近世代数学习系列一 学习方法
近世代数学习方法
“近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。为此，下面介绍五种常用的学习方法。
一、通过例子来加深对基本理论的理解
针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。
当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。
二、通过变换角度来寻求问题的解法
通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。下面举例说明这种方法：
例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，N1= -1(N2)，证明G1/N1同构于G2/N2。
对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2，而是将问题进行变换，先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知
结论正确。
三、通过“同构”的观点将知识点（问题）归类
“同构”的概念非常重要，因为凡是具有同构性质的结构在本质上可看成是同一结构。这样就可以将对其中一个结构进行分析得到的性质迁移到其它结构上去。例如，在群结构理论下，一个由元a所生成的循环群G，它的构造完全可以由a的阶来决定: 如果a的阶无限，那么G与整数加群同构；如果a的阶是有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。这样研究了整数加群和以n为模的剩余类加群，整个循环群就都在我们掌握之中了。
运用同构的观点来学习“近世代数”，有利于弄清群、环、域间的纵横关系，有利于全面、深刻、系统的理解所学的知识，也有利于培养分析、综合、抽象、概括的能力。
四、加强与其它课程的联系
在学习近世代数时，应该注意将所学的内容和其它课程相联系。例如：群论中的许多结论可依据高等代数的知识构造矩阵群来加以解释；环论中的许多结论可依据数论知识或多项式理论加以解释来加以解释。
五、通过重复加深理解
对于“近世代数”中很抽象的内容，需要反复阅读，逐渐推敲，从不同角度去理解本质所在。经常会出现这样的情况，读第一遍时明白了，而读第二遍时又糊涂了，这时要联系前后内容认真思考未明白的地方。实际上是第一遍没有真正明白，或者只明白了表面的东西，尚未理解本质所在。
上面仅就我们的理解提出了学习“近世代数”的五种方法
近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案
近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．
近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.
9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续
什么是真正有效的学习方法
什么是真正有效的学习方法 2017年，美国的一项教育研究，提出了一个儿童早期教育的规律，叫“凋零效应”。是说如果你快速给学生灌输一些知识，的确能让他们迅速获得一个成绩优势;但是，这个优势总是保持不了多久就会凋零。别人终归也会学到那些知识，而你这边后劲不足。其实“凋零效应”不仅限于早教，所有的教育都有这个规律。 这是因为能突击灌输的知识都属于“封闭式”技能，也就是说都是一些按照规定动作操作的流程。这种知识包教包会，但是缺乏累加作用，不能成为后面继续进步的基础。要想让人没那么容易赶上你，你需要掌握的是“开放式”的技能一这种技能能跟别的知识发生连接，有复利效应。 但是开放式的技能学得慢。有几种真正有效的学习方法，它们的共同特点就是慢。你会意识到，输了现在赢得未来的功夫，才是真功夫。 1哪种老师好 美国空军学院是个很大的教学机构，教学严格而且非常系统化。学院的基础课程是两个学期的微积分，“微积分1”和“微积分Ⅱ”。有经济学家专门对空军学院教微积分的方法做了一番研究。 空军学院先把学员随机分成几个班，每个班讲课的教授不同，但考试题目和评分标准是完全一样的。而且上完微积分1之后还会再随机分一次班，再上微积分Ⅱ。这个制度特别容易看出来哪个老师教得好，哪个老师教得不好。 这些老师可以分成两类。第一类老师特别善于让学生考出好成绩。他把课程讲得很顺，知识点有板有眼，解题流程清清楚楚。学生完全知道自己在课堂上得到了什么，练习非常有针对性，考试也充满信心。第一类老师教的，是快功。 : 第二类老师教的却是慢功。他经常给学生讲一些规定内容以外的东西,比如把微积分思想和物理学的知识联系起来。他希望学生对微积分能有更深入的理解…而这些都不能直接用在考试上。学生听了课,回去做练习题,都得自己想办法解决,因为老师没有搞针对性的套路训练。可想而知,这些学生的考试成绩就不怎么好。 学生们普遍更喜欢第一类老师。 但是,经济学家用数据证明,喜欢给知识建立连接的第二类老师,教的才是真功夫。研究者关心的不是学生们在“微积分1”中的考试成绩,而是他们是不是真的掌握了微积分一而现在学生们在后续课程,比如微积分Ⅱ,以及会用到微积分的科学和工程课程中的表现。结果非常明显,第二类老师教出来的学生,在后续课程中表现得更好。 有的老师教应试技巧,有的老师教真功夫,但是,连学生都喜欢第一类老师。他们是不是已经忘了,学习不仅仅是为了考试?
