15相似三角形判定定理的证明知识讲解基础

相似三角形判定定理的证明(基础)

【学习目标】

1.熟记三个判定定理的内容.

2.三个判定定理的证明过程.

3.学选会用适当的方法证明结论的成立性.

【要点梳理】

要点一、两角分别相等的两个三角形相似

已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.

证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则

∠ADE=∠B，∠AED=∠C,

ADAE?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）.

ABAC过点D作AC的平行线，交BC与点F,则

ADCF?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ABCBAECF?∴ACCB∵DE∥BC,DF∥AC,

∴四边形DFCE是平行四边形.

∴DE=CF.

∴AE:AC=DE:CB

ADAEDE??. ∴ABACBC而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,

∴△ADE∽△ABC.

∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′,

∴△ADE∽△A′B′C′.

∴△ABC∽△A′B′C′.

要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.

【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似，求证：△ADE∽△ABC．D，

CE⊥AB，垂足为E1、在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为

断可判∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB路点拨】由BD⊥AC，CE⊥AB得到【思

，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的==，利用比例性质得△AEC∽△ADB，则判定方法即可得到结论．【答案与解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠ADB=90°，而∠EAC=

∠DAB，∴△AEC∽△ADB，∴，=∴，= ∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．有两组有两组角对应相等的两三角形相似；【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．举一反三°，ADE=60，且∠在BC、AC上，点是等边三角形D，E分别ABC【变式】如图，△CE.

CD=AC?证求：BD?

【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，AB=AC，

∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，

∴∠BAD=∠CDE，

，DCE△∽ABD△∴．ABBDCC BCD=AC

BCD=AC

2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延

长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD．

【思路点拨】首先利用三角形的内角和定理证明：∠A=∠E，再有垂直得到90°的角，∠ADH=∠ACB=90°，从而证明：△AHD∽△EBD．

【答案与解析】

证明：∵HD⊥AB于D，

∴∠ADH=90°，

∴∠A+∠AHD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠E+∠AHD=90°，

∴∠A=∠E，

∵∠ADH=∠ACB=90°，

∴△AHD∽△EBD．

【总结升华】考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

ABAC . C′A′B′,

A=′BC′中，∠∠A′∽△,求证：△ABC′和△在△已知，ABCA A'B'A'C'

的平行线，BC作D过点,′B′AD=A（或它的延长线）上截取AB的边ABC证明：在△．

E,则交AC于点AED,

C=∠B=∠ADE,∠∠).

ADE(两角分别相等的两个三角形相似∴△ABC∽△ACAB?∴. AEADACAB?, ′B′∵ ,AD=A'''ACA'BACAB?∴'A'CADACAC?∴'A'CAE′AE=A′C∴′∠A而∠A=. ′′CADE≌△A′B∴△.

′′C∽△A′B∴△ABC要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方

法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的.

类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接 G．EF并延长交BC的延长线于点 1）求证：△ABE∽△DEF；（的长．4，求BG（2）若正方形的边长为

【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；BG的长．2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得（【答案与解析】为正方形，1）证明：∵ABCD（∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠

D=90°，∵AE=ED，，∴∵DF=DC，

，∴．∴，

∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵ABCD为正方形，

∴ED∥BG，

∴，

又∵DF=DC，正方形的边长为4，

∴ED=2，CG=6，

∴BG=BC+CG=10．

【总结升华】考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．

举一反三

【变式】（2015?随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判

断△ABC∽△AED的是（）

=D．C ．= B A．∠AED=∠B ．∠ADE=∠C

【答案】D；

提示：∵∠DAE=∠CAB，

∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；

=时，△ABC∽△AED当．

D ．故选

4、（2014秋?揭西县校级期末）如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF 分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．

，BE=x解：设【答案与解析】．

∵EF=32，GE=8，

∴FG=32﹣8=24，

∵AD∥BC，

∴△AFE∽△CBE，

=，∴

==+1①∴则∵DG∥AB，

∴△DFG∽△CBG，

= 代入①∴

+1，=

解得：x=±16（负数舍去），

故BE=16．

【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△DFG∽△CBG 是解题关键．举一反三

【变式】如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

（1）填空：∠ABC= °，BC= ；

（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．

BC=；）∠ABC=135°，【答案】解：（1 ）相似；（2=，；∵BC=EC=

；∴，∴；又∠ABC=∠CED=135°，

∴△ABC∽△DEC．

要点三、三边成比例的两个三角形相似

ABBCAC??. 和△A′B′C′中，已知：在△ABC A'B'B'C'A'C'. A′BC′′求证：△ABC∽△

证明：在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE. ABAC?, ′′C′B′∵,AE=A，AD=A A'B'A'C'ABAC?∴

ADAE而∠BAC=∠DAE,

∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).

