鲁教版选修2《海洋生物资源及其开发》word教案1
2. 3 海洋生物资源及其开发
教学目标
1?掌握海洋生物资源的主要类型。
2?了解海洋生物资源的开发途径和方式。
3 ?运用资料，说明海洋生物资源开发利用中存在的问题及解决对策。
课程标准：
运用资料，说明海洋生物资源开发利用中存在的问题及解决对策。
教学重点
海洋生物资源的类型，世界渔场的分布及形成原因，海洋生物资源开发利用中存在的问题及解决对策。教学过程：
导入新课：
让学生列举生活中所食用过的海产品种类（既可以是动物类也可以是植物类），如海带、紫菜、鱿鱼、海蛰等，说明这些都是海洋生物资源，以此引入本节课题。
一、海洋生物资源的主要类型
1?数量
2?类型：鱼类、虾蟹类、贝类和藻类。
引导学生阅读本目教材，说出主要类型，并可谈一谈对各种海洋生物资源类型的了解。
知识窗“南极磷虾”：①分布②价值③开发利用时应注意的问题。
承转：读图2-3-2，说出图中三条线之间的关系，根据其变化趋势预测开发利用中可能出现的问题及应采取的措施，进而得出第二目的标题
二、保护传统渔场，开拓捕捞空间
1?分布规律：主要集中在大陆架海域。
四大渔场：太平洋西北的北海道渔场、太平洋东南的秘鲁渔场、大西洋西北的纽芬兰渔场、大西洋东北的北海渔场。我国最大的渔场是舟山渔场。（在图2-3-3图中，找出以上渔场）
2?形成条件：
a?海域较浅，阳光充足，海洋植物的光合作用强，适宜海洋生物及鱼类的生活。
b.有寒暖流交汇、上升流或大河注入，带来丰富营养盐类促进浮游生物生长；（联系四大渔场
与洋流的关系加以说明）
3?存在问题：普遍存在过度捕捞现象，导致渔业资源的数量和质量都出现明显衰退。
4 ?措施：一方面要限制渔船数量及捕捞量，采取休渔、禁渔制度，使鱼类得以休养生息；（阅读P50的
知识窗加以说明）
另一方面开发远洋渔场和深海渔业，并开发头足类和南极磷虾等新渔种。
再次，发展海水养殖，实行“耕海牧渔”
最后，还要加强海洋环境的保护。
完成P51的活动教学，分析世界渔场形成的主要原因，并说明我国近海休渔制度的意义。
三、海水养殖增殖与海洋牧场
海洋农牧化：包括海水养殖、增殖技术及海洋牧场技术。
1 ?海水养殖：指在滩涂开挖池塘或在浅海设置网箱等，通过人工孵化、饲养及人工管理的方法，养殖
鱼、虾、贝、藻类。
2 ?海水增殖：人工孵化育苗后，在温室等环境中进行培养，幼苗长到一定大小后再放入鱼塘或
网箱中养殖。
3 ?海洋牧场：在选定海区通过人工放流、人工渔礁、人工驯养等方法，大面积养殖经济鱼类、
虾类、贝类或海藻类等而形成的大型养殖场。
阅读P52的知识窗，了解人工渔礁的作用。
四、海洋药物和营养保健食品的开发
一
1海洋药物及作用
海洋微藻食品
小结： 课堂反馈:
2.海洋营养保健品的开发
入海河淤
1世界各大洋中渔获量最高的海域是（）
A .北冰洋B.大西洋
C ?太平洋D.印度洋
我国拥有300万平方千米的“蓝色国土”这是中华民族实施可持续发展的重要战略资源，也是把我国建设成为海洋强国的可靠保障。回答2—4题。
2?浙江省的舟山渔场成为我国最大渔场，其成因正确的是（）
①位于沿海大陆架海域，阳光充足，生物光合作用强②长江、钱塘江等大河带来丰富的营
养盐类③有沿岸的冷、暖流交汇④位于温带地区，季节变化明显
A .①②B.①②③
C .①③④D.①②③④
3.对浙江发展滩涂养殖影响最大的自然灾害是（）
A .海啸B.寒潮
C .台风D.洪涝
4?近几年来，浙江规定每年从6月中旬开始在东海渔区实行三个月的休渔期”主要原因
是（）
A ?避开恶劣的台风天气
B .修补渔船和渔网
C.该时段鱼类游向深海区
D .实现渔业可持续发展
5.利用海洋生物生产营养保健品前景最为诱人的是（）
A .海洋微藻食品
B .真鲷
C .贝类D.鱼类
6.右图反映了海洋渔业资源分布特点，下列说法正确的有（双选）（）
A .主要分布在远离海岸和人类的大洋中部
B .主要分布在阳光集中、营养盐类丰富的大陆架上
C .主要分布在水温较高，阳光充足热带地区
D .河流入海口附近有利于大型渔场的形成
7.右图为我国沿海某区域海陆轮廓及垂直剖面图，读图完成。
（1）盐度最低的是（）
A . a B. b C. c D. d
（2）______________________________ 图中a暖流是北太平洋环流中暖流的一支，对该地沿岸气候有___________ 的作用。
（3）__________________________ e、f的含义分别是：e f 。
(4)该海域有我国最大的渔场，形成原因
(5)c、g海域无机氮、无机磷等含量较高，其原因是__________ ;可能造成的后果是___________
(6)拟建一潮汐电站，该区较理想选址是—处，
理由是_______ ，发电量最大的季节是_季，
理由是____________________________________ 。
CDCDA BD 11(1)C (2)日本暖流增温、增湿(3)e泥沙 f .海水上泛将营养盐类带到表层
⑷舟山地处大陆架、海水浅、阳光集中；长江、钱塘江带来丰富营养盐类；寒暖流交汇⑸长江、钱塘江带来的污染物使海水富营养化
(6)g三角形海湾潮差大夏秋夏季风加剧潮势
数学选修2-1第二章知识点总结
（好好记公式，你们是最棒的，加油，老师与你们一起努力！） 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 )2 2101c b e e a a ==-<< 准线方程 2a x c =± 2 a y c =± 13、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则121 2 F F e d d M M = =．
双曲线方程 平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 15、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 22 10,0x y a b a b -=>> ()22 22 10,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
数学选修21知识点总结
数学选修2－1知识点总结 第一章：命题与逻辑结构 知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若 q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p ，则q ” ，则它的否命题为“若q ?，则p ?”。 6 ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若 p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是 假命题． 用联结词“或”把命题 p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?．若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立” ，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立” ，记作“x ?∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?。全称命题的否定是特称命题。 特称命题 p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?。特称命题的否定是全称命题。
人教版高中数学选修21第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线(教师版)【个性化辅导含答案】范文文稿
抛物线 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 1．抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ?l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． (2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2 ＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 性 质 顶点 O (0，0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ? ????p 2，0 F ? ????－p 2，0 F ? ?? ??0，p 2 F ? ?? ??0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y 2 ＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( ) A ．217 B .17 C ．215 D .15 【解析】设直线方程为y ＝kx －2，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)． 由? ???? y ＝kx －2，y 2 ＝8x ，得k 2x 2 －4(k ＋2)x ＋4＝0. ∵直线与抛物线交于A 、B 两点， ∴Δ＝16(k ＋2)2 －16k 2 >0，即k>－1. 又x 1＋x 22 ＝ 2k ＋2 k 2 ＝2，∴k ＝2或k ＝－1(舍去)．
