圆锥曲线练习试题及详细答案

圆锥曲线归纳总结

——for Y uri

第22sin cos θθ+部分：知识储备

1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容

①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈

②点到直线的距离d =

③夹角公式：2121

tan 1k k k k α-=+

（3）弦长公式

直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：

12AB x =-=或12AB y =- （4）两条直线的位置关系

①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质

(1) 椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

标准方程：22

1(0,0)x y m n m n m n

+

=>>≠且

2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2) 双曲线的方程的形式有两种

标准方程：22

1(0)x y m n m n

+

=?<

距离式方程：2a = (3) 三种圆锥曲线的通径

椭圆：22b a ；双曲线：2

2b a

；抛物线：2p

(4) 圆锥曲线的定义

黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！ (5) 焦点三角形面积公式：

P 在椭圆上时，122tan 2F PF b θ?=S

P 在双曲线上时，122cot 2

F PF b θ

?=S

（其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠===?u u u

r u u u u r u u u r u u u u r g ）

(6) 记住焦半径公式：

①椭圆焦点在时为0a ex ±，焦点在y 轴上时为0a ey ± ②双曲线焦点在x 轴上时为0||e x a ± ③抛物线焦点在x 轴上时为0||2p x +

，焦点在y 轴上时0||2

p y + 33333333333333333333333333333333333华丽的分割线3333333333333333333333333333333333333333

第0sin xdx π

?部分：三道核心例题

例1．椭圆长轴端点为,A B ,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1AF FB ?=u u u r u u u r

，

1OF =u u u r

。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的上顶点为M ，直线交椭圆于,P Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。

l PQM ?

分析：第一问比较容易，第二问关键是垂心（小黄同学，你还记得三角形的“四心”吗？）的处理。由待定系数法建立方程求解。

解（1）建立坐标系，设椭圆方程为,由1OF =u u u r 得 又∵即 ，∴

易得1b =，故椭圆方程为 （2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，

设，∵，故， 于是设直线为 ，由得， ∵ 又

得 即

由韦达定理得

解得或（舍） 经检验符合条件。

例2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点

(2,1)M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l 交椭圆于A 、B 两

个不同点。

（1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；

（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。

分析：小黄同学，直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形这个怎么理解，怎么处理？关键是把它转化成021=+k k 。

22

221(0)x y a b a b

+=>>1c =1=?22

()()1a c a c a c +?-==-22a =2

212

x y +=l Q P ,F PQM ?1122(,),(,)P x y Q x y (0,1),(1,0)M F 1=PQ k l y x m =+22

22

y x m x y =+??

+=?22

34220x mx m ++-=12210(1)(1)MP FQ x x y y ?==-+-u u u r u u u r

(1,2)i i y x m i =+=1221(1)()(1)0x x x m x m -+++-=212122()(1)0x x x x m m m ++-+-=222242(1)033

m m m m m -?--+-=43m =-1m =43

m =-

解：（1）设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x

则?????==?????=+=28

11

4222

2

2b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m

又12OM K =

m x y l +=∴2

1

的方程为： 由0422128

2

1222

2

=-++∴???????

=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，

,22,0)42(4)2(22≠<<->--=?∴m m m m 且解得

（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可 设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且

则2

1

,21222111--=--=

x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 42,222121-=-++m x x m x x 而)

2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=

+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)

2)(2()

1(4))(2()2)(2()

2)(121

()2)(12

1(212212*********------+-=

----+++=

----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x

)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。

例3．已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.

分析：第一问抓住“重心”（小黄同学，你还记得三角形的“四心”吗？），利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为090可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程。

解：（1）设B(1x ,1y )，C(2x ,2y )，BC 中点为(00,y x )，焦点为F(2,0)，则有

116

20,116202

2

222121=+=+y x y x 两式作差有

016

)

)((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x ，整理得

04

500=+k

y x （其中k 为点弦BC 的斜率） (1) 又F(2,0)为三角形重心，所以由

23

2

1=+x x ，得30=x 由

03421=++y y 得20-=y ，代入（1）得56

=k ，从而得到 直线BC 的方程为02856=--y x

（2）由AB ⊥AC 得 016)(14212121=++-+y y y y x x （2） 设直线BC 方程为8054,22=++=y x b kx y 代入，得

080510)54(222=-+++b bkx x k

又由韦达定理有 2

215410k

kb x x +-=+，222154805k b x x +-=

与直线方程结合，易得 2

2

22122154804,548k

k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得 054163292

2=+--k b b ，解得)(4舍=b 或94

-

=b 直线过定点（0，)94-，设D （x,y ），则1494

-=-?+

x

y x y ，即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9

20

()916(222≠=-+y y x 。

77777777777777777777777777777777777777777777777777777优雅的分割线777777777777777777777777777777777777777777777777777

第0lim

1x j x x e π→-+部分：七种常见题型 1、中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为11(,)x y 、

22(,)x y ，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这

里也要注意斜率不存在的情况），消去参数。

例如：设()11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆1342

2=+y x 的弦AB 中点则有 13

42

12

1=+y x ，1342

22

2=+y x ；两式相减得(

)()03

42

2

2

1

2

2

21

=-+-y y

x x

?

()()

()()

3

4

21212121y y y y x x x x +--

=+-?AB k =b

a 43-

归纳：（1）椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为

00(,)M x y ，则有

02

20=+k b y a x 。 （2）双曲线)0,0(122

22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为

00(,)M x y ，则有

020

20=-k b

y a x 。 （3）抛物线22(0)y px p =>与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为00(,)M x y ，

则有022y k p =，即0y k p =。

典型例题 给定双曲线x y 2

2

2

1-=，过(2,1)A 的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

2、焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余

弦定理搭桥。

典型例题 设(,)P x y 为椭圆x a y b 222

21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，

∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率β

αβαsin sin )

sin(++=e ； （2）求|||PF PF 1323+的最值。

3、直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题 抛物线方程2(1)(0)y p x p =+>，直线x y t +=与x 轴的交点在抛物线的右边。

（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点

（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数()f t 的

表达式。

4、圆锥曲线的相关最值（范围）问题

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 处理思路

1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是求方程求x 、y 的范围；

2、数形结合，用化曲为直的转化思想；

3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；

4、借助均值不等式求最值。

典型例题 已知抛物线22(0)y px p =>)，过(,0)M a 且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A B 、，2AB p ≤。

（1） 求a 的取值范围；

（2） 若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。

（1）曲线的形状已知

这类问题一般可用待定系数法解决

典型例题

已知直线已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点(1,0)

A-和点(0,8)

B关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。

（2）曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，

动点M到圆C的切线长|MN|与|MQ|的比等于常

数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，并说明它是

什么曲线。

6、存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

典型例题已知椭圆C的方程x y

22

43

1

+=，试确定m的取值范围，使得对于直

线y x m

=+

4，椭圆C上有不同两点关于直线对称。

M N

Q

O

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k k y y x x

12

12

121

·

·

·

==-来处理或用向

量的坐标运算来处理。

典型例题已知直线l的斜率为k，且过点P(,)

-20，抛物线2

:4(1)

C y x

=+，直线l与抛物线C有两个不同的交点,A B。

（1）求k的取值范围；

（2）直线l的倾斜角θ为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。