第四章 气体动理论

4-1 20个质点的速率分布如下

解：⑴07

1

65.31

v N

v N

v i

i i ==

∑= ⑵01

2

2

99.31v N v N v i N i i ==

∑= ⑶03v v p = 4-2 容积为10L 的容器中由1mol CO 2气体，其方均根速率为1440Km/h ，求CO 2气体的压强。

解：分子总数为A N ,摩尔质量为M ，则分子数密度为

A

N V

,分子质量为A M N ，因此由

气体压强公式得222

111333A A N M M p nmv v v V N V

=

== 代入数字求得5

2.3510p =?Pa

4-3 体积为3

10-m 3

，压强为5

1.01310?Pa 的气体，所有分子的平均平动动能的总和是多少？

解：分子的平均平动动能为

21322

mv kT = 容器中分子数N nV =，又由压强公式P nkT =，可得容器中所有分子的平均平动动能

总和为

2133

152222

N

mv nV kT PV ===J 4-4 求压强为5

1.01310?Pa 、质量为3

210-?Kg 、容积为3

1.5410-?m 3

的氧气的分子平均平动动能。

解：由23p nw =

可得31

2p w n

=

而A

mol A

mol M

N M MN n V M V

== 所以 213 6.22102mol A

M V

p w MN -=

=?J

4-6 一篮球充气后，其中有氮气8.5g ，温度为17℃，在空气中以65km/h 做高速飞行。求：

(1) 一个氮分子（设为刚性分子）的热运动平均平动动能、平均转动动能和平均总动能； (2) 球内氮气的内能； (3) 球内氮气的轨道动能。 4—6解：⑴J kT k 211000.623-?==

ε 转ε= J kT 211000.42

2

-?= J kT 201000.12

5-?==总ε. ⑵J kT i

M M E mol 31083.12

?=?=

. ⑶J mv E k 39.12

12

==

. 4-7 质量为50.0g ，温度为18.0℃的氦气装在容积为10.0L 的封闭容器内，容器以200v =m/s 的速率做匀速直线运动，若容器突然停止，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，试问平衡后氦气的温度和压强将增大多少？（王彬第二版206页8题）

解：322223

23

11141020013.310222 6.0210

A E mv v N μ--?===??=??J 23

23

2213.310 6.4233 1.3810E T k --???===??K

32

53

50108.2110 6.420.66 1.0131041010

MR p T V μ---????=?=?=????Pa 4—8解：⑴

kT 21 在平衡态下分子运动的能量平均分配给每一个自由度的能量为kT 2

1. ⑵在平衡态下，分子平均动能为kT 2

3

.

⑶在平衡态下，自由度为i 的分子平均总能量为kT i

2

.

⑷自由质量为M ，摩尔质量为mol M ，自由度为i 的分子组成的系统的内能为RT i

M M mol 2

? ⑸1摩尔自由度为i 的分子组成的系统的内能为

RT i

2. ⑹1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能为2

3

RT,或者说热力学系统内1摩尔分子的平

均平动动能之和为2

3

RT.

4-9 假定太阳是由氢原子组成的理想气体恒星，且密度是均匀的，压强为

141.3510p =?Pa ，已知氢原子质量271.6710m -=?kg ，太阳质量301.9910M =?kg ，太阳

半径为8

6.9610R =?m ，试估算太阳内部的温度。

解：太阳密度为343

M M

V R ρπ=

=

则氢原子的数密度n 为3

43

M

n m

m R ρ

π=

=

由p nkT =可估得太阳的温度为3

74 1.16103P pmR T nk Mk

π===?K

4-10 一容器被中间的隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K ；另一半装有

氧气，温度为310K 。二者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。

解：设氦气和氧气摩尔数分别为1v 和2v ，混合前后的温度分别为1T 和2T ，混合后温度为T 。因混和前二者压强相等、体积相等，所以有

1v RT 22v RT =

内能11122235

,22

E v RT E v RT =

= 混合前后内能不变，有

12112235

22E E E v RT v RT =+=+

所以1122

1235222843522

v T v T T v v +==+K 4-11 烟粒悬浮在空气中受空气分子的无规则碰撞而作布朗运动的情况可用普通显微镜观察，它和空气处于同一个平衡态。一颗烟粒的质量为16

