，T检验可用于比较药物治疗组与安慰剂治疗组病人的测量差别。理论上，即使样本量很小时，也可以进行T检验。（如样本量为10，一些学者声称甚至更小的样本也行），只要每组中变量呈正态分布，两组方差不会明显不同。如上所述，可以通过观察数据的分布或进行正态性检验估计数据的正态假设。方差齐性的假设可进行F检验，或进行更有效的Levene's检验。如果不满足这些条件，只好使用非参数检验代替T检验进行两组间均值的比较。

T检验中的P值是接受两均值存在差异这个假设可能犯错的概率。在统计学上，当两组观察对象总体中的确不存在差别时，这个概率与我们拒绝了该假设有关。一些学者认为如果差异具有特定的方向性，我们只要考虑单侧概率分布，将所得到t-检验的P值分为两半。另一些学者则认为无论何种情况下都要报告标准的双侧T检验概率。

1、数据的排列

为了进行独立样本T检验，需要一个自（分组）变量（如性别：男女）与一个因变量（如测量值）。根据自变量的特定值，比较各组中因变量的均值。用T检验比较下列男、女儿童身高的均值。

性别身高

对象1 对象2 对象3 对象4 对象5 男性

男性

男性

女性

女性

111

110

109

102

104 男性身高均数= 110

女性身高均数= 103

2、T检验图

在T检验中用箱式图可以直观地看出均值与方差的比较，见下图：

这些图示能够很快地估计并且直观地表现出分组变量与因变量关联的强度。

3、多组间的比较

科研实践中，经常需要进行两组以上比较，或含有多个自变量并控制各个自变量单独效应后的各组间的比较，（如性别、药物类型与剂量），此时，需要用方差分析进行数据分析，方差分析被认为是T检验的推广。在较为复杂的设计时，方差分析具有许多t-检验所不具备的优点。（进行多次的T检验进行比较设计中不同格子均值时）。

T检验注意事项

?要有严密的抽样设计随机、均衡、可比

?选用的检验方法必须符合其适用条件(注意：t检验的前提是资料服从正态分布)

?单侧检验和双侧检验

单侧检验的界值小于双侧检验的界值，因此更容易拒绝，犯第Ⅰ错误的可能性大。

?假设检验的结论不能绝对化

?不能拒绝H0，有可能是样本数量不够拒绝H0，有可能犯第Ⅰ类错误

?正确理解P值与差别有无统计学意义

P越小，不是说明实际差别越大，而是说越有理由拒绝H0 ，越有理由说明两者有差异，差别有无统计学意义和有无专业上的实际意义并不完全相同

?假设检验和可信区间的关系

?结论具有一致性

?差异：提供的信息不同

区间估计给出总体均值可能取值范围，但不给出确切的概率值，假设检验可以给出H0成立与否的概率

学习教育统计中，对自由度的概念不甚了解，故求助于baidu。

https://www.360docs.net/doc/2d981240.html,/blogger/post_show.asp?BlogID=468742&PostID=6594917

自由度，很多统计量的计算公式中都有自由度的概念，可为什么同样是计算标准差，总体标准差的自由度是n，而样本标准差的自由度就是n-1？为什么其它公式中的自由度还有n-2、n-3呢？它到底是什么含意？

翻看了以前的教材以及到网上查阅了大量相关资料，原来，不仅仅是统计学里有自由度的概念呀！下面把有关自由度的问题点简要归纳一下。

理论力学：确定物体的位置所需要的独立坐标数称作物体的自由度，当物体受到某些限制时——自由度减少。一个质点在空间自由运动，它的位置由三个独立坐标就可以确定，所以质点的运动有三个自由度。假如将质点限制在一个平面或一个曲面上运动，它有两个自由度。假如将质点限制在一条直线或一条曲线上运动，它只有一个自由度。刚体在空间的运动既有平动也有转动，其自由度有六个，即三个平动自由度x、y、z和三个转动自由度a、b、q。如果刚体运动存在某些限制条件，自由度会相应减少。

