四边形基础练习题汇编

四边形基础练习题

一．选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8㎝， AB ＝6㎝， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ）A 、2cm

B 、4cm

C 、6cm

D 、8cm

2.如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连结DE 并延长，交AB 的延长线于F 点，

AB BF =．添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条件中可

选择的是（ ）A 、AD BC = B 、CD BF = C 、A C ∠=∠ D 、F CDE ∠=∠ 3. 下列命题中正确的是(

) A 、矩形的对角线相互垂直 B 、菱形的对角线相等 C 、平行四边形是轴对称图形

D 、等腰梯形的对角线相等

5. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOB AB ∠==°，，则矩形的对角线AC 的长是（ ）A 、2

B 、4

C 、23

D 、43

6. 如图，要使

ABCD Y 成为矩形，需添加的条件是（ ）

A 、A

B B

C =

B 、A

C B

D ⊥ C 、90ABC ∠=°

D 、12∠=∠

7. 如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC=（ ）A 、35° B 、45° C 、50° D 、55°

D A

B

C

O

E F H

第9题图

1 2

B

C

D

A O

（第6题）

O D C

A B

第5题

E

B

A

F

C

D

A

B

C

D

（第1题图）

E

8如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，∠D=90o ，AD=DC=4，AB=1，F 为AD 的中点，则点F 到BC 的距离是（ ） A 、2 B 、4 C 、8 D 、1

9. 在矩形ABCD 中，13AB AD AF ==，，平分DAB ∠，过C 点作CE BD ⊥于E ，延长AF EC 、交于点H ，下列结论中：AF FH =①；BO BF =②；CA CH =③；④3BE ED =，正确的是（ ）A 、②③ B 、③④ C 、①②④ D 、②③④ 10. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路

程x 之间的函数图象大致是（ ）。

二．填空题（每题3分，共30分）

2.将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′=_____．

3. 如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1=∠ 度．

4. 若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为 ．

5. 如图，l ∥m ，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则∠α= 度.

6. 矩形内一点P 到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为 平方单位．

7. 如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是______________。

8. 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，（第5题）

1

（第3题）

A

B

C

O

x

y

3

1

13

O

x

y

3

1

1O

x

y

3

3

O

x

y

3

12

A B

C

D

E

A′

P

D

C

B

A

则菱形ABCD 的边长是U_____________U ．

9. 如图，已知EF 是梯形ABCD 的中位线，DEF △的面积为24cm ，则梯形ABCD 的面积为 cm 2．

10. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ． 三．解答题

1.（本题5分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， AB =2，BC =3，CD =1，E 是AD 中点． 求证：CE ⊥BE ．

2.如图：已知在ABC △中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作DE AB DF AC ⊥，⊥，垂足分别为E F ，. （1）求证：BED CFD △≌△；

（2）若90A ∠=°，求证：四边形DFAE 是正方形.

3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=o

，

2AD = 42BC =DC 的长．

A B

C

D

（第2题）

D

C

B

E A

F

A

C

B

D E

E F D

B

C A （第8题）

A D E

B

F

（第9题）

4.如图11所示，在Rt ABC △中，90ABC =?∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60?得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180?得到ABF △．连接AD ．

（1）求证：四边形AFCD 是菱形；

（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形

ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？

5.（本题5分） 如图，ABCD 为平行四边形，AD=a,BE ∥AC,DE 交AC 的延长线于F 点，交BE 于E 点. （1）求证：DF=FE;

（2）若AC=2CF,∠ADC=60 o , AC ⊥DC,求BE 的长; （3）在（2）的条件下，求四边形ABED 的面积.

6. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，

AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点E ，F 是

CD 的中点，DG 是梯形ABCD 的高． （1）求证:四边形AEFD 是平行四边形;

（2）设AE x =，四边形DEGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．

7.已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，E 、F 分别是AB 和BC 边上的点.

（1）如图①，以EF 为对称轴翻折梯形ABCD ，使点B 与点D 重合，且DF ⊥BC.若AD =4，BC=8，求梯形ABCD 的面积ABCD S 梯形的值；（2）如图②，连接EF 并延长与DC 的延长线交于点G ，如果FG=k·EF （k 为正数），试猜想BE 与CG 有何数量关系？写出你的结论并证明之.