《抽象代数基础》习题解答
《抽象代数基础》习 题 答 解 于延栋编 盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月
第一章 群 论 §1 代数运算 1.设},,,{c b a e A =,A 上的乘法”“?的乘法表如下: 证明: ”“?适合结合律. 证明 设z y x ,,为A 中任意三个元素.为了证明”“?适合结合律,只需证明 )()(z y x z y x ??=??. 下面分两种情形来阐明上式成立. I.z y x ,,中至少有一个等于e . 当e x =时,)()(z y x z y z y x ??=?=??; 当e y =时,)()(z y x z x z y x ??=?=??; 当e z =时,)()(z y x y x z y x ??=?=??. II .z y x ,,都不等于e . (I)z y x ==.这时,)()(z y x e x x z z e z y x ??=?===?=??. (II)z y x ,,两两不等.这时,)()(z y x x x e z z z y x ??=?==?=??. (III)z y x ,,中有且仅有两个相等. 当y x =时,x 和z 是},,{c b a 中的两个不同元素,令u 表示},,{c b a 中其余的那个元素.于是,z z e z y x =?=??)(,z u x z y x =?=??)(,从而,)()(z y x z y x ??=??.同理可知,当z y =或x z =时,都有)()(z y x z y x ??=??. 2.设”“?是集合A 上一个适合结合律的代数运算.对于A 中元素,归纳定义∏=n i i a 1为: 111a a i i =∏=,111 1+=+=????? ??=∏∏r r i i r i i a a a . 证明: ∏∏∏+==+==???? ??????? ??m n k k m j j n n i i a a a 1 11.
近世代数初步_习题解答(抽象代数)
《近世代数初步》 习题答案与解答
引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)
最有效六大学习方法
最有效的六大学习方法_掌门1对1 一、制定合理的学习计划 1、制定学习计划的一般步骤：第一步是要分析现有的条件，即个人所处的具体环境和自身已经具备的条件;第二步，是确定目标。它是主客观两方面因素相结合的产物，并不是空中楼阁。第三步是选用措施。它是实现目标执行计划的保证，包括作息时间的调整，各学科之间的调换和搭配，文体活动的安排等。第四步，也是最后一个步骤，是安排步骤，它要求符合认知的一般规律和秩序渐进的原则。 2、计划制定要遵循的原则： (1)、确立明确的目标任何计划的制定都需要明确的目标，目标是一个人前进的灯塔，它是学生向更高层次迈进的基础。 (2)、参照生物钟原则。 (3)、难易适度性原则。 二、科学预习 1、预习方法： (1)、要认真读书。先将教材粗读一遍，领会基本大意，然后再反复细读。细读时，可用彩笔在课本上初步勾划出重点、难点、疑难问题。 (2)、要认真思考。预习时要运用已有的知识、经验及有关参考材料，进行积极的思考，多问几个为什么，弄清旧知识的内在联系和新内容中的每一个概念、定律、公式等。若有初步的体会和感受，也可适当地作点批注。 (3)、要虚心请教。在预改头换面过程中，有些问题虽经过立的思考(包括查资料)，但仍得不到解决，可与同学讨论，必要时要向老师、家长或其他人请教，
尽量将总是解决在课前，以便课上集中精力思考些新问题。 (4)、要适当地做些习题和实际操作。预惮，可适当地做些处选习题，以及时检查预习效果和巩固、深化知识系统。如有可能，还可做些必要的操作，现场观察、调查研究等，从而为上新课作些必要的准备。 (5)、要认真做好笔记。写预习笔记是预习过程的一个重要环节，我们一定要引起重视。 2、预习要注意以下几方面内容： (一)、要根据自己的实际，不要全面铺开。预的好处固然很多，但需要一定的时间，训了保证预习的质量，我们最好先从基础学科(语文、数学、理化、外语)或个人感到困难的学科中选出一两面门进行试点，取得经验后再逐步展开。对于个人的优势学科或较易掌握的内容可以不预习或少预习。 (二)、时间的安排要服从整体计划。预习的时间要根据实际可能来安排，不要因预习占用过多的时间而打乱了学习的整体计划。时间多时，可多预习一点;时间少时，可少预习一点，钻得浅一点。有些疑难问题解决不了是正常现象，预习不可能将全部新内容能钻透。 (三)、要有计划地逐步提高。虽然每个人的情况不同，预习的要求也不一样，但有一点却应该是循着事物的内部规律有计划地进行预习。从横的方面说，要由一种学科到多种学科;从纵的方面说，要由浅入深，由低级到高级，如从课前预习到单元预习再到整册预习等。 三、专心听课 1、集中注意，专心听讲。有人说，注意力是知识的窗口，不集中注意，知识的阳光就无法照射进来。这形象地说明了专心听讲在课堂学习中所起的作用是
