【附加15套高考模拟】2019-2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研数学试题含答案
2019-2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研数学试题
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为60?的直线交抛物线于A 、B 两点,以AF 、BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点M ,N ,则MN =()
A .3
B .23
C .23
D .43
2.若,a b 是从集合{}1,1,2,3,4-中随机选取的两个不同元素,则使得函数()5a
b f x x x =+是奇函数的概
率为( )
A .320
B .310
C .925
D .35
3.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左焦点为F ,第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上,且
OM a =,若直线MF 的斜率为b
a
,则双曲线C 的渐近线方程为( )
A .y x =±
B .2y x =±
C .3y x =±
D .4y x =±
4.已知抛物线2:2C y px =(0p >)的焦点为F ,准线为l ,O 为坐标原点,点P 在C 上,直线PF 与l 交于点T .若2
3
PFO ∠=
π,则PF PT = A .14 B .13 C .12 D .2
3
5.已知点A 是函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的图像上的一个最高点,点B 、C 是函数()f x 图像上相邻两个对称中心,且三角形ABC 的周长的最小值为222+.若0m ?>,使得
()()f x m mf x +=-,则函数()f x 的解析式为
A .sin(
)24
y x π
π
=+ B .sin(
)23
y x π
π
=+
C .sin()4y x ππ=+
D .
sin()
3y x π
π=+ 6.执行如图所示的程序框图,则输出的
( )
A .3
B .4
C .5
D .6
7.已知椭圆22
:143
x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两
点,则1F AB ?的内切圆半径为( )
A .27
B .22
7
C .327
D .427
8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知19a =,2a 为整数,且5n S S ≤,则数列1
1
{}n n a a +?前n 项和的
最大值为( )
A .4
9 B .1
C .41
81 D .151315
9.已知函数()2
ln f x x x =-与()()()
()2
1
222g x x m m R x =-+
-∈-的图象上存在关于()1,0对称的
点,则实数m 的取值范围是( ) A .
(),1ln2-∞- B .(],1ln2-∞- C .()1ln2,-+∞ D .[)1ln2,-+∞
10.奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数,若函数()()()2
2g x f x f a x =+-恰有4个零点,则a 的
取值范围是( ) A .
(),1-∞
B .
()1,+∞
C .
(]0,1
D .
()0,1
11.已知边长为1的等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ,二面角C AB D --的余弦 3
A 、
B 、
C 、
D 、
E 在同一球面上,则此球的体积为( ) A .2π B .82
3 C 2π
D .23
12.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x …
时,()
2()ln 1f x x x =++,则不等式(21)1ln 2f x +>+的解集为( )
A .{|0}x x >
B .{|0}x x <
C .{|1}x x >
D .{|1} 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若4 2S 4S =,则64S S = ______. 14.在等腰梯形中,AB//CD ,AB 2=,AD 1=,DAB 60∠=o ,若BC 3CE =u u u r u u u r ,AF λAB =u u u r u u u r ,且 AE DF 1?=-u u u r u u u r ,则λ=__. 15.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱11,AA P =为上底面1111D C B A 上的动点,给出下列四个结论: ①若PD=3,则满足条件的P 点有且只有一个; ②若3PD =,则点P 的轨迹是一段圆弧; ③若PD ∥平面1ACB ,则DP 长的最小值为2; ④若PD ∥平面1ACB ,且3PD =,则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得图形的面 积为 94 π. 其中所有正确结论的序号为_____. 