苏教版高中数学选修2-2《1.1.2 瞬时变化率——导数(3)》教案
教学目标： 1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵； 2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义； 3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法． 教学重点： 导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义． 教学难点： 对导数的几何意义理解． 教学过程： 一、复习回顾 1．曲线在某一点切线的斜率． ()()PQ f x x f x k x ＋－＝??（当?x 无限趋向0时，k PQ 无限趋近于点P 处切线斜率） 2．瞬时速度． v 在t 0的瞬时速度＝00()()f t t f t t ??＋－ 当?t →0时． 3．物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度． x
v 在t 0的瞬时加速度＝ 00()()v t t v t t ??＋－ 当?t →0时． 二、建构数学 导数的定义． 函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）上有定义，x 0∈(a ，b )，如果自变量x 在x 0处 有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)；比值 y x ??就叫函数y ＝f （x ）在x 0到（x 0＋△x ）之间的平均变化率，即00()()f x x f x y x x +?-?=??．如果当0x ?→时，y A x ?→?，我们就说函数y ＝f （x ）在点x 0处可导，并把A 叫做函数y ＝f （x ）在点x 0处的导数，记为0x x y =' ， 0'000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x =+?-?'===?→??当 三、数学运用 例1 求y ＝x 2＋2在点x ＝1处的导数. 解 ?y ＝－(12＋2)＝2?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()x x x ???＋＝2＋?x ∴y x ??＝2＋?x ，当?x →0时，1x y '∣＝＝2． 变式训练：求y ＝x 2＋2在点x ＝a 处的导数. 解 ?y ＝－(a 2＋2)＝2a ?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()a x x x ???＋＝2a ＋?x ∴y x ??＝2a ＋?x ，当?x →0时，y '＝2a ． 小结 求函数y ＝f (x )在某一点处的导数的一般步骤： （1）求增量 ?y ＝f (x 0＋?x )－f (x 0)； （2）算比值 y x ??＝00()()f x x f x x ??＋－； （3）求0x x y '∣＝＝y x ??，在?x →0时． 四、建构数学 导函数．
2018年北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》教案
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》 第一课时平面向量知识复习 一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备 二、教学重点：平面向量的基础知识。教学难点：运用向量知识解决具体问题 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。（二）、基本运算 1、向量的运算及其性质
2、平面向量基本定理： 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且 只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(2 1 OB OA OP += ,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥ 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示） （三）、课堂练习 1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 2．P 是△ABC 所在平面上一点，若?=?=?，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心 C ．重心D ．垂心 3．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45?，则以52a p q =+ ，3b p q =- 为邻边的 平行四边形的一条对角线长为（ ）
人教A版高中数学选修21椭圆及其标准方程教案
课题：椭圆及其标准方程 教材：普通高中课程标准试验教科书——《数学》选修2-1 一、教材分析： 《椭圆及其标准方程》是高中数学新教材选修2—1第二章第二节的第一课时。从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。 二、教学目标分析： （一）知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导. （二）过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力. （三）情感态度与价值观目标： （1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣. （2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识. 三、教学重点、难点： （一）．重点：椭圆定义及其标准方程 （二）．难点：椭圆标准方程的推导 四、教学方法与教学手段
采用启发和探究式教学相结合的教学模式，即在教师的引导下，创设情境，学生利用课前准备的工具亲自动手画出椭圆，并讨论椭圆上的点满足的条件，以此来充分调动学生学习的主动性和积极性，发展学生数形结合，等价转换等思想，培养学生综合运用知识解决问题的能力。 教学手段：计算机课件辅助教学。 五、教学过程： （一）认识椭圆，探求规律: 1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师准备的有关椭圆的图 片，让学生从感性上认识椭圆. 2．通过演示动画，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是 点按一定“规律”运动的轨迹. （二）动手实验，亲身体会 用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备细绳），并以此了解椭圆上的点的特征. 请两名同学上黑板画 （三）归纳定义，完善定义 我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义. 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F =2c ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
人教版高中数学选修2-1优秀全套教案
高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
人教版高中数学选修21椭圆及其标准方程教案
椭圆及其标准方程(2) 1．掌握点的轨迹的求法； 2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程． 4142 ，文P34~ P36找出疑惑之处） 复习1：椭圆上 22 1 259 x y +=一点P到椭圆的左焦点 1 F的距离为3，则P到椭圆右焦点 2 F的距 离 是． 复习2：在椭圆的标准方程中,6 a=,b则椭 圆的标准方程是． 二、新课导学 ※学习探究 问题：圆22650 x y x +++=的圆心和半径分别是什么? 问题：圆上的所有点到(圆心)的距离都等于(半径) ； 反之,到点(3,0) -的距离等于2的所有点都在 圆上． ※典型例题 例1在圆224 x y +=上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32 DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？ 小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆． 例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49 -，求点M 的轨迹方程 ． 变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？ ※ 动手试试
