历年高考数学真题精选08 分段函数

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题八 分段函数（学生版）

一．选择题（共19小题）

1．（2010?天津）设函数2()2g x x =-，()4,()

()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++

，则()f x 的值域是(

) A ．9

[,0]

(1,)4

-+∞ B ．[0，)+∞

C ．9[,0]4

-

D ．9[,0]

(2,)4

-+∞

2．（2010?陕西）已知函数232,1

(),1x x f x x ax x +

若((0))4f f a =，则实数a 等于( )

A ．

1

2

B ．

45

C ．2

D ．9

3．（2008?天津）已知函数1,0

()1,0x x f x x x -+

，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是(

)

A ．{

}

|121x x -- B ．{|1}x x

C ．{

}

|21

x x -

D ．{}

|121x x

-

4．（2006?北京）已知(31)4,1

()log ,1a

a x a x f x x x -+?=?>?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围

是( ) A ．(0,1)

B ．1(0,)3

C ．11[,)73

D ．1[,1)7

5．（2006?山东）设12

3

2,2

()log (1),2x e x f x x x -?的解集为( ) A ．(1，2)(3?，)

+∞ B ．，)+∞

C ．(1，2)?)+∞

D ．(1,2)

6．（2005?山东）函数21sin(),10

(),0x x x f x e x π-?-<<=??

若f （1）f +（a ）2=，则a 的所有可能

值为()

A．1B

．C．1

，D．1

7．（2018?新课标Ⅰ）设函数

2,0

()

1,0

x x

f x

x

-

?

=?

>

?

，则满足(1)(2)

f x f x

+<的x的取值范围是(

)

A．(-∞，1]

-B．(0,)

+∞C．(1,0)

-D．(,0)

-∞

8．（2018?新课标Ⅰ）已知函数

,0

()

,0

x

e x

f x

lnx x

?

=?

>

?

，()()

g x f x x a

=++．若()

g x存在2个零

点，则a的取值范围是()

A．[1-，0)B．[0，)

+∞C．[1-，)

+∞D．[1，)

+∞

9．（2019?天津）

已知函数

1,

()1

,1

x

f x

x

x

?

?

=?

>

?

?

若关于x的方程

1

()()

4

f x x a a R

=-+∈恰有两

个互异的实数解，则a的取值范围为()

A．

5

[

4

，

9

]

4

B．

5

(

4

，

9

]

4

C．

5

(

4

，

9

]{1}

4

D．

5

[

4

，

9

]{1}

4

10．（2010?全国新课标）已知函数

||,010

()1

6,10

2

lgx x

f x

x x

<

?

?

=?

-+>

??

，若a，b，c互不相等，且f（a）

f

=（b）f

=（c），则abc的取值范围是()

A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)

11．（2017?天津）已知函数

23,1

()2

,1

x x x

f x

x x

x

?-+

?

=?

+>

?

?

，设a R

∈，若关于x的不等式()||

2

x

f x a

+

在R上恒成立，则a的取值范围是()

A．

47

[

16

-，2]B．

47

[

16

-，

39

]

16

C．[-

2]D．[-

39

]

16

12

．（2017?山东）设

1

()

2(1),1

x

f x

x x

<<

=

-

??

若f（a）(1)

f a

=+，则

1

()(

f

a

=)

A．2B．4C．6D．8

13．（2016?天津）已知函数

2(43)3,0

()(0,1)

(1)1,0

a

x a x a x

f x a a

log x x

?+-+<

?

=>≠

?

++

??

在R上单调递减，且

关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0，2

]3

B ．2[3，3]4

C ．1[3，23

]{}34

D ．1[3，23

){}34

14．（2014?上海）设2(),0

()1

,0x a x f x x a x x ?-?

=?++>?

?

，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( )

A ．[1-，2]

B ．[1-，0]

C ．[1，2]

D ．[0，2]

15．（2014?辽宁）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1cos ,[0,]2

()121,(,)

2

x x f x x x π?

∈??=??-∈+∞??，则不等式

1

(1)

2

f x -的解集为( ) A ．1[4，24][33，7

]4

B ．3[4-，11][34-，2]3

C ．1[3，34][43，7

]4

D ．3[4-，11][33-，3]4

16．（2014?重庆）已知函数1

3,(1,0]()1,

(0,1]x f x x x x ?-∈-?