16.已知实数x ,y 满足342y x x y x ≥?? +≤??≥?,则3z x y =+的最大值是__________. 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(12分)某汽车公司为调查 店个数对该公司汽车销量的影响,对同等规模的 四座城市的 店 一季度汽车销量进行了统计,结果如下: 根据统计的数据进行分析,求关于的线性回归方程;现要从三座城市的10个店中选取3个做深 入调查,求城市中被选中的店个数的分布列和期望. 附:回归方程 中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: ;. 18.(12分)n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知 2121 22n S n n =-+.求{}n a 的通项公式;设12222 1 ,n n n n n b T b b b a a += =+++L ,求n T . 19.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ??=+?? =?(?为参数, [) 0,2?∈π).以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.写出曲线12,C C 的极坐标方程; 在极坐标系中,已知点A 是射线 () :0l θαρ=≥与 1 C 的公共点,点B 是l 与 2 C 的公共点,当α在区间 0,2π?? ????上变化时,求OB OA 的最大值. 20.(12分)已知直线l 的方程为2y x =--,点P 是抛物线 2 :4C x y =上到直线l 距离最小的点.求点P 的坐标;若直线m 与抛物线C 交于A B 、两点,ABP ?的重心恰好为抛物线 C 的焦点F .求ABP ?的面积. 21.(12分)已知点为圆:上任意一点,定点的坐标为 ,线段 的垂直平分线交 于点. 求点的轨迹方程;若动直线与圆 相切,且与点的 轨迹交于点、,求证:以 为直径的圆恒过坐标原点. 22.(10分)已知椭圆 22 :24C x y +=.求椭圆C 的离心率;设O 为原点,若点A 在直线2y =上,点B 在椭圆C 上,且OA OB ⊥,求线段AB 长度的最小值. 参考答案 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.B 7.C 8.A 9.D 10.D 11.D 12.A 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13 . 13 4 14. 1 4 15.①②④ 16.8 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(1);(2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)直接利用最小二乘法求关于的线性回归方程;(2)先求出的可能取值为:0,1,2,3.再求出它们对应的概率和分布列,最后求出其期望. 【详解】 (1);, . . 所以回归直线方程为. (2)的可能取值为:0,1,2,3. ;; ;. 的分布列为 0 1 2 3 所以的期望为. 【点睛】 本题主要考查回归直线方程的求法,考查随机变量的分布列和期望,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18.(1)11 n a n =-+(2) 11 18418 n T n =-- - 【解析】 【分析】 (1)当2 n≥时, 1 11 n n n a s s n - =-=-+,检验1 n=成立即可求解;(2)由 2221n n n b a a += +=111221129n n ?? - ?--?? 裂项相消求和即可 【详解】 (1)当2n ≥时,()2 2112111222n n n a s s n n n -=-=- ++- ()211112 n n --=-+ 当1n =时,满足上式,11n a n ∴=-+ (2)由11n a n =-+ 可得()()2221121129n n n b a a n n += =+-- 111221129n n ?? =- ?--?? 1 2 n T ∴= 11111 1977521129n n ????????-+-++- ? ? ???------? ???????L 1112929n ?? = - ?--?? 1118418 n =- -- 【点睛】 本题考查数列通项公式,裂项相消求和,考查计算能力,熟记求和的基本方法,准确计算是关键,是基础题 19.(1 )sin 42 πρθ? ? += ? ? ?,4cos ρθ=(2 )2+ 【解析】 【试题分析】(1)对于曲线1C 直接代入公式即可得到极坐标方程,对于2C 先消去参数转化为直角坐标方程,再代入公式得到极坐标方程.(2)利用极坐标表示,OA OB ,然后利用辅助角公式化简求得最大值. 【试题解析】 (1)曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+= ,即sin 42 πρθ?? + = ? ? ?. 