1.610

-?Kg,求在300K 时它悬浮

在空气中的方均根速率。此烟粒如果是在300K 的氢气中悬浮，它的方均根速率与在空气中

的相比会有什么不同。

解：方均根速率为

38.810-=?m/s

4-12 容器中储有氧气，其压强为p ＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求

(1)单位体积中的分子n ；(2)氧分子的质量m ；(3)气体密度ρ；(4)分子间的平均距离e ；(5)平均速率v ；(6)方均根速率2

v ；(7)分子的平均动能ε． 4—12解：⑴3241045.2-?==

m kT P

n ⑵Kg M m mol 2623

1032.510

02.6-?=?= ⑶313.0m kg RT PM mol ==

ρ ⑷m n e 931042.71

-?= ⑸s m M RT

v mol

58.4468==

π ⑹s m M RT

v mol

87.48232==

⑺201004.12

5

-?==

kT k ε

4-13 容积1V =m 3的容器内混有251 1.010N =?个氧气分子和25

2 4.010N =?个氮气分子，混合气体的压强是5

2.7610?Pa 。求：(1)分子的平均平动动能；（2）混合气体的温度。

解：（1）53

4.14102

K E pV =

=?J 2112

8.2810K K

E E N N N ω=

==?+J （2）24003T k

ω

=

=K 4-14 将1Kg 氦气和M Kg 氢气混合，平衡后混合气体的内能是6

2.4510?J ，氦分子平均动能是21

610

-?J ，求氢气质量M 。

解：3

2

w kT =

所以22903w T k ==K 539.04102He mol

M

E RT M =

=?J

而 26

1.5510H He E E E =-=?J 又252H mol

M

E RT M =

= 所以20.51H M =Kg

4-15 某些恒星的温度达到108

K 的数量级，在此温度下原子已不存在，只有质子存在，试求：（1）质子的平均动能是多少电子伏特？（2）质子的方均根速率多大？

解：⑴ev kT k 9.122

3

==

ε ⑵ s m M RT

v mol

621058.13?==

4-16 (1) 火星的质量为地球质量的0.108倍，半径为地球半径的0.531倍，火星表面的逃逸速度多大？以表面温度240K 计，火星表面CO 2和H 2分子的方均根速率多大？以此说明火星表面有CO 2而无H 2（实际上，火星表面大气中96％是CO 2）。

(2) 木星的质量为地球的318倍，半径为地球的11.2倍，木星表面的逃逸速度多大？以表面温度130K 计，木星表面的H 2分子的方均根速率多大？以此说明木星表面有H 2（实际上，木星表面大气中78％的质量是H 2,其余的是He,其上盖有冰云，木星内部为液态甚至固态氢）。

4-16 解：（1）由机械能守恒

R

GM

v R GMm

mv 20212==-得 s

m v s m M RT

v s m v R R M M v mol

/1073.1/1069.33/1005.5*3222

13?=?==

?==∴同理地火

地地火火

（2） 略

4-17 一瓶气体由N

个分子组成。试证不论分子速率分布函数的形式如何，总有

v ≥

解：由2

()0v v -≥可得

22

222()20v v v vv v v v -=-+=-≥

v ≥

4-18 设有N 个粒子的系统，其速率分布如题4-13图所示。求 (1)分布函数)(v f 的表达式； (2)a 与0v 之间的关系；

(3)速度在1.50v 到2.00v 之间的粒子数; (4)粒子的平均速率;

(5)0.50v 到10v 区间内粒子平均速率。 4-18解：（1）从图上可得分布函数表达式

)()2()()0(/)(0000=≤≤=≤≤=v Nf v v v a v Nf v v v av v Nf

)

2(0

)2(/)0(/{)(00000

v v v v v N

a v v Nv av v f ≥≤≤≤≤=

f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v),故曲线下的总面积为N ， （2）由归一化条件可得

20

03200

v N

a N a d v N dv v av N v v v =?=+??