ABBC?∴DEADBCAB?, ′B′又，AD= A'C'B'A'BBCAB?

∴'CB'ADBCBC ∴''CDEB∴DE=B′C′,

∴△ADE≌△A′B′C′，

∴△ABC∽△A′B′C′.

类型三、三边成比例的两个三角形相似

5、已知：正方形的边长为1

（1）如图①，可以算出正方形的对角线为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，

n个呢？

）根据图②，求证△BCE∽△BED；2（．

（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°

【思路点拨】（1）主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；

（2）在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；

（3）欲证∠BEC+∠DFE=45°，在本题中等于45°的角有两个，即∠AEB和∠BEF，所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中去，利用等腰梯形的性质求解即可．

【答案与解析】

=，）由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长 =1解：（，第二个图形中，对角线长== =，第三个图形中，对角线长个图形中，对角线长=；所以第n EC=BE=，，中，（2）在△BCEBC=1，，，BE=BD=2，ED=在△BED中，

所以，∴△BCE∽△BED；

（3）选取③，

∵CD∥EF，且CE=DF，

∴四边形CEFD为等腰梯形，

∴∠DFE=∠CEF，

∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45°．

【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的.

【巩固练习】

一、选择题

1. 如图，已知∠C=∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是（）

BCACABAC C

D B A ∠BAD=∠CAE∠B=∠D AEADAEDE．

2．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF

与△ABC的关系是（）

A．一定相似 B．当E是AC中点时相似 C．不一定相似 D．无法判断

FC=BC上，且．图中相似三角形CD的中点，点F在BC3．如图，在正方形ABCD中，E是共有（）

A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对

4. （2015?荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）

=． = ．．∠ABP=∠C A B．∠APB=∠ABC CD5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）

D

A C B

）1有下列条件：（）与△A′B′C′中，；6．2；（在△ABC（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断）△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

二、填空题

7.（2015春?工业园区期中）如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下列四个条件中

2 4）AB?CP=AP?CB，）AC=AP?AB；（（（1）∠ACP=∠B；2）∠APC=∠ACB；（

3 （填序号）．和△ACB 相似的条件有其中能满足△APC

8．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；

只填一个条件，多填不给分！）

9．如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC △DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定

不相似”）．

中，已知，又因为，在△OAOB和△DOC，与10．如图，ACBD相交于点 DOC．∽

△可证明△AOB

11．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③

△BOD∽△COE．正确的序号是．

12．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有对相似三角形．（不添加任何辅助线）

三、解答题

13.（2014秋?射阳县校级月考）如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，

2AC=CE?CF；（1）求证：的度数．（2）若∠B=38°，求∠CFD

在同一条直线上．，EAC，点B，A．如图，14AB=3AC，BD=3AE，又BD∥ CAE；1）求证：△ABD ∽△（的长．BD=a，求BC2）如果AC=BD，，设AD=2BD（

．交于点MBFCE=DFCD分别是边、DA上的点，且，AE与FEABCD15．已知：正方形中，、；ABF）求证：△≌△DAE1（．相似的所有三角形（不添加任何辅助线）ABM）找出图中与△2

（．

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】D；

【解析】由题意得，∠C=∠E，

A、若添加∠BAD=∠CAE，则可得∠BAC=∠DAE，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；

B、若添加∠B=∠D，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；

=，利用两边及其夹角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；C 、若添加，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；、若添加D=故选D．

2.【答案】A.

【解析】连结OC，

，∵∠C=90°，AC=BC ∴∠B=45°，的中点，O为AB∵点∠BCO=45°，OC=OB，∠ACO=∴∠

BOF=90°，∠COF+∵∠EOC+∠COF= ，∠BOF∴∠EOC= BOF中，在△COE和△

），BOF（ASA∴△COE≌△，∴OE=OF 是等腰直角三角形，∴△OEF ∠B=45°，∠A=∴∠OEF=∠OFE= CAB．∴△OEF∽△△．故选A

；【答案】C3. 3对．理由如下：【解析】图中相似三角形共有是正方形，∵四边形ABCD ，AD=DC=CB ∠C=90°，D=∴∠．FC=BC，∵DE=CE，∴DE：CF=AD：EC=2：1，

∴△ADE∽△ECF，

CEF∠，：EC，∠DAE=∴AE：EF=AD DE，AE：EF=AD：∴ EF，AD：AE=DE：即 DAE+∠AED=90°，∵∠ CEF+∠AED=90°，∴∠∴∠AEF=90°， AEF，∴∠D=∠ AEF，∴△ADE∽△ ECF，∽△ADE ∽△∴△AEF ECF．，△AEF∽△∽△ECF，△ADE∽△AEF即△ADE ．C故选D.

