2018年高考数学二轮复习 专题三数列第2讲数列的求和及综合应用课时规范练(文科) Word版 含答案

第2讲 数列的求和及综合应用

一、选择题

1．已知数列112，314，518，71

16，…，则其前n 项和S n 为( )(导学号 55410114)

A ．n 2

＋1－12n

B ．n 2

＋2－12n

C ．n 2

＋1－

12

n －1

D ．n 2

＋2－12

n －1

解析：a n ＝(2n －1)＋1

2

n ，

所以S n ＝n （1＋2n －1）2＋12? ?

??

?1－12n 1－12＝n 2＋1－1

2

n .

答案：A

2．(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋

S 6>2S 5”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：由S 4＋S 6－2S 5＝S 6－S 5－(S 5－S 4)＝a 6－a 5＝d ， 当d ＞0时，则S 4＋S 6－2S 5＞0，即S 4＋S 6＞2S 5. 反之，S 4＋S 6＞2S 5，可得d ＞0.

所以“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件． 答案：C

3．(2017·东北三省四市二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )

A ．9

B ．15

C ．18

D ．30

解析：因为a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，所以数列{a n }是公差为2的等差数列．所以a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7.

数列{a n }的前n 项和S n ＝

n （－5＋2n －7）

2

＝n 2

－6n .

令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥7

2

.

所以n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n . 则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6，

S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.

答案：C

4．满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *

)，它的前n 项和为S n ，则满足S n ＞1 025的最小n 值是( )(导学号 55410115)

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

解析：因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)， 所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2

n －1

，S n ＝2n

－1.

则满足S n ＞1 025的最小n 值是11. 答案：C

5．(2017·长沙一中月考)数列a n ＝

1n （n ＋1），其前n 项之和为9

10

，则在平面直角坐

标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )

A ．－10

B ．－9

C ．10

D ．9

解析：由于a n ＝

1n （n ＋1）＝1n －1

n ＋1

，

所以S n ＝? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1

n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 因此1－

1n ＋1＝9

10

，所以n ＝9， 所以直线方程为10x ＋y ＋9＝0.

令x ＝0，得y ＝－9，所以在y 轴上的截距为－9. 答案：B 二、填空题

6．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”．若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n

，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．

解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n

－1，

所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22

＋23

＋ (2)

－n ＝2（1－2n

）1－2

－n ＝2n ＋1

－n －2.

答案：2

n ＋1

－n －2

7．(2017·潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n －1

(n ∈N *

)，若b n ＝

a n ＋1

S n S n ＋1

，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________．

解析：易知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以S n ＝2（1－3n

）1－3＝3n －1，

又b n ＝

a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1

S n ＋1

， 则b 1＋b 2＋…＋b n ＝? ????1S 1－1S 2＋? ????1S 2－1S 3＋…＋? ???

?1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1

.

答案：12－1

3n ＋1－1

8．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *

，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若

a ⊥

b ，则数列??

??

??

a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为________． 解析：因为a ⊥

b ，所以a ·b ＝2S n －n (n ＋1)＝0， 所以S n ＝n （n ＋1）

2

，所以a n ＝n ，

所以

a n a n ＋1a n ＋4＝n （n ＋1）（n ＋4）＝1

n ＋4

n

＋5，

当n ＝2时，n ＋4

n

取最小值4，此时a n a n ＋1a n ＋4取到最大值1

9

.

答案：19

三、解答题

9．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋

a 7＝6.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝2

5.

所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3

5

. (2)由(1)知，b n ＝??

??

??2n ＋35.

当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋3

5＜2，b n ＝1；

当n ＝4，5时，2≤2n ＋3

5＜3，b n ＝2；

当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋3

5＜4，b n ＝3；

当n ＝9，10时，4≤2n ＋3

5

＜5，b n ＝4.

所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.

10．(2017·莆田质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2

＋kn ，其中k 为常数，a 6＝13. (1)求k 的值及数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝

2

n （a n ＋1）

，求数列{b n }的前n 项和T n .

解：(1)由已知S n ＝n 2

＋kn ，有a n ＝S n －S n －1＝2n ＋k －1(n ≥2)， 又a 1＝S 1＝k ＋1，所以a n ＝2n ＋k －1.

又因为a 6＝13，所以2×6＋k －1＝13，解得k ＝2， 所以a n ＝2n ＋1. (2)因为b n ＝

2n （a n ＋1）＝2n （2n ＋2）＝1

n （n ＋1）

，

所以b n ＝1n －1

n ＋1

，

所以T n ＝? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1n －1－1n ＋? ??

??1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，

所以数列{b n }的前n 项和T n ＝

n

n ＋1

.

11．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2

＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n

＋b n ＋1.(导学号 55410116)

(1)求数列{b n }的通项公式；

(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1

（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .

解：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式． 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .

由?

????a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即?????11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.