曲线2C 的普通方程为()2 224x y -+=,即22 40x y x +-=,所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. (2) 由(1)知1 ,4cos cos sin A B OA OB ρρθθθ == ==+, ()( )4cos cos sin 21cos2sin2224OB OA παααααα? ?∴ =+=++=++ ?? ?… 由02 π α≤≤ 知 52+ 4 4 4π π πα≤≤ ,当242 ππ α+=, 即 8π α= 时,OB OA 有最大值2+.… 20. (1) P 点坐标为()2,1-,(2)3 32 【解析】 【分析】 ()1设点P 的坐标,运用点到直线距离求出最小值时的结果 ()2设()()1122A x y B x y ,,,结合已知焦点F 是ABP ?的重心计算出直线m ,求出点到直线的距离为 高,从而计算出面积 【详解】 (1)设点P 的坐标为()00,x y ,则2 004x y =,所以,点P 到直线l 的距离: () 20 2 00002 24 2 4 22 2 2 42 x x x x y d ++++++= = = ≥ ,得当且仅当02x =-时取最小值,此时P 点坐标为()2,1-. (2)抛物线C 的焦点F 的坐标为()0,1,设线段AB 的中点为()00,Q x y ,由三角形重心的性质知 2PF FQ =,又()2,1P -,所以()()002,02,1x y =-,古得001,1x y ==,即Q 的坐标为()1,1,设 ()()1122,,,A x y B x y ,则122x x +=,且2114x y =,2224x y =,以上两式相减得 ()()()1212124x x x x y y -+=-,所以1212121 42AB y y x x k x x -+= ==-,故直线m 的方程为()1112 y x -=-, 经检验,符合题意, 即直线m 的方程为:11 22 y x = +,联立抛物线2:4C x y =得2220x x --=, 所以()()2 2 2 121215AB x x y y =-+-=,且点P 到直线m 的距离为 221 5 5 --+= , 所以ABP ?的面积为1315322 5S =??=. 【点睛】 本题考查了直线与抛物线的位置关系,在计算过程中需要运用点到直线的距离公式计算点线距的最小值及 三角形面积时的高,本题较为综合 21.(1)(2)见证明 【解析】 【分析】 (1)先由题意得到,再由 ,结合椭圆的定义,即可得出结 果; (2)先设直线的方程为,由直线与相切,得到的关系式,再设 ,联立直线与椭圆方程,只需验证 即可证明结论成立. 【详解】 解:(1)圆的圆心为 ,半径 , 连接 ,由已知得:, 由椭圆的定义知:点的轨迹是中心在原点,以为焦点,长轴长为的椭圆 即 点的轨迹方程为. (2)设直线 的方程为 , 与 相切, ,即 设 , 联立代入消元得:, ,,代入(*)式得 又 以 为直径的圆恒过定点. 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义、椭圆方程、以及直线与椭圆位置关系,熟记椭圆的定义与标准方程,以及椭圆的简单性即可,属于常考题型. 22.(1)2 2 c e a == (2)22【解析】 试题分析:(1)由椭圆C 的方程可以求椭圆C 的离心率(2)设椭圆C 的椭圆方程,结合OA OB ⊥,得出结果. (1)由题意,椭圆C 的标准方程为22 142 x y +=, 所以22 4,2a b ==,从而2222c a b =-=, 因此2,2a c ==,故椭圆C 的离心率2 2 c e a = = . (2)设点A ,B 的坐标分别为00(,2),(,)t x y ,其中00x ≠, 因为OA OB ⊥,所以0OA OB u u u r u u u r ?=,即00 20tx y +=,解得00 2y t x =-,又22 0024x y +=, 所以2 2 2 00||()(2)AB x t y =-+-=2200002()(2)y x y x ++-=222 00020 44y x y x +++ =222 0002042(4)42x x x x --+++=22 002 84(04)2x x x ++<≤, 因为 220020 8 4(04)2x x x +≥<≤,且当204x =时间等号成立,所以2||8AB ≥, 故线段AB 长度的最小值为22. 考点:本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识,试题注重了知识的结合,考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等,有一定的综合性,考查转化与化归等数学思想,考查正确的计算能力,考查同学们分析问题与解决问题的能力. 高考模拟数学试卷 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合11,2,2A ? ?=??? ?,{} 2,B y y x x A ==∈,则A B =I (A )12?? ???? (B ){}2 (C ){}1 (D )? (2)在复平面内,复数2i 12i z = -+的共轭复数的虚部为 (A )25- (B )25 (C )25i (D )2 5 -i (3)采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,将他们随机编号1,2,…1000.