练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程． 练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线． 三、总结提升 ※ 学习小结 1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式； ②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程． ※ 知识拓展 椭圆的第二定义： 到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹． 定点F 是椭圆的焦点； 定直线l 是椭圆的准线； 常数e 是椭圆的离心率． ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
高中数学选修2-1第二章 (9)
第2课时 双曲线的几何性质及应用 学习目标 1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解弦长问题． 知识点一 直线与双曲线的位置关系 思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？ 答案 不能． 梳理 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，”＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． ”＞0?直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； ”＝0?直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； ”＜0?直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离． 知识点二 弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝ (1＋1k2[y1＋y22－4y1y2]. (1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)
(2)过点A(1,0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，这样的直线可作2条．(×) (3)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(√) 类型一 直线与双曲线位置关系 例1 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 联立 {x2－y2＝4，y＝kx－1，消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， ”＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4×(4－3k2)． (1)由{4－3k2＞0，1－k2≠0，得－233＜k＜233且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解， 即直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)由{4－3k2＝0，1－k2≠0，得k＝±233， 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线与双曲线有且只有一个公共点， 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x＝5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交， 有且只有一个公共点． 故当k＝±233或±1时， 直线与双曲线有且只有一个公共点． (3)由{4－3k2＜0，1－k2≠0，得k＜－233或k＞233， 此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点． 反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
苏教版高中数学选修2-2《1.2.1 常见函数的导数》教案
教学目标： 1．能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2．能利用导数公式求简单函数的导数． 教学重点： 基本初等函数的导数公式的应用． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． （1）在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？ （2）求曲线在某点处的切线方程的基本步骤： ①求出P 点的坐标； ②利用切线斜率的定义求出切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程． （3）函数导函数的概念
2．探究活动． 用导数的定义求下列各函数的导数： 思考由上面的结果，你能发现什么规律？ 二、建构数学 1．几个常用函数的导数： 思考由上面的求导公式（3）～（7），你能发现什么规律？ 2．基本初等函数的导数：
三、数学运用 例1 利用求导公式求下列函数导数． （1）5y x -＝； （2）y (3)πsin 3 y ＝； （4）4x y ＝； （5）3log y x ＝； （6）πsin()2 y x ＝＋； （7）cos(2π)y x ＝－． 例2 若直线y x b ＝－＋为函数1y x ＝图象的切线，求b 及切点坐标． 点评 求切线问题的基本步骤：找切点—求导数—得斜率． 变式1 求曲线2y x ＝在点(1，1)处的切线方程． 变式2 求曲线2y x ＝过点 (0，－1)的切线方程． 点评 求曲线“在某点”与“过某点”的切线是不一样的． 变式3 已知直线l ：1y x ＝－，点P 为2y x ＝上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短． 练习： 1．见课本P20练习． 第3题： ； 第5题： （1） ； （2） ；
北师大版数学选修2-2全套教案
第一章 推理与证明 课题：合情推理（一）——归纳推理 课时安排：一课时课型：新授课 教学目标： 1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。 教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。 教学过程： 一、课堂引入： 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。 见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解： 1、 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 2、 三角形的内角和是180?，凸四边形的内角和是360?，凸五边形的内角和是540? 由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n -?? 3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a m b b m +<+（,,a b m 均为正实数） 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤： ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。 例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1) n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--???-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。 【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下） （1）113(1)1144 f a =-=-= 1213824(2)(1)(1)(1)(1))94936 f a a f =--=?-=?== 12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168 f a a a f =---=?-=?=