A

D

F C

E G

B 图11

答案

一．1.A 2.D 3.A 4.D 5.B 6.C 7.D 8.A 9.B 10.D

二．1.8 2.60° 3.120 4.3 5. 25 6.64 7.14或16或26 8.4 9.17 10.16 三．

1. 证明: 过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．

∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， ∴ ∠D ＝∠A ＝∠CF A ＝90°． ∴四边形AFCD 是矩形． AD=CF , BF=AB -AF=1． 在Rt △BCF 中， CF 2=BC 2-BF 2=8， ∴ CF=22． ∴ AD=CF=22． ∵ E 是AD 中点，

∴ DE=AE=21

AD=2．

在Rt △ABE 和 Rt △DEC 中， EB 2=AE 2+AB 2=6， EC 2= DE 2+CD 2=3， EB 2+ EC 2=9=BC 2． ∴ ∠CEB ＝90° ∴ EB ⊥EC 、

2. （1）DE AB DF AC Q ⊥，⊥，

90BED CFD ∴∠=∠=°， AB AC =Q ， B C ∴∠=∠， D Q 是BC 的中点，

A

C

B

D

E F

BD CD ∴=， BED CFD ∴△≌△.

（2）Q DE AB DF AC ⊥，⊥，

90AED AFD ∴∠=∠=°，[来源:学|科|网Z|X|X|K] 90A ∠=Q °，[来源:学科网ZXXK]

∴四边形DFAE 为矩形.

BED CFD Q △≌△， DE DF ∴=，

∴四边形DFAE 为正方形．

3.

解：解法一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ，

DF BC ⊥于点F ．

∴AE DF ∥．

又AD BC ∥，[来源:学科网]

∴四边形AEFD 是矩形．[来源:学科网

ZXXK]

EF AD ∴==

AB AC ⊥Q ，45B ∠=o

，BC = AB AC ∴=．

1

2

AE EC BC ∴==

=

DF AE ∴==

CF EC EF =-=在Rt DFC △中，90DFC ∠=o ，

DC ∴===

解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，．

AB AC ⊥Q ，

90AED BAC ∴∠=∠=o ．

AD BC Q ∥，

A

D

E

A B

C

D

F

E 图1

18045DAE B BAC ∴∠=-∠-∠=o o ．

在Rt ABC △中，90BAC ∠=o ，45B ∠=o ，42BC =，

2

sin 454242AC BC ∴==?

=o g [来源:学科网ZXXK]

在Rt ADE △中，90AED ∠=o ，45DAE ∠=o ，2AD =，

1DE AE ∴==．

3CE AC AE ∴=-=．

在Rt DEC △中，90CED ∠=o ，

22221310DC DE CE ∴=+=+=．

4.

（1）证明：Rt DEC △是由Rt ABC △绕C 点旋转60?得到， ∴60AC DC ACB ACD ===?，∠∠ ∴ACD △是等边三角形， ∴AD DC AC ==[来源:https://www.360docs.net/doc/2e18585432.html,]

又∵Rt ABF △是由Rt ABC △沿AB 所在直线翻转180?得到 ∴90AC AF ABF ABC ===?，∠∠ ∴FBC ∠是平角 ∴点F 、B 、C 三点共线 ∴AFC △是等边三角形 ∴AF FC AC == ∴AD DC FC AF === ∴四边形AFCD 是菱形． （2）四边形ABCG 是矩形．

证明：由（1）可知：ACD △是等边三角形，DE AC ⊥于E ∴AE EC = ∵AG BC ∥

∴EAG ECB AGE EBC ==∠∠，∠∠ ∴AEG CEB △≌△

∴AG BC =

∴四边形ABCG 是平行四边形，而90ABC =?∠[来源:学。科。网] ∴四边形ABCG 是矩形．

5. (1)证明：延长DC 交BE 于点M ，∵BE ∥AC ，AB ∥DC,∴四边形ABMC 是平行四边形，

∴CM=AB=DC,C 为DM 的中点，BE ∥AC ，DF=FE;

（2）由（2）得CF 是△DME 的中位线，故ME=2CF,又∵AC=2CF ，四边形ABMC 是平行四边形，∴BE=2BM=2ME=2AC, 又∵AC ⊥DC, ∴在Rt △ADC 中利用勾股定理得AC=

a 2

3

, ∴=a 3.