适当分组后 在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8,抽到的50人中,编号落入区间[]1400,的人做问卷A ,编号落入区间[]401750, 的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽 到的人中,做问卷C 的人数为 (A )12 (B )13 (C )14 (D )15 (4)在等差数列{}n a 中,首项10a =,公差0d ≠,若 1237k a a a a a =++++L ,则k = (A )22 (B )23 (C )24 (D )25 (5)执行如图所示的程序框图,输出的T = (A )29 (B )44 (C )52 (D )62 (6)已知直线,m n 和平面α,则m ∥n 的必要不充分条件是 (A )直线,m n 和平面α成等角 (B )m α⊥且n α⊥ (C )m ∥α且n α? (D )m ∥α且n ∥α (7)将函数()y f x =的图像向右平移 2 π 个单位得到函数cos2y x =的图像,再将函数()y f x =的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图像,则()g x = (A )sin 4x - (B )cos4x (C )sin x (D )cos x - (8)已知函数(2),2 ()1()1,22 ≥x a x x f x x -?? =?-?满足对任意的实数12x x ≠,都有1212()()0f x f x x x -<- 成立,则实数a 的取值范围为 (A )()2-∞, (B )13 ]8 ∞(-, (C )(]2-∞, (D )13 [2)8 , (9)已知3(,2)2 π βπ∈,满足()tan 2tan 0αββ+-=,则tan α的最小值是 (A (B ) (C ) (D (10)已知11a =,131 n n n a a a +=+,则数列{}n a 的通项为n a = (A ) 121n - (B )21n - (C )1 32 n - (D )32n - (11)变量,x y 满足线性约束条件320, 2,1,x y y x y x +-?? -??--? ≤≤≥目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最小值,则k 的取值 范围是 (A )3k <- (B )1k > (C )31k -<< (D )11k -<< (12)对于函数()y f x =,部分x 与y 的对应关系如下表: {} n x 满 数列11x =,且 足: 对于任意n *∈N ,点()1,n n x x +都在函数()y f x =的图象上,则122015x x x ++???+= x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3 7 5 9 6 1 8 2 4 (A )7539 (B ) 7546 (C )7549 (D )7554 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)若双曲线22 221y x a b -=的离心率为3,则其渐近线方程为 . (14)经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下: 则该营业窗口上午9点钟时,至少有2人排队的概率是 . (15)若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体 积是 . (16)在平面直角坐标系xOy 中,设直线2y x =-+与圆 ()2220x y r r +=>交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若圆上一点C 满足 5344 ,则OC OA OB r =+=uuu r uu r uu u r . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分) 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知2BA BC ?=u u u r u u u r ,tan 22B =,3b =. (Ⅰ)求a ,c 的值; (Ⅱ)求cos()B C -的值. (18)(本小题满分12分) 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表:平均每天喝500ml 以上为常喝,体重超过50kg 为肥胖. 排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18 已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为415 . (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由; (Ⅲ)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2名女生),抽取2人参加电视节目,则正好抽到一男一女的 概率是多少? 