高中数学选修2-1第二章 2.3.2 第二课时 练习题及答案
高中数学选修2-1第二章 2.3.2 第二课时 练习题 1．已知双曲线C ：x 2 －y 24＝1，过点P (1,2)的直线l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 ( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，点P 在渐近线上， 双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条． 答案：B 2．如图，ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab (ab ≠0)所表示的图形只可能是( ) 解析：直线方程可化为y ＝ax ＋b ，曲线方程可化为x 2a ＋y 2b ＝1.对于A ，直线中a >0，b >0，此时曲线表示椭圆，故A 不正确；对于B 、D ，由椭圆知直线斜率应满足a >0， 而由B ，D 知直线斜率均为负值，故B ，D 不正确； 由C 中直线可知a >0，b <0，曲线方程即为x 2a －y 2 －b ＝1，表示焦点在x 轴上的双曲线． 答案：C 3．过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB ＝12BC ，则双曲线的离心率是 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.10 解析：右顶点为A (a,0)，则直线方程为x ＋y －a ＝0，可求得直线与两渐近线的交点坐标B (a 2a ＋b ，ab a ＋b )，C (a 2a －b ，－ab a －b )，则BC ＝(2a 2b a 2－b 2，－2a 2b a 2－b 2)，AB ＝(－ab a ＋b ，ab a ＋b ). 又2AB ＝BC ，∴2a ＝b ，∴e ＝ 5. 答案：C 4．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点.若△ABF 2为直角三角形，则双曲线的离心率为 ( ) A ．1＋ 2 B ．1±2
北师大版选修21高中数学2.2.1椭圆及其标准方程word教案
2.2 椭 圆 ◆ 知识与技能目标 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法． ◆ 过程与方法目标 （1）预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P 41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm 长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm ，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程． （2）新课讲授过程 （i ）由上述探究过程容易得到椭圆的定义． 〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={} 12|2M MF MF a +=． （ii ）椭圆标准方程的推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系． 无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． 设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()22 2210y x a b a b +=>>． （iii ）例题讲解与引申 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22??- ??? ，求它的标准方程． 分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法来解． 另解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，因点53,22??- ??? 在椭圆上，
高中数学【北师大选修1-1】教案全集
第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程： 一、复习准备： 阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？ （1）矩形的对角线相等； >； （2）312 >吗？ （3）312 （4）8是24的约数； （5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子. 二、讲授新课： 1. 教学命题的概念： ①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题. ②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）； 假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）. 上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题. ③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2； （4）对数函数是增函数吗？ x<； （5）215 （6）平面内不相交的两条直线一定平行； （7）明天下雨. （学生自练→个别回答→教师点评） ④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式： ①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式. ③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点； （2）对顶角相等； （3）全等的两个三角形面积也相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式. 巩固练习： 教材 P4 1、2、3 4. （师生共析→学生说出答案→教师点评） ②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；
【重磅】数学选修2-1全套教案
第一章常用逻辑用语 1.1命题及其关系 1.1.1 命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若R2=1,则R=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解． 5．练习、深化 判断下列语句是否为命题？ （１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数． （３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行． （５） 2 )2 ( ＝－２．（６）R＞１５． 让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题． 解略。 引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出一些定理、推论的例子来看看？ 通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题． 过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成）。紧接着提出问题：命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？
(转)高二数学选修2-1、2-2、2-3知识点小结