近世代数学习系列二十二 群论与魔方
群论与魔方：群论基础知识 要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。 群的基本定义 设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「?」。如果G 的元素和「?」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, ?)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, ?)」径直称为「群G」)： 1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a ? b ∈ G。 2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a ? b) ? c = a ? (b ? c)。 3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e ? a = a ? e = a。 4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a?1 (称为a的「逆元」)，使得a ? a?1 = a?1? a = e。 请注意由于「?」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a ? b ? c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a ? a ? a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0= e，a?n= (a?1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a?1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a ? b)也是G 的元素，因此我们也可以谈论(a ? b)的逆元，而且这个逆元满足 (a ? b)?1 = b?1? a?1(1)
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。
十种有效学习方法总结
十种有效学习方法总结 1.联系学习法 唯物辩证法认为世界上任何事物都是同周围的事物存在着相互影响、相互制约的关系。科学知识是对客观事物的正确反映，因此，知识之间同样存在着普遍的联系，我们把联系的观点运用到学习当中，会有助于对科学知识的理解，会起到事半功倍的效果。 根据心理学迁移理论，知识的相似性有利于迁移的产生，迁移是一种联系的表现，而联系学习法的实质不能理解为仅仅只是一种迁移。迁移从某种意义上说是自发的，而运用联系学习法的学习是自觉的，是发挥主观能动性的充分体现，它以坚信知识点必然存在联系为首要前提，从而有目的地去回忆、检索大脑中的信息，寻找出它们间的内在联系。当然，原来对知识掌握的广度与深度直接影响到建立知识间联系的数量多少，但我们可以通过辩证思维，通过翻书、查阅、甚至是新的学习，去构建新的知识联系，并使之贮存在我们的大脑之中，使知识网日益扩大。这一点是迁移所不能做到的。 学习新知识就要想到旧知识，想到自己亲身经历过的事，不能迷信权威，克服定势思维。把抽象的知识具体化，发挥右大脑的作用。如辛亥革命发生在19xx年，二次革命发生在19xx 年，护国战争发生在 1915年，护法战争发生在1917年，这四个历史事件依次间隔二年，只要记住这两个历史事件的逻辑顺序，知道其中任何一个事件的年代，就可以联想，推算出其它三个事件的年代。