实数培优讲义
实数培优讲义
考点·方法·破译
1．平方根与立方根：
若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±a，其中a的平方根为x＝a叫做a的算术平方根．
若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝3a．
2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对
应．任何有理数都可以表示为分数p
q
（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．
3非负数：
实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2n
a≥0（n为正整数），a≥0(a≥0) ．
经典·考题·赏析
【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．
【变式题组】
01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．
02．已知m是小于152
的最大整数，则m的平方根是____．
03．9的立方根是____．
04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．
输入x
取算术平方根输出y
是无理数
是有理数
【例2】已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于
( )
A ．－1
B ． 0
C ．1
D ．2
【变式题组】
0l 3b +＝0成立，则a b ＝____．
02()2
30b -=，则
a
b
的平方根是____．
03．若x 、y 为实数，且20x ++=，则2009
x y ??
?
??
的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
04．已知x 1
x π
-的值是( )
A ．1
1π
-
B ．1
1π
+
C ．
1
1π
- D ．无法确定
【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．
【变式题组】
01．已知m 、n ＋2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．
02．设x 、y 都是有理数，且满足方程（123
π
+）x ＋（132π+）y ?4?π＝0，则x ?y ＝____．
【例4】若a ?2的整数部分，b ?1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．
【变式题组】
01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____．
02a ，小数部分为b a ）·b ＝____．
演练巩固 反馈提高
0l ．下列说法正确的是( )
A ．－2是(－2)2的算术平方根
B ．3是－9的算术平方根
C ． 16的平方根是±4
D ．27的立方根是±3 02．设3a =-，b ＝ －2，5
c =-
，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a
A ．－9与81的平方根
B ．4与
3
64- C ．4与364 D ．3与9
04．在实数1.414，2-，0.1?5?
，5?16，π，3.1?4?
，8
3125
中无理数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个 05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )
A ．b >a
B ．a b >
C ． －a ＜b
D ．－b >a
06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )
A ． 1个
B ．2个
C ． 3个
D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝
()
2
3．则m ，n 的关系是( )
A . m ＝±n
B .m ＝n
C .m ＝－n
D .m n ≠
08．如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点
C 所表示的数为( )
A ．－23-
B ．－13-
C ．－2 ＋3
D ．l ＋3
09．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点
A左边，则A、B之间的距离为____．
10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，
2
，
3
…，
19
，
20
．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．
11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝
a b
+
，如3※2＝
32
+＝5．那么12.※4＝____．
12．已知a、b为两个连续整数，且a<7 13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝ () () 2 2 a b a b ab a b ?? ? ?? ≥ < ，已知3*m＝36，则实数m ＝____． 14．设a是大于1的实数．若a， 2 3 a+ ， 21 3 a+ 在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三 点在数轴上从左自右的顺序是____． 15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴 正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____． 16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y． 17．已知2a?1的平方根是±3，3a＋b?1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程． 19．若b＝315 a-＋153a -＋2且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn?2）(3mn＋4)的平方根与立方根． 20．若x 、y 为实数，且（x ?y ＋1）2的值． 培优升级 奥赛检测 01．一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a ?3，则a 值为( ) A ． 2 B ．－1 C ． 1 D ． 0 02( ) A ．0 B ． 1 C ．1 D ． 2 03?2的最小值为____． 04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋，则a ＋b ＝____． 05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____． 06．已知实数a 满足2009a a -=，则a ? 20092＝_______． 07．若m 满足关系式 =，试 确定m 的值． 08．若a 、b 满足5b ＝7，S ＝3b ，求S 的取值范围．