高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人教B版选修44

高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人

教B 版选修44

学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点)

1．摆线 (1)定义

一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M 的轨迹称为摆线． (2)参数方程

?????

x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t )

(t 是参数)．

2．圆的渐开线 (1)定义

把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆．

(2)参数方程

?

??

??

x ＝a (cos t ＋t sin t )y ＝a (sin t －t cos t )(t 是参数)．

思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t 的几何意义是什么？

[提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a 是指基圆的半径，而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角

t .显然点M 由参数t 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐

标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．

同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．

1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线

B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形

C ．正方形也可以有渐开线

D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．

[答案] C

2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π

[解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为?

??

??

x ＝3t －3sin t

y ＝3－3cos t (t 为参数)，把y ＝0代

入可得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3t －3sin t ＝6k π(k ∈Z )．根据选项可知应选C.

[答案] C

3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 将a ＝4代入圆的渐开线方程即可．

[答案] ?

??

??

x ＝4(cos t ＋t sin t )

y ＝4(sin t －t cos t )

4．给出某渐开线的参数方程?

??

??

x ＝3cos t ＋3t sin t

y ＝3sin t －3t cos t (t 为参数)，根据参数方程可以看

出该渐开线的基圆半径是______，当参数t 取π

2

时，对应的曲线上的点的坐标是________．

[解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a ＝3，即基圆半径是3，然后把t ＝π

2代入，

可得?????

x ＝3π2，y ＝3.

[答案] (3π

2

，3)

求圆的摆线的参数方程

【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方

程以及对应的圆的渐开线的参数方程．

[思路探究] 根据圆的摆线的参数方程

?

??

??

x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t )(t 为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出a 的表达式，根据表达

式求出a 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．

[解] 令y ＝0，可得a (1－cos t )＝0，由于a >0， 即得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．

代入x ＝a (t －sin t )，得x ＝a (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2， 即得a ＝

1

k π

(k ∈Z )． 又由实际可知a >0，所以a ＝

1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π

. 代入即可得圆的摆线的参数方程为????

? x ＝1

π

(t －sin t )

y ＝1

π(1－cos t )

(t 为参数)；

圆的渐开线的参数方程为?????

x ＝1

π

(cos t ＋t sin t )y ＝1

π(sin t －t cos t )(t 为参数)．

求圆的渐开线的参数方程

渐开线的参数方程．

[思路探究] 直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可．

[解] 因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的

参数方程为?

??

??

x ＝11(cos t ＋t sin t )

y ＝11(sin t －t cos t ).

圆的渐开线的参数方程的应用

【例3】 当t ＝π4，π

2

时，求出渐开线

?

??

??

x ＝cos t ＋t sin t

y ＝sin t －t cos t 上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．

[思路探究] 把t ＝π4，π

2分别代入参数方程即可求出相应两点的坐标，从而进一步求出

两点间的距离．

[解] 把t ＝π4，π

2分别代入参数方程得?????

x ＝22(1＋π

4)y ＝22(1－π

4)和?????

x ＝π2，

y ＝1，

即A 、B 两点坐标分别为(

22(1＋π4)，22(1－π4))，(π

2

，1)， ∴|AB |＝ [

22(1＋π4)－π2]2＋[22(1－π4

)－1]2

＝14 (5－22)π2

－42π＋32－16 2.