这是联想记忆法。 读书之法，既先识得他外面一个皮壳，又须识得他里面骨髓方好。——朱熹 2.归纳学习法 所谓归纳学习法是通过归纳思维，形成对知识的特点、中心、性质的识记、理解与运用。当然，作为一种学习方法来说，归纳学习法崇尚归纳思维，但它不等同于归纳思维本身，同时它还要以分析为前提。[page] 可见，归纳学习法指的是要善于去归纳事物的特点、性质，把握句子、段落的精神实质，同时，以归纳为基础，搜索相同、相近、相反的知识，把它们放在一起进行识记与理解。其优点就在于能起到更快地记忆、理解作用。 研究必须充分地占有材料，分析它的各种发展形式，探寻这些形式的内在联系。——马克思 3.缩记学习法 所谓缩记法就是要尽可能地压缩记忆的信息量，同时基本上又能记住应记的内容。比如有要点记忆法、归纳记忆法、意义记忆法，都属压缩记忆法。每段话有明确要点的自然用要点记忆法，如果没有就要经过归纳形成要点后进行记忆。而归纳的最主要方法以意义为依据。可见，记忆以要点为基本单位。也可理解为以中心思想为单位。记住了要点并不是要放弃其
近世代数学习系列一 学习方法
近世代数学习方法 “近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。为此，下面介绍五种常用的学习方法。 一、通过例子来加深对基本理论的理解 针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。 当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。 二、通过变换角度来寻求问题的解法 通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。下面举例说明这种方法： 例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，N1= -1(N2)，证明G1/N1同构于G2/N2。 对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2，而是将问题进行变换，先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知
《近世代数》习题及答案
《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
教师招聘考试之十种有效的学习方法二
中公教育·给人改变未来的力量缩记学习法 所谓缩记法就是要尽可能地压缩记忆的信息量，同时基本上又能记住应记的内容。比如有要点记忆法、归纳记忆法、意义记忆法，都属压缩记忆法。每段话有明确要点的自然用要点记忆法，如果没有就要经过归纳形成要点后进行记忆。而归纳的最主要方法以意义为依据。可见，记忆以要点为基本单位。也可理解为以中心思想为单位。记住了要点并不是要放弃其他内容，而是以对其他内容的理解为前提，它可极大地增加记忆的信息量。 思考学习法 孔子提倡学习知识面要广泛，并且强调要在学习的基础上认真深入进行思考，把学习与思考结合起来。他说：“学而不思则罔，思而不学则殆。”如果只是读书记诵一些知识，而不通过思考加以消化，这只能是抽象的理解，抓不住事物要领，分不清是非。 明朝著名的科学家徐光启从小就有着的强烈好奇心，对于自然方面的知识一定要问个清清楚楚，一次徐光启看到一个老人掐掉自己棉田里的棉桃，感到很奇怪，就“刨根问底”学了个清楚，还说服父亲也采用这种科学的种棉方法，取得了丰收。长大后的徐光奇就是凭着这种探索的精神，写出了《农政全书》这样的科学巨著。 《中庸》中提出为学的五个阶段：博学、审问、慎思、明辨、笃行。慎思就是要把外在的知识和事件与自己切身经验结合起来进行认真思考，既用自己的经验来思考知识与事件，又用知识与事件来思考自己的经验，不断地交换位置和方向，达到理解和重新理解知识、事件和经验的目的，促进自己内精神世界的成长。 “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，当读到这句诗时，沈括的的眉头凝成了一个结，“为什么我们这里花都开败了，山上的桃花才开始盛开呢?”，为了解开这个谜团，沈括约了几个小伙伴上山实地考察一番，四月的山上，咋暖还寒，凉风袭来，冻得人瑟瑟发抖，沈括矛茅塞顿开，原来山上的温度比山下要低很多，因此花季才来得比山下来得晚呀。