高一函数的单调性练习题
函数的单调性
一、选择题：
1在区间(0,+^ )上不是增函数的函数是( )
A . y=2x+ 1 B. y=3x2+ 1
2 2 d
C. y=
D. y=2x2+ x + 1
x
2.函数f(x)=4x2—mx+ 5在区间［—2, 上是增函数，在区间(—a, —2)上是减函数，
则f(1)等于
A . —7
B . 1
D . 25( )
C . 17
3.函数f(x)在区间(一2, 3)上是增函数，贝U y=f(x+ 5)的递增区间是( )
A . (3, 8)
B . (—7，—2)
C . (—2, 3)
D . (0, 5)
4.函数ax
f(x)=1
1在区间(一2,+^ )上单调递增，则实数a的取值范围是
( )
x2
1 1 、
A . (0,-)
B . ( -，+m)
22
C . (—2,+' oo )
D . ( — a, —1) U (1 , +a )
5.已知函数f(x)在区间［a, b］上单调，且f(a)f(b) v 0,则方程f(x)=0在区间［a, b］内( )
A .至少有一实根B.至多有一实根C .没有实根D.必有唯一的实根
6 .
已知函数f(x)=8 + 2x—x2,如果g(x)=f( 2 —x2)，那么函数g(x)( ) A .在区间(一1 , 0)上是减函数B.在区间(0, 1)上是减函数
C.在区间(一2, 0)上是增函数
D.在区间(0 , 2)上是增函数
7 . 已知函数f(x)是R上的增函数，A(0 , —1)、B(3 , 1)是其图象上的两
点，
那么不等式
|f(x + 1)|v 1的解集的补集是( ) A. (—1, 2) B . (1 , 4)
C . ( — a, —1) U [4 ,+o)
D . ( — a,—1) U [2 ,+o)
&已知定义域为R的函数f(x)在区间(一o,5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5 + t)= f(5—t),那么下列式子一定成立的是( )
A . f( —1) v f(9) v f(13) B. f(13) v f(9) v f(—1)
C. f(9) v f(—1) v f(13)
D. f(13) v f( —1) v f(9)
9.函数f(x) |x|和g(x) x(2 x)的递增区间依次是( )
A. ( ,0],( ,1] B . ( ,0],[1,)
C . [0, ),( ,1] D[0, ),[1,)
10?已知函数f X X22 a 1 x 2在区间，4上是减函数，贝U实数a的取值范围是( )
A ? a w 3
B ? a>—3 C. a< 5 D ? a> 3
11.已知f(x)在区间(一a, +s)上是增函数，a、b€ R且a+b W0,则下列不等式中正确的是( )
A . f(a) + f(b)w—f(a) + f(b): B. f(a) + f(b)w f(—a)+ f( —b)
C. f(a) + f(b)>—f(a) + f(b)］ D . f(a) + f(b)> f(—a) + f(—b)
12 .定义在R上的函数y=f(x)在(―汽2)上是增函数，且尸f(x+2)图象的对称轴是x=0,贝U ( )
A . f( —1) v f(3)
B . f (0)> f(3)
C . f (—1)=f (—3)
D . f(2) v f(3)
二、填空题：
13 . 函数y=(x—1)-2的减区间是_ _.
14 .函数y=x—2(1 x + 2 的值域为_______________________________ .
15、设y f x是R上的减函数，贝y y f x 3的单调递减区间为______________________________ .
16、函数f(x) = ax2+ 4(a+ 1)x—3在［2 , ］上递减，则a的取值范围是__________________ .
三、解答题：
x
17 . f(x)是定义在(0,+a )上的增函数，且f( ) = f(x)—f(y)
y
(1 )求f(1)的值.
1
(2 )若f(6)= 1，解不等式f( x+ 3 ) —f( — ) v 2 .
x
18 .函数f(x)= —x3+ 1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减
函数？试证明你的结论.
19 ?试讨论函数f(x)= / x2在区间［—1, 1］上的单调性.
20. 设函数f(x)= ?.x21 —ax, (a> 0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0,+^ )上为
单调函数.
21. 已知f(x)是定义在(一2，2)上的减函数，并且f(m —1) —f(1 —2m)>0，求实数m的取值范
围.
x 2x a
22.已知函数f(x)= , x€[ 1 ,+s]
x
1
(1)当a= 时，求函数f(x)的最小值；
2
(2)若对任意x€ [1,+^ ) , f(x) >0恒成立，试求实数a的取值范围.