（3）可通过面积计算N v v a N 3

1

)5.12(00=-=? （4）N 个粒子的平均速率：

题4-18图

020

020

9

11)(1

)(00

v avdv v av dv v vNf N

dv v vf v v v v v =+==

=??

?

?

∞

（5）

N av v v a a N v v av N dv Nv av N N

N vdN N N

N vdN

v v v v v v v v v 4

1

83)5.0)(5.0(2115.0247115.00001002

15.0021

5.011

5.0000

00

==-+=

∴====

?

??区间内的粒子数

到区间内粒子平均速率：

到

4-19试求氢气在300K 时分子速率在10p v -m/s 与10p v +m/s 之间的分子数所占百分比。

解：当300T =K 时，氢气的最概然速率为：

1579p v =

==m/s 根据麦克斯韦分布率，在v v v -+?区间内的分子数占分子总数的比率为

23/224()2m

v kT

N m e v N kT

ππ-?=? 按题意，()

10,(10)1020p p p v v v v v =-?=+--=m/s 。 而10P v

，所以可取P v v ≈=

，代入可得

120

1.05%P

N N v -?=?= 4—20 解:速率为v 的分子的平均动能为2

2

1mv E k =,则mvdv dE k =， 麦克斯韦速率分布率可改写为:

k

k k kT

E k kT

mv kT

mv dE E f dE e

E kT mvdv

e mv kT dv v e RT

m

dv v f N dN k )()1

(

2)21

()1(

2

)2(4)(2

322

1223222

322===

==--

-

ππππ

即分子按平均动能分布率,其中分布函数:

kT E

k k k e E KT

E f -=

2

3)1(2

)(π 参考最概然速率的定义,令

()0=k k dE E df 由上式可得最概然动能kT E kp 2

1

=因m

kT

v p 2=

则

kp p E kT mv 22

12

==

4-21 解:

(1) 3

1723

31033.3300

1038.11038.1--?=???==m kT p n (2) m n

d 5.710

33.310

921

2117

20

2

=????=

=

-ππ

4-22 设电子管温度为300K ，如果要管内分子的平均自由程大于10cm 时，则应将它抽

到多大压强？设分子的有效直径d ＝3×10-8

cm 。

解：由平均自由程定义λ=

和理想气体状态方程p nkT =，得

()232101.38103000.10353100.1

p --??===???Pa 4-23 设地球大气是等温的，温度为17℃，海平面上的气压为5

0 1.010p =?Pa ,已知某地的海拔高度为2000h =m ，空气的摩尔质量3

2910M -=?Kg/mol ，求该地的气压值。

解：根据/0mgh RT

n n e -=和p nkT =可得

2112

8.2810K K E E N N N ω===?+3

29109.82000

/548.31290

0 1.0107.9010

M g h

R T

p p e

-???-

-?==??=?P a

4-24 已知大气中分子数密度随高度的变化规律为/0gh RT

n n e

μ-=，设大气温度不随高度

变化，27t =℃，求升高多大高度时大气压强减为原来的一半？ （王彬第二版206页9题）

解：由/0gh RT

n n e

μ-=，按题意02n n =

代入上式可得，/002

gh RT

n n e μ-= 消去0n ，取对数为1ln 2gh RT

μ-=

所以 38.31300

ln 2ln 2608029109.8

RT h g μ-?=

==??m 4-25 解: (1)

如图所示,在时间dt 内通过人一薄圆柱面层的热量为

rLdt dr

kdT

dQ π2-

=

由上式得 r

dr

Ldt dQ k dT π21-=

由于绝热套内外温度差恒定,所以dt

dQ

为恒量.

所以

m w T T R R k

Ldt

dQ /8.71)(ln 2211

2

=-=π

(2)

)(ln 22121

2T T R R kL

dr

dT rLk dt dQ --=-=ππ

∴

128.86dT

k cm dr

-=-?