凭借着这种求索精神和实证方法，长大以后的沈括写出了《梦溪笔谈》。 合作学习法 同水平差不多的人一起学习，就有了一个学习伙伴，更何况每人都有自己的长处;同水平高于你的人一起学习，他就是你的老师，你自然可以学得许多东西;同水平低于你的人一起学习，你是他的老师，我们常说“教学相长”，你同样可以学得许多东西。当然，合作学习并不是几个人的简单相加。 美国明尼苏达大学“合作学习中心”的约翰逊兄弟认为，有5个要素是合作学习不可缺少的。这些要素是：(1)积极互赖，指的是学生们知道他们不仅要为自己的学习负责，而且要为其所在小组的其他同学的学习负责。(2)面对面的促进性相互作用。(3)个人责任，指的是每个学生都必须承担一定的学习任务。(4)社交技能。(5)小组自加工，小组必须定期地评价共同活动的情况，保持小组活动的有效性。 合作学习有利于增进人与人之间的相互了解、温情与信任，学会处理人际关系的技能、技巧与策略，学会有效地表达自我。在学习交往中，可以培养、发展真正的责任意识和义务感。 循序渐进法 我们在学习中有一个误区，认为只要肯花时间，多做练习，学习成绩必然进步。其实不尽然。虽然量变的必然结果是质变，但并不能说任何量变都会引起质变。试想，在现实生活中，有的人花得时间不多、练习量不大为
(完整版)十种有效的学习方法
十种有效的学习方法 每个人都会有许多学习方法，这些方法构成了自己的一个学法体系，因此，只要优化了自己的学法体系，必定大大提高学习效果，使学习真正快速有效。我们吸收各种学习理论的基本观点，并总结了优秀的学习经验，现在特别推荐下列十大学习方法，作为学法体系的支柱。 1、目标学习法 掌握目标学习法是美国心理学家布卢姆所倡导的。布卢姆认为只要有最佳的教学，给学生以足够的时间，多数学习者都能取得优良的学习成绩。 教学内容是由许多知识点构成，由点形成线，由线完成相对独立的知识体系，构成彼此联系的知识网。因此明确目标，就要在上新课时了解本课知识点在知识网中的位置，在复习时着重从宏观中把握微观，注重知识点的联系。另外，要明确知识点的难易程度，应该掌握的层次要求，即识记、理解、应用、分析、综合、评价等不同层次，最重要的就是明确学习重要目标，即知识重点。有了目标能增强我们学习的注意力与学习动机，即为了这目标我必须好好学习。 可见，明确学习目标是目标学习法的先决条件。目标学习法的核心问题，是必须形成自我测验、自我矫正，自我补救的自我约束习惯。对应教学目标编制形成性检测题，对自己进
行检测，并及时地反馈评价，及时矫正和补救。 学习目标与人生目标不同，它比较具体，可以在短时间内实现。它可以使我们比较容易地享受成功的欢乐。增加我们的信心。因此，目标学习法也是成功教育的主要策略之一，同时，实现学习目标也是实现人生目标的开始，只有使大小、远近目标有机的结合，才会避免一些无效劳动的发生。 2、问题学习法 带着问题去看书，有利于集中注意力，目的明确，这既是有意学习的要求，也是发现学习的必要条件。心理学家把注意分为无意注意与有意注意两种。有意注意要求预先有自觉的目的，必要时需经过意志努力，主动地对一定的事物发生注意。它表明人的心理活动的主体性和积极性。问题学习法就是强调有意注意有关解决问题的信息，使学习有了明确的指向性，从而提高学习效率。 问题学习法要求我们看书前，首先去看一下课文后的思考题，一边看书一边思考；同时，它还要求我们在预习时去寻找问题，以便在听课时在老师讲解该问题时集中注意力听讲；最后，在练习时努力地去解决一个个问题，不要被问题吓倒，解决问题的过程就是你进步的过程。 3、矛盾学习法 矛盾的观点是我们采用对比学习法的哲学依据因为我
近世代数学习报告
中国地质大学（武汉） 近世代数学习报告 课程名称：近世代数 学号： 20141002513 姓名：王庆涛 学院：数理学院 专业：数学与应用数学