参考答案、选择题：CDBBD ADCCA BA
、填空题：13. (1,+^ ), 14. (— a, 3), 15. 3,
三、解答题：
17.解析：①在等式中 令x y 0,则
f(1)=0.
②在等式中令 x=36, y=6 则 f (36) f (36) f(6), f(36) 2f(6) 2. 6
故原不等式为：
f (x 3) f (^) f (36),即 f[x(x + 3)] v f(36),
X
又f(x)在(0,+a )上为增函数,
故不等式等价于:
0 x(x 3)
36
f(X 2)= — X 23 + 1 .
x 3 f(X 1) — f(X 2)=X 23— X 13=(X 2 — X 1)(X 12+ X 1X 2 + X 22)=(X 2 — X 1)[ (X 1 + - )2+ X 22]. 2
4
20.解析：任取 X 1、X 2 € 0, + 且 X 1 v X 2，则
153 3
2
18.解析：f(x)在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下:
设 X 1、X 2€ ( —m,+m ) , X 1 V X 2，贝f(X 1)= — X 13 + 1 ,
? X 1 v X 2,?.X 2 — X 1> 0 而(X 1 + ―2
)2+ — X 22> 0 , ? f(X 1)>
f(X 2).
- 4
)上是减函数.
1]且 X 1 V X 2,即一1< X 1 V X 2< 1.
—2
(1 X 12) (1 X 2
2) 2 ?函数 f(x)= — X 3 + 1 在( — m,+m 19 .解析：设 X 1、X 2 € — 1 ,
f(X 1) — f(X 2)= . 1 X 12
X 12
. 1 X 22
(X 2 Xj(X 2 X 1) 1 2
X
1
? x 2 — X 1 > 0 , "J 1 X 1 1 X 22
> 0, ? ??当 X 1> 0 , X 2> 0 时，x 1 + X 2> 0,那么 f(X 1)> f(X 2).
当 X 1< 0, X 2V 0 时，X 1 + X 2V 0，那么 f(X 1) V f(X 2). 故f(x)= d X 2在区间［—1, 0］上是增函数,
f(x)= d x 2在区间［0, 1］上是减函数.
—a(x 1 — x 2)
f(X 1) — f(X 2)= , X 1
2
1 — a(x 1 —
X )=
2 X
2
.X 22
1
可知f(X)在］1,+^ )上是增函数.??? f(X)在区间［1 ,+^ )上的最小值为f(1)=-.
2
X
设 y=x 2+ 2X + a , X € 1 ,+^ )，由 y=(x + 1)2+ a — 1 可知其在［1 , +^)上是增函数， 当x=1时，y min =3 + a ,于是当且仅当 y min =3 + a >0时函数f(x)>0恒成立.故a >— 3.
X 1 x 2
2 , 2
2
(1)当 a > 1 时，T 一2
2
< 1
，
讽 1识2
1
又X 1 — X 2< 0，二 f(X 1)— f(X 2)> 0, 即卩 f(X 1)>
f(X 2)
⑵当0< a < 1时，在区间］0,+^］上存在X 1=0,
X 2= 2a 2，满足 f(x 1)=f(x 2)=1
1 a
? 0 < a < 1时，f(X)在］0,+
上不是单调函数
注：①判断单调性常规思路为定义法; ②变形过程中
収2
1
x 1 x 2 2 2
< 1 利用了 X 12
1 > |X 1|> X 1；
X 22
1 >
X 2；
1 '
③从a 的范围看还须讨论 0< a < 1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现.
21.解析：?/ f(x)在(— 2, 2)上是减函数
??由 f(m — 1) — f(1 — 2m) >0,得 f(m — 1)> f(1 — 2m)
m 1 2
2 1 2m 2,即 I 1
1 2m
1 1
2 2 m - 3
3 3
3
解得
2
2 1 2
3，? m
的取值范围是(
—乙)
22.解析：(1)当a=〔时,
2
f(x)=x + 2X + 2,
x € 1 ,+^ )
设 X 2> X 1 > 1 , 则 f(X 2) — f(X 1)=X 2+ — 2X 2
X i
1 =(X
2 — X 1) 2x 1
x 1 x 2 2x 1 x 2 1
=(X2—X1)(1—
嬴) T X 2> X 1> 1 ,
1
.? X 2 — X 1> 0, 1 —
2X 1X 2
> 0，则 f(X 2)> f(X 1)
y 2 2x a
(2)在区间［1,+s ) 上, f(x)=
>0恒成立 x 2 + 2x + a >0恒成立