(3)可将四边形ABED 的面积分为两部分，梯形ABMD 和三角形DME,在Rt △ADC 中利用勾股定理得DC=

2a ,由CF 是△DME 的中位线得CM=DC=2

a

,四边形ABMC 是平行四边形得AM=MC=

2

a

,BM=AC=a 2

3

,∴梯形ABMD 面积为：=??

??

?

??+21232a a a 2833a ;由AC ⊥DC 和BE ∥AC 可证得三角形DME 是直角三角形，其面积为：4

323212

a a a =??,

∴四边形ABED 的面积为2833a +8

35432

2a a = A

12

A 3

4B 1

B 2

C

C 1C 2C 3C 4

D D 1D 2

6. （1） 证明： ∵AB DC =，∴梯形ABCD 为等腰梯形．∵∠C =60°，∴120BAD ADC ∠=∠=o

，又∵AB AD =，

∴30ABD ADB ∠=∠=o

．∴30DBC ADB ∠=∠=o

．∴90BDC ∠=o

． 由已知AE BD ⊥，∴AE ∥DC 、 [来源:https://www.360docs.net/doc/2e18585432.html,]

又∵AE 为等腰三角形ABD 的高， ∴E 是BD 的中点， ∵F 是DC 的中点， ∴EF ∥BC 、 ∴EF ∥AD 、

∴四边形AEFD 是平行四边形．

（2）解：在Rt △AED 中， 30ADB ∠=o ，∵AE x =，∴2AD x =． 在Rt △DGC 中 ∠C =60°，并且2DC AD x ==，∴3DG x =．

由（1）知： 在平行四边形A EFD 中2EF AD x ==，又∵DG BC ⊥，∴DG EF ⊥， ∴四边形DEGF 的面积1

2

EF DG =g ， ∴ 21

2332

y x x x =

?=g (0)x >． 7. （1）解：由题意，有△BEF ≌△DEF.

∴BF=DF. 如图，过点A 作AG ⊥BG 于点G . 则四边形AGFD 是矩形。 ∴AG=DF,GF=AD=4. 在Rt △ABG 和Rt △DCF 种， ∵AB=DC,AG=DF,

∴Rt △ABG ≌Rt △DCF.(HL)

∴BG=CF. ∴BG=

1()2BC GF -=1

(84)2

-=2. ∴DF=BF=BG+GF=2+4=6.

∴S 梯形ABCD =

11

()(48)63622

AD BC DF +=?+?=g . (2)猜想：CG=k BE g (或1

BE CG k

=g ).

证明：如图，过点E 作EH ∥CG ,交BC 于点H. 则∠FEH=∠FGC. 又∠EFH=∠GFC, ∴△EFH ∽△GFC. ∴

,EF EH

GF GC

=

而FG=k g EF,即GF

k EF

=.

∴

1

EH

GC k

=即.

CG k EH

=g

∵EH∥CG, ∴∠EHB=∠DCB.

而ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠DCB.

∴∠B=∠EHB.∴BE=EH. ∴CG=k BE

g

8. 解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90o∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD

∴∠BAE＝∠DAG

∴△BAE≌△DAG

（2）∠FCN＝45o

理由是：作FH⊥MN于H

∵∠AEF＝∠ABE＝90o

∴∠BAE +∠AEB＝90o，∠FEH+∠AEB＝90o

∴∠FEH＝∠BAE

又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90o

∴△EFH≌△ABE

∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH

∵∠FHC＝90o，∴∠FCH＝45o

（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变理由是：作FH⊥MN于H

由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90o

结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG

又∵G在射线CD上

∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90o

∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE

∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，

∴A EH

AB E A＝A

FH

BE E A＝A

FH

CH E

M B E

A

C

D

F

图（2）

H

M B E

A

C N

D

F

G

图（1）

H

∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝A

FH

CH E A＝A

EH

AB E A＝A

b

a E A

∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝A b

a E