对近世代数的重要性的认识 抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。 被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究 了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他使代数学由作为解方程的科学转变 为研究代数运算结构的科学。他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是 近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。 本学期学习总结 第一章基本概念 1、集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为或2A。（含n个元素的 集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n个） 2、积（笛卡尔积）：A×B={（a，b）|aA，bB}叫A与B的积。（A×B≠B×A） 3、A到B的对应法则为A到B的映射①②③，x的象在B中。 4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有个，一一映射共有n！个。 5、代数运算：一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算。（o为A×B到D 的代数运算（a，b）A×B，ab有意义，且ab唯一，属于D）。 6、满射：y，设y=（x），求出x（x为y的函数），若x存在且xA，则为满射。（中的每一个元素都有原象）；单射：a，bA，若a≠b，则a）≠b）。（元素不同象不同）；一一映射：即单又满。（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B有限且元素个数相同） 7、一个A到A的映射叫做A的一个变换；有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。 8、一个A 到的映射，叫做一个对于代数运算o和来说的，A 到的同态映射，假如满足：a,bA，a，b→则aob→（运算的象=象的运算）；A与同态A 与存在同态满射。 9、一个A 到的一一映射，叫做一个对于代数运算o和来说的，A 到的同构映射。（同构映射的逆映射也是同构映射）。 10、若R为法则，若R满足a，bA，要么aRb，要么ab，唯一确定，则称R为A的元间 的一个关系；集合A 的元间的一个关系叫做一个等价关系，假如满足①反射律（aA，
新教材2020-2021学年高中政治部编版选择性必修3学案-3.课时1-科学思维的含义与特征含解析
第三课领会科学思维 课时1科学思维的含义与特征 素养目标 1．懂得正确思维的基本条件，理解科学思维的含义。 2. 了解科学思维与逻辑思维、辩证思维和创新思维之间的关系。 3．把握科学思维的特征，理解科学思维的客观性、预见性和可检验性的特征，指导在实践中实现预期的目的。 要点晨背 1.科学思维，泛指符合认识规律、遵循逻辑规则的思维，是能够达到正确认识结果的思维。 2．科学思维追求认识的客观性。尊重实践检验的结果，注重实事求是的推理和论证，坚持以理服人，努力把握和遵循客观规律。 3．科学思维的结果具有预见性。通过对事物历史与现实材料的分析，找出事物发展的规律，并对事物的发展趋势、发展前景作出合乎逻辑的推断。 4．科学思维的结果具有可检验性。以实事求是的态度接受实践的严格检验，修正错误，坚持真理。 自主学习 【学新知】 一、科学思维的含义
1．科学思维的条件：任何思维都是内容与形式的统一。________和________是科学思维的两个基本条件。 2．科学思维的含义：科学思维，泛指符合________、遵循________的思维，是能够达到________的思维。科学思维与________、________、________思维相对立。 3. 科学思维不是与逻辑思维、辩证思维和创新思维并列的思维形态，而是对实践中遵循________要求、运用________方法、创新性解决问题的思维方式的统称。 科学思维要求人们不断解放思想、与时俱进，以求真务实的精神探求事物的本质和规律，在实践中检验和发展真理。 二、科学思维的特征 1．科学思维追求认识的客观性：科学思维总是从实际出发，力图如实地反映认识对象。科学思维不盲目崇拜权威，不盲目相信书本结论，它尊重________的结果，注重实事求是的________，坚持以理服人，努力把握和遵循客观规律。 2．科学思维的结果具有预见性。科学思维总是通过对事物历史与现实材料的分析，找出事物发展的规律，并对事物的发展趋势、发展前景作出________的推断。 3．科学思维的结果具有可检验性。思维的结果必须接受实践的检验。越是复杂的事物，对它的认识越要经过实践的反复检验。科学思维能够以________的态度接受实践的严格检验，修正错误，坚持真理。 科学思维的客观性、可检验性、预见性是相互联系、相互统一的。离开客观性，就不会有预见性；正因为有预见性，才有可检验性。