=+??∈?，且()()g x f x mx m =--在(1-，1]内

有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．9(4-，2](0-?，1

]2

B ．11(4-，2](0-?，1

]2

C ．9(4-，2](0-?，2

]3

D ．11(4-

，2](0-?，2]3

17．（2009?山东）定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0

()(1)(2),0x x f x f x f x x -?=?--->?

，则(2017)

f 的值为( ) A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

18．（2009?海南）用{min a ，b ，}c 表示a ，b ，

c 三个数中的最小值，设(){2x f x min =，2x +，10}(0)x x -，则()f x 的最大值为( )

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

19．（2003?全国）设函数12210

()0x x f x x

x -?-?

=??>?若0()1f x >，则0x 的取值范围是( )

A ．(1,1)-

B ．(1,)-+∞

C ．(-∞，2)(0-?，)+∞

D ．(-∞，1)(1-?，)+∞

二．填空题（共5小题）

20．（2018?天津）已知0a >，函数222,0

()22,0x ax a x f x x ax a x ?++=?-+->?

．若关于x 的方程()f x ax

=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 ．

21．（2016?江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1)上，

,10

()2

||,015

x a x f x x x +-

=?-

(),1

x e x f x x x -?

=???，则使得()2f x 成立的x 的取值范围是 ．

23．（2014?安徽）若函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为

(1),01()sin ,12x x x f x x x π-?=?

()()46f f += ．

24．（2016?北京）设函数33,()2,x x x a

f x x x a

?-=?->?．

①若0a =，则()f x 的最大值为 ；

②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题八 分段函数（教师版）

一．选择题（共19小题）

1．（2010?天津）设函数2()2g x x =-，()4,()

()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++

，则()f x 的值域是(

) A ．9

[,0]

(1,)4

-+∞ B ．[0，)+∞

C ．9[,0]4

-

D ．9[,0]

(2,)4

-+∞

【答案】D

【解析】()x g x <，即 22x x <-，即 1x <- 或 2x >． ()x g x ，即12x -． 由题意 222

22()2(,1)

(2,)

()2()2,[1,2]

x x x g x x x x f x x x x g x x x x ??++<++∈-∞-+∞==??----∈-??

2217(),(,1)(2,)

2419(),[1,2]24

x x x x ?

++∈-∞-+∞??=?

?--∈-??，

所以当(x ∈-∞，1)(2-?，)+∞时，由二次函数的性质可得()(2f x ∈，)+∞； [1x ∈-，2]时，由二次函数的性质可得9

()[4

f x ∈-，0]，

2．（2010?陕西）已知函数232,1

(),1x x f x x ax x +

若((0))4f f a =，则实数a 等于( )

A ．

1

2

B ．

45

C ．2

D ．9

【答案】C

【解析】由题知(0)2f =，f （2）42a =+，由424a a +=，解得2a =．

3．（2008?天津）已知函数1,0

()1,0x x f x x x -+

，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是(

)

A ．{

}

|121x x -- B ．{|1}x x

C ．{

}

|21

x x -

D ．{}

|121x x

-

【解析】依题意得()()()1010

1111x x x x x x x x +<+????++-++??

或

所以1

11121212121

x x x x x x R x -?<-???<---?-??

∈---???或或

故选：C ．

4．（2006?北京）已知(31)4,1()log ,1a

a x a x f x x x -+?=?>?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围

是( ) A ．(0,1) B ．1

(0,)3

C ．11[,)73

D ．1[,1)7

【答案】C

【解析】依题意，有01a <<且310a -<，解得1

03

a <<

， 又当1x <时，(31)471a x a a -+>-，当1x >时，log 0a x <， 因为()f x 在R 上单调递减，所以710a -解得1

7

a 综上：

1173

a < 5．（2006?山东）设12

3

2,2()log (1),2x e

x f x x x -?

=?-??则不等式

()2f x >的解集为( ) A ．(1，2)(3?，)+∞ B ．，)+∞ C ．(1，2)?)+∞ D ．(1,2)

【答案】C

【解析】令122(2)x e x -><，解得12x <<． 令23log (1)2(2)x x ->，解得x 为)+∞

6．（2005?山东）函数21sin(),10

(),0x x x f

x e x π-?-<<=??