参考数据: (参考公式:22 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++) (19)(本小题满分12分) 如图,已知直三棱柱111ABC A B C -中,1,,, ,AA AB AC AB AC M N Q ==⊥ 分别是1,,CC BC AC 的中点,点P 在线段11A B 上运动. (Ⅰ)证明:无论点P 在线段11A B 上的任何位置, 总有AM ⊥平面PNQ ; (Ⅱ)若1AC =,试求三棱锥P MNQ -的体积. (20)(本小题满分12分) 已知以C 为圆心的动圆过定点()30, A -,且与圆()2 2:364B x y -+=(B 为圆心)相切,点C 的轨迹为曲线T .设Q 为曲线T 上(不在x 轴上)的动点,过点A 作OQ (O 为坐标原点)的平行线交曲线T 于M ,N 两点. (Ⅰ)求曲线T 的方程; A 1 B 1 C 1 A B C N M Q P (Ⅱ)是否存在常数λ,使2 AM AN OQ λ?=u u u r u u u r u u u r 总成立?若存在,求λ;若不存在,请说明理由. (21)(本小题满分12分) 已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行. (Ⅰ)求实数a 的值; (Ⅱ)若关于x 的方程2()2f x m x x +=-在1 [,2]2 上恰有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围; (Ⅲ)记函数2 1()()2 g x f x x bx =+ -,设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点,若32≥b ,且 12()()≥g x g x k -恒成立,求实数k 的最大值. 请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号。 (22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,已知圆O 的两弦AB 和CD 相交于点E ,FG 是圆O 的切线, G 为切点,EF =FG . 求证:(Ⅰ)DEF EAD ∠=∠; (Ⅱ)EF ∥CB . (23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,设圆1C :ρ=4 cos θ 与直线l :θ=π 4 (ρ∈R)交于A ,B 两点. (Ⅰ)求以AB 为直径的圆2C 的极坐标方程; (Ⅱ)在圆1C 上任取一点M ,在圆2C 上任取一点N ,求线段MN 的最大值. (24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()|||3|,f x x a x a =--+∈R . (Ⅰ)当1a =-时,解不等式()1f x ≤; (Ⅱ)若[0,3]x ∈时,()4≤f x ,求a 的取值范围. 数学(文)答案 · A B C D E O F G 一选择题: 二、填空题: (13)2y x =± (14)0.74 (15)22 3 (16三、解答题 (17)【解】(Ⅰ)由tan B =得:1 cos 3 B =, 由2BA BC ?=u u u r u u u r 得cos 2ac B =,所以6ac =, 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,即22 293 a c ac +-=, ∵a c >,∴3,2a c ==. (Ⅱ)sin 3B = ,由正弦定理得sin 9C =,∴7cos 9C =,23 cos()27 B C -=. (18)【解】(Ⅰ)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人,x =6 (Ⅱ)由已知数据可求得:2≈8.522>7.879 因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关. (Ⅲ)设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A 、B 、C 、D ,女生为E 、F ,则任取两人有AB ,AC ,AD , AE ,AF ,BC ,BD ,BE ,BF ,CD ,CE ,CF ,DE ,DF ,EF ,共15种.其中一男一女有AE ,AF ,BE ,BF ,CE ,CF ,DE ,DF .抽出一男一女的概率是 8 15 . (19)【解】(Ⅰ)连接1A Q . ∵1AA AC =,,M Q 分别是1,CC AC 的中点,∴△AA 1Q ≌△CAM ,∴1MAC QA A ∠=∠ ∴11190MAC AQA QA A AQA ∠+∠=∠+∠=?即AM ⊥1A Q ……① ∵,N Q 分别是,BC AC 的中点,∴NQ ∥AB , 又AB ⊥AC ,所以NQ ⊥AC , 在直三棱柱中,1AA ⊥面ABC , ∴NQ ⊥1AA ,又1AC AA A =I ,所以NQ ⊥平面11ACC A , ∴NQ ⊥AM ……②,由①②及1 NQ AQ Q =I 得AM ⊥平面PNQ . (Ⅱ)设P 点到平面MNQ 的距离为h ,由11A B ∥AB ∥NQ 可得11A B ∥平面MNQ , ∴动点P 到平面MNQ 的距离为定值, 由11P MNQ A MNQ N A MQ V V V ---==,得11 3 P MNQ A MQ V S NQ -?=?. 131,,82 A MQ S NQ ?