《近世代数》模拟试题2及答案
近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3
2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。
学习过程中最有效的六种学习方法
学习过程中最有效的六种学习方法 一说起学习，那是真叫人头疼，因为学习好难啊，怎么也学不会!于是乎，学习方法就显得特别重要了。下面是小编整理的最有效的学习方法，欢迎大家阅读参考。 1.间隔学习 学习知识并不是越快越好。复杂的技能需要时间间隔。我们学习各种技能，有时候会遇到一个短暂的“平台期”。所以，你学得慢并不是说明你笨! 人脑的记忆原理，是“提取记忆”这个动作能够加强原有的记忆。所以得要有点间隔，暂时“忘记”一下，过不久再“回忆”一下，是最高效的学习方法。 现在心理学认为人有两种“工作记忆”。“短期工作记忆”相当于计算机内存，是在完成一项具体工作时，大脑随时使用的记忆。而“长期工作记忆”相当于硬盘，是我们平时的知识储备。 所谓学习，就是把进入到大脑的【短期工作记忆】的内容强化吸收，写进【长期工作记忆】之中的过程。 所谓创新，就是把长期工作记忆中的相关内容调出来，放在短期工作记忆里跟新信息形成配合的过程。 2.随机学习： 随机排序学习法比有规律训练更有效。比如说小孩学写字不要一个字写十遍，最好几个字穿插着写。再比如做数学题不要同一个题型反复练，最好混合起来练习，每次都有不一样的解题策略。 再推进一步：不但学习内容应该随机安排，学习的地点，学习时候的环境，最好也能随机化。也就是说这堂课你在课桌上坐着学，下堂课最好在游泳池里泡着学，然后再下堂课可以考虑在床上躺着学……这种多样性的环境能对大脑产生各种刺激，特别有助于加深记忆。 3.间隔并且随机： 这周学了一点就放下，下周接着学的话，得先提取一下前面的记忆，这样多次提取，记忆就加深了很多。交叉着在同一时期内学习几门课程，比学完一门再学另一门的效果好得多。
超有效的三种学习方法
超有效的三种学习方法 每个人都会有许多学习方法，这些方法构成了自己的一个学法体系，因此，只要优化了自己的学法体系，必定大大提高学习效果，使学习真正快速有效。下面小编就给大家介绍一下超有效的三种学习方法，希望对你有所帮助。 ?超有效的学习方法合作学习法同水平差不多的人一起学习，就有了一个学习伙伴，更何况每人都有自己的长处;同水平高于你的人一起学习，他就是你的老师，你自然可以学得许多东西;同水平低于你的人一起学习，你是他的老师，我们常说“教学相长”，你同样可以学得许多东西。当然，合作学习并不是几个人的简单相加。美国明尼苏达大学“合作学习中心”的约翰逊兄弟认为，有5个要素是合作学习不可缺少的。这些要素是：(1)积极互赖，指的是学生们知道他们不仅要为自己的学习负责，而且要为其所在小组的其他同学的学习负责。(2)面对面的促进性相互作用。(3)个人责任，指的是每个学生都必须承担一定的学习任务。(4)社交技能。(5)小组自加工，小组必须定期地评价共同活动的情况，保持小组活动的有效性。合作学习有利于增进人与人之间的相互了解、温情与信任，学会处理人际关系的技能、技巧与策略，学会有效地表达自我。在学习交往中，可以培养、发展真正的责任意识和义务感。超有效的学习方法循序渐进法我们在学习中有一个误区，认为只要肯花时间，多做练习，学习成绩必然进步。其实不尽然。虽然量变的必然结果是质变，但并不能说任何量变都会引起质变。试想，在现实生活中，有的人花得时间不多、练习量不大为何能有明显的进步呢?这就是一个效率问题。在经济学上我们常说企业要发展，必须要采用集约型增长方式。学习也是如此，不能盲目地投入精力。这首先要做到循序渐进。有的同学一心求快，不考虑自己的
近世代数学习系列十 中英对照