若f

（1）f +（a ）2=，则a 的所有可能

值为( ) A ．1

B ．

C ．1，

D ．1

【解析】由题意知，当10x -<<时，2()sin()f x x π=； 当0x 时，1()x f x e -=；f ∴（1）111e -==． 若f （1）f +（a ）2=，则f （a ）1=；

当0a 时，11a e -=，1a ∴=；当10a -<<时，2sin()1x π=，

∴21

2

x =

，x =（不满足条件，舍去），或x =．

所以a 的所有可能值为：1，2

． 7．（2018?新课标Ⅰ）设函数2,0

()1,0

x x f x x -?=?>?，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是(

)

A ．(-∞，1]-

B ．(0,)+∞

C ．(1,0)-

D ．(,0)-∞

【答案】D

【解析】函数2,0

()1,0x x f x x -?=?>?

，的图象如图：

满足(1)(2)f x f x +<，可得：201x x <<+或210x x <+，解得(,0)x ∈-∞．故选：D ．

8．（2018?新课标Ⅰ）已知函数,0

(),0x e x f x lnx x ?=?>?

，()()g x f x x a =++．若()g x 存在2个零

点，则a 的取值范围是( ) A ．[1-，0) B ．[0，)+∞ C ．[1-，)+∞ D ．[1，)+∞

【答案】C

【解析】由()0g x =得()f x x a =--，作出函数()f x 和y x a =--的图象如图： 当直线y x a =--的截距1a -，即1a -时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数()g x 存在2个零点，故实数a 的取值范围是[1-，)+∞，故选：C ．

9．（2019?天津）

已知函数1,

()1,1

x f x x x

??

=?>??若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两

个互异的实数解，则a 的取值范围为( ) A ．5[4，9]4

B ．5(4，9

]4

C ．5(4，9

]{1}4

D ．5[4

，9

]{1}4

【答案】D

【解析】

作出函数1,

()1,1

x f x x x ??

=?>??的图象，以及直线14y x =-的图象，

关于x 的方程1

()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，

即为()y f x =和1

4y x a =-+的图象有两个交点，

平移直线1

4

y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，

有两个交点，可得94a =或54

a =， 考虑直线与1y x =

在1x >相切，可得21

14

ax x -=， 由△210a =-=，解得1(1a =-舍去）， 综上可得a 的范围是5[4

，9

]{1}4．

故选：D ．

10．（2010?全国新课标）已知函数||,010()16,102

lgx x f x x x

=?-+>??，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）

f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围是( ) A ．(1,10) B ．(5,6) C ．(10,12) D ．(20,24)

【答案】C

【解析】作出函数()f x 的图象如图，不妨设a b c <<，则1

6(0,1)2

lga lgb c -==-+∈

1ab =，1

0612c <-+<，

则(10,12)abc c =∈．故选：C ．

11．（2017?天津）已知函数23,1

()2

,1

x x x f x x x x ?-+?

=?+>??

，设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a +在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．47

[16

-

，2] B ．47[16-

，39]

16

C ．[-

2] D ．[-39]16

【答案】A

【解析】当1x 时，关于x 的不等式()||2

x

f x a +在R 上恒成立， 即为22332x x x a x x -+-+-+，即有2213

3322

x x a x x -+--+， 由2132y x x =-+

-的对称轴为114

x

=<，可得14x =处取得最大值4716

-；

由2332y x x =-+的对称轴为314x =<，可得34x =处取得最小值39

16

，

则4739

1616

a

-

① 当1x >时，关于x 的不等式()|

|2

x

f x a +在R 上恒成立， 即为22()2x x a x x x -+++，即有322

()22x x a x x

-++，

由3232

()2232

2x y x x =-+-=

-1)x =

>取得最大值- 由12122222y x x x

x

=

+=（当且仅当21)x =>取得最小值2． 则2a

-② 由①②可得，47

216

a -

． 12．（2017?山东）设1()2(1),1

x f x x x <<=-??若f （a ）(1)f a =+，则1

()(f a = )

A ．2 B

．4 C ．6 D ．8

【答案】C

【解析】当(0,1)a ∈时，1()2(1),1x f x x x <

<=-??

，若f （a ）(1)f a =+2a =，

解得14a =

，则：1

()f f a

=

（4）2(41)6=-=． 当[1a ∈，)+∞时．1

()2(1),1x f x x x <<=-??