==1 16P MNQ V -= (20)【解】(Ⅰ)∵(3,0)A -在圆B 的内部,∴两圆相内切,所以8BC AC =-, 即8BC AC AB +=>. ∴C 点的轨迹是以A ,B 为焦点的椭圆,且长轴长28a =,4a =,3c =, 2 1697b =-=∴曲线T 的方程为:22 1167 x y +=. (Ⅱ)当直线MN 斜率不存在时,74 AN AM ==u u u r u u u u r ,27OQ =u u u r . ∴||||cos 7AM AN AM AN πλ?=??=u u u u r u u u r u u u u r u u u r ,则7 16 λ=-; 当直线MN 斜率存在时,设),(11y x M ,),(22y x N ,MN (3)y k x =+,则OQ y kx =, 由22716112,(3), x y y k x ?+=?=+?得2222(716)961441120k x k x k +++-=, 则2 2 2116796k k x x +-=+,2221167112144k k x x +-=?, ∴()()[]()[]2 2 21212 212 21167499333k k x x x x k x x k y y +-=+++=++=. ()()212122 49(1) 33716k AM AN x x y y k -+?=+++=+u u u u r u u u r 由22716112 x y y kx ?+=?=? 得222716112x k x +=,则22 112716x k =+, ∴2222222 112(1)(1)716k OQ x y k x k +=+=+=+u u u r ,由2AM AN OQ λ?=u u u u r u u u r u u u r 可解得716λ=-. 综上,存在常数λ=7 16 -,使2AM AN OQ λ?=u u u u r u u u r u u u r 总成立. 21.【解】(Ⅰ)1 ()f x a x '= - , ∵函数在x =2处的切线l 与直线x +2y -3=0平行, ∴11 22 k a = -=-,解得a =1 (Ⅱ)由(1)得f (x )=lnx -x ,∴f(x)+m =2x -x 2,即x 2-3x +lnx +m =0, 法1:设h(x)=x 2-3x +lnx +m ,(x >0) 则h′(x)=2x -3+1 x =2231(21)(1)x x x x x x -+--= , 令h′(x)=0,得x 1=1 ,x 2=1,列表得: ∴当x =1时,h(x)的极小值为h(1)=m -2, 又h( 12)=5 ln 24 m --,h(2)=m -2+ln2, ∵方程f(x)+m =2x -x 2在1 [,2]2上恰有两个不相等的实数根, ∴(1)0(2)1()02h h h ??????≥0≥,即202ln 25 204 m m m ??--+???-?≥0-ln ≥,解得5 ln 224≤m +< 法2:∴f(x)+m =2x -x 2,即m =-x 2+3x -lnx ,1 [,2]2 x ∈ 法1:设h(x)=-x 2+3x -lnx ,1[,1]2 x ∈, 则h′(x)=-2x+3-1 x =2231(21)(1)x x x x x x -+----= , 令h′(x)=0,得x 1= 1 ,x 2=1,列表得: ∴当x =1时,h(x)的极大值为h(1)=2, 又h( 12)=5 ln24+,h(2)=2-ln2,h(12)-h(2)=2ln2-34 >0,h(12)>h(2) ∵方程f(x)+m =2x -x 2在1[,2]2 上恰有两个不相等的实数根,5 ln 224m ∴+<≤ (Ⅲ)∵2 1()ln (1)2 g x x x b x =+-+,∴21(1)1()(1)x b x g x x b x x -++'=+-+=, 由()0g x '=得2(1)10x b x -++=∴12121,1x x b x x +=+=, ∴211x x =,又32≥b ,∴11 1 11521 0≥x x x x ? +????<? 解得:1102≤x < ∴222122********* 111()()ln ()(1)()2ln ()22x g x g x x x b x x x x x x -=+--+-=--, 22111 ()2ln ()(0) 22 ≤F x x x x x =--< 则2233 21(1)()0x F x x x x x --'=--=<,∴F (x )在1 (0,]2上单调递减; ∴当112x =时,min 115()()2ln 228F x F ==-,∴15 2ln 28 ≤k - ∴k 的最大值为 15 2ln 28 -. 22.【解】(Ⅰ)由切割线定理得2FG FA FD =?. 又EF FG =,所以2EF FA FD =?,即 EF FD FA EF = . 因为EFA DFE ∠=∠,所以△FED ∽△EAF , 所以DEF EAD ∠=∠. (Ⅱ)由(Ⅰ)得DEF EAD ∠=∠,因为FAE DAB DCB ∠=∠=∠, 所以FED BCD ∠=∠,所以EF ∥CB . 23.【解】(Ⅰ) 以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴,建立直角坐标系, 则由题意,得圆1C 的直角坐标方程 x 2+y 2-4x =0, 直线l 的直角坐标方程 y =x . 由???x 2+y 2-4x =0,y =x , 解得???x =0,y =0,或 ???x =2, y =2. 所以A(0,0),B(2,2). 从而圆2C 的直角坐标方程为(x -1)2+(y -1)2=2,即x 2+y 2=2x +2y . 