近世代数中英对照学习 一、字母表 atom：原子 automorphism：自同构 binary operation：二元运算 Boolean algebra：布尔代数 bounded lattice：有界格 center of a group：群的中心 closure：封闭 commutative(Abelian) group：可交换群，阿贝尔群commutative(Abelian) semigroup：可交换半群comparable：可比的 complement：补 concatenation：拼接 congruence relation：同余关系 cycle：周期 cyclic group：循环群 cyclic semigroup：循环半群 determinant：行列式 disjoint：不相交 distributive lattice：分配格 entry：元素 epimorphism：满同态
factor group：商群 free semigroup：自由半群 greatest element：最大元 greatest lower bound：最大下界，下确界group：群 homomorphism：同态 idempotent element：等幂元identity：单位元，么元 identity：单位元，么元 inverse：逆元 isomorphism：同构 join：并 kernel：同态核 lattice：格 least element：最小元 least upper bound：最小上界，上确界left coset：左陪集 lower bound：下界 lower semilattice：下半格 main diagonal：主对角线 maximal element：极大元 meet：交
六种高效学习方法
六种高效学习方法 六种高效学习方法篇1： 学习是一辈子的事儿，要学习的东西再多，也别着急，一步一脚印，找准节奏，制定计划，定会成绩斐然!工欲善其事，必先利其器，送你六招，打造终身受用的高效学习法。 1.趣味 2.空间 3.节奏 4.记忆 学习的过程就是记忆的过程，了解记忆的工作方式，至关重要。在一系列事情中，人们更容易记住第一件事和最后一件事，而对中 间的事物记忆模糊。记忆的规律无法改变，但我们却可以利用这个 规律，更有效的组织自己的学习，比如把学习中的关键点安排在开 头和结尾，并用印象笔记写下来，随时随地回顾，加深印象。 5.计划 思维导图是对知识学习和逻辑梳理最直观的表现。一张最简单的思维导图，只需将学习主题的核心词写在一张白纸中间，与之直接 相关的和次要的类表像树枝一样延伸开来。在这张图中，可以包括 你做认为重要的一切，包括专业术语、核心观点和有待继续学习的 内容和完成的任务，只要能帮你学习并梳理信息，全部都可以列出。 六种高效学习方法篇二： 1.转变认识 高中阶段学习的内容较多，知识范畴扩大，要求也提高了许多。对于许多高中生，经常这科上去了，那科又下来了，某次考试有科 不及格也是常有的事。所以，转变认识，
首先，要对此有客观的认识，要认识到问题的普遍性和不可避免性。既然是正常的就不要着急烦躁，但一定要用积极的思想研究问题，要用积极的态度面对问题，要用积极的行动解决问题。 再次，在掌握了适合自己的一套学习方法的同时，还要有一套可行的复习计划。剩下的时间毕竟是有限的，在这样的形势下，只有 从战略的高度来制订计划多上求学网，处理问题才能决胜于千里之外，才能取得事半功倍的效果。 2.明确战略 明确战略就是从全局的角度来制订复习计划。从全部考试科目来看问题，而不是就一科论一科地看问题。战略高度就是每次考试结 束后试卷发下来时，将各科存在的问题放在一起分成三类，对每一 类问题制订出不同的策略。分类方法是： 第一类问题是会的却做错了的题。分明会做，反而做错了的;心 知肚明是很有把握的题，却没做对;还有明明会又非常简单的题，却 是落笔就错;确实会，答案就在嘴边盘旋，却在考场上怎么也回忆不 起来了。有时一走出考场立即就想起来了;有时试卷发下来一看，都 不太相信是自己答的，当时在考场上怎么会做成这个样子等等。这 类问题是低级错误。出现这类问题是考试后最后悔的事情。所以一 定要经常在求学网上练习。 第二类问题是模棱两可似是而非的问题。就是第一遍做对了，一改反而改错了，或第一遍做错了，后来又改对了，或回答不严密不 完整的等等。这类问题是记忆的不准确，理解的不够透彻，应用的 不够自如的问题。 第三类问题是不会的题。由于不会，因而答错了或蒙的。这是没记住不理解，更谈不上应用。 策略安排是：消灭第一类问题;攻克第二类问题;暂放第三类问题。有些同学对待三类问题的策略与此不同，方法有别，有人重点攻第 三类问题;轻视第二类问题;忽略第一类问题。这套方案对于个别同 学可能有效果，但对于绝大多数同学收效甚微，经常是事倍功半， 不可取。还有一些同学是按科目找问题来解决问题。按科目找问题