，若f （a ）(1)f a =+，

可得2(1)2a a -=，显然无解．

13．（2016?天津）已知函数2

(43)3,0

()(0,1)(1)1,0a

x a x a x f x a a log x x ?+-+≠?

++??在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0，2

]3

B ．2[3，3]4

C ．1[3，23

]{}34

D ．1[3，23

){}34

【答案】C

【解析】log (1)1y a x =++在[0，)+∞递减，则01a <<， 函数()f x 在R 上单调递减，则：

23402

01

0(43)03(01)1

a

a

a a a log -???<

?

；解得，13

34a ； 由图象可知，在[0，)+∞上，|()|2f x x =-有且仅有一个解， 故在(,0)-∞上，|()|2f x x =-同样有且仅有一个解， 当32a >即2

3

a >

时，联立2|(43)3|2x a x a x +-+=-， 则△2(42)4(32)0a a =---=，解得3

4

a =

或1（舍去）， 当132a 时，由图象可知，符合条件，

综上：a 的取值范围为1[3，23

]{}34

，故选：C ．

14．（2014?上海）设2(),0

()1

,0

x a x f x x a x x ?-?

=?++>??

，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( )

A ．[1-，2]

B ．[1-，0]

C ．[1，2]

D ．[0，2]

【答案】D

【解析】当0a <时，显然(0)f 不是()f x 的最小值， 当0a 时，2(0)f a =，由题意得：21

a x a x

+

+， 解不等式：220a a --，得12a -，02a ∴，

15．（2014?辽宁）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1cos ,[0,]2

()121,(,)

2

x x f x x x π?

∈??=

??-∈+∞??，则不等式

1

(1)

2

f x -的解集为( ) A ．1[4，24][33，7

]4

B ．3[4-，11][34-，2]3

C ．1[3，34][43，7

]4

D ．3[4-，11][33-，3]4

【答案】A

【解析】当[0x ∈，1]2

，由1()2f x =，即1cos 2x π=，则3x ππ=，即1

3x =，

当12x >

时，由1

()2

f x =，得1212x -=，解得34x =， 则当0x 时，不等式1()

2f x 的解为13

34x ，（如图）则由()f x 为偶函数， ∴当0x <时，不等式1()

2f x 的解为3143

x --， 即不等式1()2f x 的解为1334x 或31

43

x --， 则由

13134x -或31143x ---，解得4734x 或1243

x

， 即不等式1(1)

2f x -的解集为12{|43x x 或47

}34

x ，故选：A ．

16．（2014?重庆）已知函数1

3,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ?-∈-?

=+??∈?，且()()g x f x mx m =--在(1-，1]内

有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．9(4-，2](0-?，1

]2

B ．11(4-，2](0-?，1

]2

C ．9(4-，2](0-?，2

]3

D ．11(4-

，2](0-?，2]3

【答案】A

【解析】由()()0g x f x mx m =--=，即()(1)f x m x =+， 分别作出函数()f x 和()(1)y h

x m x ==+的图象如图：

由图象可知f （1）1=，()h x 表示过定点(1,0)A -的直线， 当()h x 过(1,1)时，1

2

m =此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是102

m

<， 当()h x 过(0,2)-时，(0)2h =-，解得2m =-，此时两个函数有两个交点， 当()h x 与()f x 相切时，两个函数只有一个交点，此时1

3(1)1

m x x -=++， 即2(1)3(1)10m x x +++-=， 当0m =时，2

3

x =-，只有1解，

当0m ≠，由△940m =+=得9

4

m =-，此时直线和()f x 相切，

∴要使函数有两个零点，则9

24

m -

<-或102m <，故选：A ．

17．（2009?山东）定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0

()(1)(2),0x x f x f x f x x -?=?--->?

，则(2017)

f 的值为( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．2

【答案】A

【解析】定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0

()(1)(2),0x x f x f x f x x -?=?--->?