热力学中：分子运动自由度就是决定一个分子在空间的位置所需要的独立坐标数目。

统计学中：在统计模型中，自由度指样本中可以自由变动的变量的个数，当有约束条件时，自由度减少自由度计算公式：自由度=样本个数-样本数据受约束条件的个数，即df = n - k（df自由度，n样本个数，k约束条件个数）

我们当然最关心的还是统计学里面的自由度的概念。这里自由度的概念是怎么来的呢？

据说：

一般总体方差(sigma^2)，其实它是衡量所有数据对于中心位置（总体平均）平均差异的概念，所以也称为离散程度，通常表示为sum(Xi-Xbar)^1/2/N ，（有多少个数据就除多少）而样本方差(S^2)，则是利用样本数据所计算出来估计总体变异用的（样本统计量的基本目的：少量资料估计总体）.一般习惯上，总体怎么算，样本就怎么算，可是在统计上估计量（或叫样本统计量）必须符合一个特性--无偏性，也就是估计量的数学期望值要等于被估计

的总体参数=> E(S^2)=sigma^2（无偏估计）。很不幸的，样本变异数E(S^2)并不会等于s igma^2所以必须做修正，而修正后即为sum(Xi-Xbar)^2/(N-1).才会继续带出后来的自由度概念。（自由度是由修正样本统计量得来的吗？）

网上一些文献的说法也是林林总总。

金志成实验设计书中的定义：能独立变化的数据数目。只要有n-1个数确定，第n个值就确定了，它不能自由变化。所以自由度就是n-1。自由度表示的是一组数据可以自由表化的数量的多少。

通俗点说，一个班上有50个人，我们知道他们语文成绩平均分为80，现在只需要知道49个人的成绩就能推断出剩下那个人的成绩。你可以随便报出49个人的成绩，但是最后一个人的你不能瞎说，因为平均分已经固定下来了，自由度少一个了。

自由度的设定是出于这样一个理由：在总体平均数未知时，用样本平均数去计算离差（常用小s）会受到一个限制————要计算标准差（小s）就必须先知道样本平均数，而样本平均数和n都知道的情况下，数据的总和就是一个常数了。所以，“最后一个”样本数据就不可以变了，因为它要是变，总和就变了，而这是不允许的。至于有的自由度是n－2什么的，都是同样道理。

n-1是通常的计算方法，更准确的讲应该是n-k，n表示“处理”的数量，k表示实际需要计算的参数的数量。如需要计算2个参数，则数据里只有n-2个数据可以自由变化。例如，一组数据，平均数一定，则这组数据有n-1个数据可以自由变化；如一组数据平均数一定，标准差也一定，则有n-2个数据可以自由变化。df=n-k的得出是需要大量的数理统计的证明的。太复杂的情况，我们就不讨论了。

另https://www.360docs.net/doc/2d981240.html,/bbs/simple/index.php?t1907.html

对卡方分布，t分布而言，从其统计量的来源看，卡方分布自由度n理解为来自n个服从正态分布的样本，而且他们之间并没有什么约束关系，也就是说n个样本都是可以自由变化的。

而对于我们在统计检验中构造的那些统计量而言，也可以这样理解，一般自由度并不为n，是因为这n个样本之间有约束关系，约束方程的个数为a，则自由度为n－a，因为一般约束方程的个数等于未知参数的个数，也就是说自由度是n －未知参数的个数，但是这种解释在有些场合不容易理解，也没有说到本质上，严格的解释应该还是从统计量对应的二次型的秩的角度来理解。

参见南开大学王兆军数理统计讲义 2006

或几篇论文：

1、刘丽君，数理统计中的“自由度”及教材中一处证明的订正，温州师范学院学报（自然科学版），vol24，5，2003。

2、张宏广，自由度的求法，承德民族师专学报，第26 卷第2 期，2006。

3、曲卫彬，浅谈“自由度”，高校教育。