选修2-1、2-2、2-2知识点（转载） 选修2-1 第一章 常用逻辑用语 1. 命题及其关系 ① 四种命题相互间关系： ② 逆否命题同真同假 2. 充分条件与必要条件 p 是q 的充要条件：p q ? p 是q 的充分不必要条件：,p q q p ?? p 是q 的必要不充分条件：,q p p q ?? p 是q 的既充分不必要条件：,p q q p 靠 3. 逻辑联结词 “或”“且”“非” 4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化. 第二章 圆锥曲线与方程 1. 2. “回归定义” 是一种重要的解题策略。如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。 3. 直线与圆锥曲线的位置关系 （1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0?>、0?=、0?<. 应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系) 常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等； ②点差法 （主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据： 1212210021 2,2,22x x y y y y x y k x x ++-===-） （2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在） ① 直线具有斜率k ，两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y 1212AB x y =-=- ② 直线斜率不存在,则12AB y y =-. （3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。 考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（121k k =-） 注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟
【新人教A版】高中数学选修2--1教案设计(全套)
【新人教A版】高中数学选修2-1教案 第一章常用逻辑用语 1.1命题及其关系 1.1.1 命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化 判断下列语句是否为命题？ （１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数． （３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．
选修22数学归纳法教案
高中选修2-2 2.3《数学归纳法》教学设计 一、教材分析 数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要.数学归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范.学习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的解决有了新的方法.首先，我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，这是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段.但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法.因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法，这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节，掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维能力、体验数学内在美的好素材. 二、教学目标 1．知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，初步理解数学归纳法原理. （2）能以递推思想为指导，理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论. （3）初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式. 2. 能力目标 （1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力. （2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想. （3）在学习中培养学生大胆猜想，小心求证的辨证思维素质以及发现问题、
提出问题的意识和数学交流的能力. 3. 情感目标 （1）通过对数学归纳法原理的探究，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点. （2）体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟数学的内在美，激发学生学习热情，使学生喜欢数学. （3）学生通过置疑与探究，初步形成正确的数学观，创新意识和严谨的科学精神. 三、教学重点与难点 1．教学重点 借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用. 2．教学难点 （1 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性. （2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当1 =+时结论 n k 正确. 四、教学方法 本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发.在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望.师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数n有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力.既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性. 五、教学过程
苏教版高中数学选修2-2《1.3.1 单调性》教案
教学目标： 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法． 教学重点： 利用导数判断函数单调性． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． 怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？ 2．探究活动． 由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？ 二、建构数学 1．函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y＝f(x)的切线的斜率就是函数y＝f(x)的导数．从函数243 ＝－＋的图象 y x x 可以看到：
在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y ＝f (x )的值随着x 的增大而增大，即y ′＞0时，函数y ＝f (x )在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y ＝f (x )的值随着x 的增大而减小，即y ′＜0时，函数y ＝f (x )在区间（－∞，2）内为减函数． 定义：一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内有导数，如果在这个区间内，有y ′＞0，那么函数y ＝f (x )为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内y ′＜0，那么函数y ＝f (x )为在这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数()f x '． ②令()f x '＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间． ③令()f x '＜0解不等式，得x 的范围就是递减区间． 三、数学运用 例1 确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解 f ′(x )＝(2x 3－6x 2＋7)′＝6x 2－12x 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0 ∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数． 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数． 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2． ∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数． 例2 已知函数y ＝x ＋ x 1 ，试讨论出此函数的单调区间．