将其化为极坐标方程为:ρ2-2ρ(cos θ+sin θ)=0,即ρ=2(cos θ+sin θ). (Ⅱ)∵1122(2,0),2,(1,1),C r C r == ∴ 12||||22MN C C =++=最大值. 24.【解】(Ⅰ)当1a =-时,不等式为131≤x x +-+ 当3≤x -,不等式转化为(1)(3)1≤x x -+++,不等式解集为空集; 当31x -<<-,不等式转化为(1)(3)1≤x x +++,解之得512 ≤x -<-; 当1≥x -时,不等式转化为(1)(3)1≤x x +-+,恒成立; 综上不等式的解集为5 [,)2 -+∞. (Ⅱ)若[0,3]x ∈时,()4≤f x 恒成立,即||7x a x -+≤,亦即77a x -+≤≤2恒成立, 又因为[0,3]x ∈,所以77≤≤a -,所以a 的取值范围为[7,7]-. 高考模拟数学试卷 (满分160分,考试时间120分钟) 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分. 1. 已知集合M ={-2,-1,0},N =?????? ??? ?x ???????12x >2,则M ∩N =________. 2. 已知i 是虚数单位,且复数z 满足(1+i)z =2,则||z =________. 3. 底面半径为1,母线长为3的圆锥的体积是________. Read x If x ≥0 Then y ←sin x Else y ←x 2-1 End If 5. 根据如图所示的伪代码,已知输出值y 为3,则输入值x 为________. 6. 甲乙两人各有三张卡片,甲的卡片分别标有数字1、2、3,乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张,甲抽出的卡片上的数字记为a ,乙抽出的卡片上的数字记为b ,则a 与b 的积为奇数的概率为________. 7. 若直线l 1:x -2y +4=0与l 2:mx -4y +3=0平行,则两平行直线l 1,l 2间的距离为________. 8. 已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ,若S 3=7,S 6=63,则a 1=________. 9. 已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为x -2y =0,则该双曲线的离心率为 ________. 10. 已知直线l :y =-x +4与圆C :(x -2)2+(y -1)2=1相交于P ,Q 两点,则CP →·CQ → =________. 11. 已知正实数x ,y 满足x +4y -xy =0,若x +y ≥m 恒成立,则实数m 的取值范围为________. 12. 设a ,b 是非零实数,且满足asin π7+bcos π 7acos π7-bsin π7 =tan 10π21,则b a =________. 13. 已知函数f(x)=a +3+4 x -||x +a 有且仅有三个零点,并且这三个零点构成等差数列,则实数a 的 值为________. 14. 若存在正实数x ,y ,z 满足3y 2+3z 2≤10yz ,且ln x -ln z =ey z ,则x y 的最小值为________. 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分) 已知函数f(x)=cos 2x +23sin xcos x -sin 2x ,x ∈R. (1) 求函数f(x)的单调增区间; (2) 求方程f(x)=0在(0,π]上的所有解. 16. (本小题满分14分) 如图,在三棱柱ABCA 1B 1C 1中,四边形AA 1B 1B 为矩形,平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ,E ,F 分别是侧面AA 1B 1B ,BB 1C 1C 对角线的交点.求证: (1) EF ∥平面ABC ; (2) BB 1⊥AC. 17. (本小题满分14分) 为了美化环境,某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪,休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ,其中AB =3百米,AD =5百米,且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形.拟修建两条小路AC ,BD(路的宽度忽略不计),设∠BAD = θ,θ∈ ??? ?π2,π. (1) 当cos θ=- 5 5 时,求小路AC 的长度; (2) 当草坪ABCD 的面积最大时,求此时小路BD 的长度. 18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆M :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的离心率 为 1 2 ,左、右顶点分别为A 、B ,线段AB 的长为4.点P 在椭圆M 上且位于第一象限,过点A ,B 分别作l 1⊥PA ,l 2⊥PB ,直线l 1,l 2交于点C. (1) 若点C 的横坐标为-1,求点P 的坐标; (2) 直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ,且AC →=λAQ → ,求λ的取值范围.