余弦定理练习题(含答案)
余弦定理练习题
1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1
3
，那么AC 等于( )
A ．6
B ．2 6
C ．3 6
D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )
D ．2
3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2
＋3bc ，则∠A 等于( )
A ．60°
B ．45°
C ．120°
D ．150° ?
4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2
)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )
或5π6 或2π
3
5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．以上均不对
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．由增加的长度决定 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )
B ．2 3 或2 3 D ．2 ~
9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．
11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.
13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝________.
15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 2
4
，则角C ＝________.
16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．
17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2
－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．
`
18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为1
6
sin C ，求角C
的度数． ：
19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π
4
)的值．
20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．
—
:
余弦定理答案
1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1
3
，那么AC 等于( A )A ．6
B ．26
C ．3 6
D ．46
2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( B ) D ．2
3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2
＋3bc ，则∠A 等于( D )A ．60° B ．45°C．120° D ．150°
4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2
)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( D )
或5π6 或2π3
￥
解析：选D.由(a 2
＋c 2
－b 2
)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π
3
.
5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( C ) A ．a B ．B C ．c D ．以上均不对
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定
解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2
.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，
又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2
，
]
∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．
8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．23或2 3 D ．2
解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ，∴a 2
－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.
9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．
解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π
3
.
在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2
－2AB ·BD cos B ＝
1＋4－2×1×2×1
2
＝ 3.答案：3
10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．
。
解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10. 设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，
∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－1
2，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.
11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．
解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos C ，
∴c 2
＝21或61，∴c ＝21或61.答案：21或61
12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，
;
设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac
＝
2k
2
＋4k 2－3k 2
2×2k ×4k
＝1116
，
同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－1
4
，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)
13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝________.
解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·22
3
＝43，∴b ＝2 3.答案：23
15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 2
4
，则角C ＝________.
解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝1
2
ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°
16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．
《
解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N)，则?
??
??
k 2
＋k －12
－
k ＋1
2
＜0
k ＋k －1＞k ＋1?2＜k ＜4，
∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32
＋42
－22
2×3×4＝78.答案：7
8
17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2
－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长． 解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－1
2
.
又∵a ，b 是方程x 2
－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2
－2＝10，∴AB ＝10.
18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .
(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为1
6
sin C ，求角C 的度数．
-
解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.
(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝1
3，
由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝1
2，所以C ＝60°.
19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .
(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π
4
)的值．
解：(1)在△ABC 中，由正弦定理
AB
sin C ＝BC sin A ，得AB ＝sin C sin A
BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝1－cos 2
A ＝55
.
从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2
A ＝35.
所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝2
10
.
20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．
解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c
2b
.
又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
，
即c 2＝b 2＋c 2－a 2
，所以a ＝b .
又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2
，
所以b＝c，所以a＝b＝c，因此△ABC为等边三角形．