【答案】4. 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；【解析】A、当∠ABP=∠C 时，

又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB=∠ABC、当时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C= 、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．D ．故选：

D ；5.【答案】B =2【解析】根据勾股定理，，AB= BC=，=

，AC==的三边之比为2所以△ABC：=1：2 ：：，

，三角形的三边分别为，2A==3，三边之比为2、：： 3，故本选项错误；：3：=，4B，、三角形的三边分别为2，三边之比为2：4：2=1：2，：=2 故本选项正确；，故本32：：C、三角形的三边分别为2，3，=，三边

之比为选项错误；：=三边之比为4=，，D、三角形的三边分别为：，，故本选项错误．4 C；6.【答案】，）4（）3（，）4（）2（，）2（）1（∽△A′B′C′的有：ABC【解析】能判断△．

∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．

故选C．

二、填空题

7.【答案】（1）、（2）、（3）.

【解析】∵∠PAC=∠CAB，

∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△APC，所以（1）正确；

当∠APC=∠ACB时，△ACP∽△APC，所以（2）正确；

24）错误．3）正确，当（=，即AC=AP?AB时，△ACP∽△APC，所以（故答案为：（1），（2）（3）．

或；∠1 【答案】∠C=∠2或∠B=8． 9．【答案】一定相似；【解析】根据图示知： AC=；

AB=2，BC=1， DF=5，DE=2，，EF= ===∴，=∴△ABC∽△DEF．故答案是：一定相似．

10．【答案】∠AOB=∠DOC;

=，∠AOB=∠DOC，【解析】∵∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．故答案为：∠AOB=∠DOC．

11．【答案】①②;

【解析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形，

∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，

∴∠DAC=∠BAC+60°，

∠BAE=∠BAC+60°，

∴∠DAC=∠BAE，

∴△DAC≌△BAE，

∴BE=DC．

∴∠ADC=∠ABE，

∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°，

∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO

=180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°+∠ABE）=60°，

∵△DAC≌△BAE，

∴∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，

∵∠DBO=∠ABD+∠ABE=60°+∠ABE，∠OCE=∠ACE+∠ACO=60°+∠ACD，

∵∠ABE≠∠ACD，

∴∠DBO≠∠OCE，

∴两个三角形的最大角不相等，

∴△BOD不相似于△COE；

故答案为：①②．

12．【答案】3

【解析】在△ABC与△DBA中，

∵∠ABD=∠ABD，∠BAD=∠C，

∴△ABC∽△DBA，

中，与△CBE 在△ABF ABC 平分∠，∵BF CBE ，∴∠ABF=∠ BCE ，又∠BAF=∠ CBE ．∴△ABF ∽△ DBF ，同理可证得：△ABE ∽△ 3对相似三角形．所以图形中共有 ．3故答案为： 三、解答题 ）∵AD ⊥BC ，【解析】解：（113. ∴∠CFA=90°， ∵∠BAC=90°，

∴∠CFA=∠BAC ， ∵∠ACF=∠FCA ， ∴△CAF ∽△CEA ，

=∴，2

=CE?CF ；∴CA ）∵∠CAB=∠CDA ，∠ACD=∠BCA ，2（ ∴△CAD ∽△CBA ， ∴，=2 ∴CA=CB ×CD ，2 同理可得：

CA=CF ×CE ， ∴CD?BC=CF?CE ，

=，∴ ∵∠DCF=∠ECB ， ∴△CDF ∽△CEB ， ∴∠CFD=

∠B ， ∵∠B=38°， ∴∠CFD=38°．

【解析】14. ，AE 在同一条直线上，，，点∥）证明：∵（1BDACB DBA=∴∠∠CAE ，

==3，又∵

∴△ABD ∽△CAE ； （2）连接BC ， AD=2BD ，AB=3AC=3BD ， ∵222222

∴AD+BD=8BD+BD=9BD=AB ，

∴∠D=90°，

由（1）得△ABD ∽△CAE ∴∠E=∠D=90°，

AD=BD ，，AB=3BDEC=， ∵AE=BD 222

∴在Rt △BCE 中，BC=（AB+AE ）+EC

2222

，）+BD （=12aBD ）==（BD3BD+ aBC=2∴．

15.【解析】

（1）证明：∵ABCD 是正方形， ∴AB=AD=CD ，∠BAD=∠ADC=90°． ∵CE=DF ，

∴AD ﹣DF=CD ﹣CE ．

∴AF=DE ．

中，DAE 在△ABF与△∴△ABF≌△DAE（SAS）．

（2）解：与△ABM相似的三角形有：△FAM；△FBA；△EAD，∵△ABF≌△DAE，

∴∠FBA=∠EAD．

∵∠FBA+∠AFM=90°，∠EAF+∠BAM=90°，

∴∠BAM=∠AFM．

∴△ABM∽△FAM．

同理：△ABM∽△FBA；△ABM∽△EAD．