，

(1)1f ∴-=，(0)0f =，f （1）(0)(1)1f f =--=-，f （2）f =（1）(0)1f -=-， f （3）f =（2）f -（1）0=，f （4）f =（3）f -（2）1=， f （5）f =（4）f -（3）1=，f （6）f =（5）f -（4）0=，

f （7）f =（6）f -（5）1=-，

故当x N ∈时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，故(2017)f f =（1）1=-，

18．（2009?海南）用{min a ，b ，}c 表示a ，b ，

c 三个数中的最小值，设(){2x f x min =，2x +，10}(0)x x -，则()f x 的最大值为( )

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

【答案】B

【解析】画出2x y =，2y x =+，10y x =-的图象，观察图象可知，当02x 时，()2x f x =， 当24x 时，()2f x x =+，当4x >时，()10f x x =-，()f x 的最大值在4x =时取得为6， 故选：B ．

19．（2003?全国）设函数12210

()0x x f x x

x -?-?

=??>?若0()1f x >，则0x 的取值范围是( )

A ．(1,1)-

B ．(1,)-+∞

C ．(-∞，2)(0-?，)+∞

D ．(-∞，1)(1-?，)+∞

【答案】D

【解析】当00x 时，0211x -->，则01x <-，

当00x >时，1

2

01x >则01x >，故0x 的取值范围是(-∞，1)(1-?，)+∞，故选：D ． 二．填空题（共5小题）

20．（2018?天津）已知0a >，函数222,0

()22,0x ax a x f x x ax a x ?++=?-+->?

．若关于x 的方程()f x ax

=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 ． 【答案】(4,8)

【解析】当0x 时，由()f x ax =得22x ax a ax ++=，得20x ax a ++=，

得2

(1)a x x +=-，得2

1

x a x =-+，

设2()1

x g x x =-+，则22222(1)2()(1)(1)x x x x x

g x x x +-+'=-=-

++， 由()0g x '>得21x -<<-或10x -<<，此时递增，

由()0g x '<得2x <-，此时递减，即当2x =-时，()g x 取得极小值为(2)4g -=， 当0x >时，由()f x ax =得222x ax a ax -+-=，得220x ax a -+=，

得2

(2)a x x -=，当2x =时，方程不成立，当2x ≠时，2

2

x a x =-

设2()2

x h x x =-，则22222(2)4()(2)(2)x x x x x

h x x x ---'==

--，由()0h x '>得4x >，此时递增， 由()0h x '<得02x <<或24x <<，此时递减，即当4x =时，()h x 取得极小值为h （4）8=， 要使()f x ax =恰有2个互异的实数解，则由图象知48a <<， 故答案为：(4,8)

21．（2016?江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1)上，

,10

()2

||,015

x a x f x x x +-

=?-

【答案】2

5

-

【解析】()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1)上，,10()2

||,015x a x f x x x +-

=?-

()()||225210

f f ==-=，35a ∴=，

(5)f a f ∴=（3）32(1)155f =-=-+

=-，故答案为：2

5

- 22．（2014?新课标Ⅰ）设函数113,1(),1

x e x f x x x -?

=???，则使得()2f x 成立的x 的取值范围是 ．

【答案】8x 【解析】1x <时，1

2x e

-，21x ln ∴+，1x ∴<；1x 时，1

3

2x

，8x ∴，

18x ∴，

综上，使得()2f x 成立的x 的取值范围是8x ．故答案为：8x ．

23．（2014?安徽）若函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为

(1),01()sin ,12

x x x f x x x π-?=?

()()46f f += ．

【答案】

5

16

【解析】

函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01

()sin ,12x x x f x x x π-?=?

，

则2941(

)()46f f +37(8)(8)46f f =-+-37()()46f f =-+-37

()()46

f f =-- 337(1)sin 446π=---31516216=-+=．故答案为：516．

24．（2016?北京）设函数33,()2,x x x a f x x x a

?-=?->?．

①若0a =，则()f x 的最大值为 ；

②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】2，(,1)-∞-

【解析】①若0a =，则33,0()2,0x x x f x x x ?-=?->?，则233,0

()2,0x x f x x ?-'=?->?

，

当1x <-时，()0f x '>，此时函数为增函数，当1x >-时，()0f x '<，此时函数为减函数， 故当1x =-时，()f x 的最大值为2；

②233,()2,x x a f x x a ?-'=?->?

，令()0f x '=，则1x =±，

若()f x 无最大值，则3

123a a a a -??->-?，或31

2322

a a a a a >-??

->-??->?

，解得：(,1)a ∈-∞-．