2012华约自主招生考试数学试题
2012年华约自主招生考试数学试题
一、选择题
1. 在锐角三角形ABC 中，已知A B C >>，则cos B 取值范围是（ ）
A
、? ??
B
、12? ??
C 、()0,1 D
、?????
2. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同色的棋子中，均为红棋在前，
蓝棋在后，满足这种条件的不同排列方式共有（ ）
A 、36
B 、60
C 、90
D 、120
3. 正四棱锥S -ABCD 中，侧棱底面所成的角为α，侧面与底面所成的二面角为β，侧棱SB 与底面正方
形ABCD 对角线所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ，则四个角大小顺序为（ ）
A 、α<β<θ<γ
B 、α<β<γ<θ
C 、α<γ<β<θ
D 、β<α<γ<θ
4. 向量e α≠，1e =，若对t R ?∈，te e αα-≥+，则（ ）
A 、e α⊥
B 、()e αα⊥+
C 、()e e α⊥+
D 、()()e e αα+⊥-
5. 若C ω∈，11ωω-+的实数部为0，求复数11ω
+在复平面内对应的点的轨迹（ ） A 、一条直线 B 、一条线段 C 、一个圆 D 、一段圆弧
6. 椭圆长轴长是4，左顶点在圆22(4)(1)4x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆的离心率的范围是（ ）
A 、11,84??????
B 、11,42??????
C 、11,82??????
D 、13,24??????
7. 已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 是正三角形，点A 在侧面SBC 的射影H 是SBC 的垂心，二面角H -AB -C
为30度，且SA =2，则此三棱锥体积为（ ）
A 、12 B
C
D 、34
8. 已知锐角ABC ?，BE AC ⊥于E ，CD AB ⊥于D ，25BC =，7CE =，15BD =，BE
CD H =，连接DE ，以DE 为直径画圆，该圆与AC 交于另一点F ，AF 的长度为（ ）
A 、8
B 、9
C 、10
D 、11
9. 数列{}n a 的通项公式是22lg 13n a n n ??=+ ?+??
，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=（ ） A 、0
B 、lg 32
C 、lg2
D 、lg3
10. 已知610i x -≤≤（1,2,
,10i =），10150i i x ==∑，当10
21i i x =∑取得最大值时，在i x 这10个数中等于6-的共
有（ ）个
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
二、解答题 11. 三角形ABC 中，2
2sin 1cos22
A B C +=+， （1）求角C 大小； （2）22222c b a =-，求cos2cos2A B -的值．
12. 点P 在y 轴上的投影为H ，若()2,0A -，()2,0B ，2
2AP BP PH ?=．
（1）求点P 的轨迹；
（2）过B 的直线在x 轴下方交P 点轨迹于M 、N 两点，MN 的中点为R ，求过R 与()0,2Q -的直线斜率的取值范围．
13. 系统内每个元件正常工作的概率为p ，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作．
（1）某系统配置21k -有个元件，k 为整数，求系统正常工作的概率k P ，并讨论k P 的单调性；
（2）现为改善（1）中性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统可靠性． 14. 已知2
()12!!n n x x f x x n =++++（n N *∈），求证：当n 为偶数时，()0n f x =无解；当n 为奇数时，()0n f x =有唯一解且2n n x x +<．
15. 乒乓球队有n 个队员，在一次双打集训中，任意两名队员作为队友，恰好只搭档过一次双打比赛，求n
的所有可能值并每个给一种比赛方案．