高三数学教案：数列的综合运用

专题训练

第十讲: 数列的综合运用

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知能目标

1. 进一步理解等差数列和等比数列的概念和性质.

2. 能熟练应用等差数列与等比数列的通项公式, 中项公式,前n 项和公式, 强化综合运用这些公式解题的能力.

3. 在解数列综合题的实际中加深对基础知识, 基本技能和基本数学思想方法的认识, 沟通各类知识的联系, 形成完整的知识网络, 提高分析问题和解决问题的能力.

综合脉络

1. 揭示数列本质

数列与函数的关系数列是一类特殊的函数. 从函数的观点看, 对于一个定义域为正整数集*N (或它的有限子集}n ,,4,3,2,1{Λ )的函数来说, 数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.

等差数列与函数的关系公差0d ≠时, n n S ,a 分别是n 的一次函数和二次函数. 反过来, 如果n a 是n 的一次函数, 那么}a {n 一定是公差不为0的等差数列; 如果n S 是n 的二次函数且常数项为0, 那么}a {n 一定是公差不为0的等差数列.

通项n a 与前n 项和n S 之间的关系: .)2n (S S )1n (S a 1

n n 1n ??

?≥-==-

2. 分析高考趋势

数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一, 是进一步学习高等数学的基础, 数列的题目形态多变, 蕴含丰富的数学思想和数学方法, 是高考的热点之一. 在近几年新教材的高考试题中, 对数列的考查多以解答题的形式出现, 数列与函数, 数列与不等式等的综合知识, 在知识的交汇点处设计题目, 成为高考对能力和素质考查的重要方面. 在数列方面的考查, 对能力方面的要求, 呈现越来越高的趋势, 对知识考查的同时, 伴随着对数学思想方法的考查. 在近几年新教材的高考试题中, 数列约占9％左右, 考查的内容主要有: ①等差数列、等比数列的基本知识 (定义、通项公式、前n 项和公式); ②等差数列、等比数列与其他知识点的综合运用, 及应用数列知识解决实际问题; ③ 函数和方程的思想, 化归思想, 分类讨论思想, 待定系数法等. (一) 典型例题讲解:

例1. 已知2)1(f =, 2

)n (f 2)1n (f +=+)N n (*∈, 求)101(f 的值.

例2. 已知数列1a }a {1n =中，且,)1(a a k

1k 2k 2-+=- ,3a a k

k 21k 2+=+其中Λ,3,2,1k =

(1) 求53a ,a ; (2) 求}a {n 的通项公式.

例3. 在公差不为零的等差数列}a {n 及等比数列}b {n 中, 已知a 1＝1, 且a 1＝b 1, a 2＝b 2, a 8＝b 3.

(1)求数列}a {n 的公差d 和}b {n 的公比q ;

(2)是否存在常数a 、b 使得对于一切自然数n, 都有b b log a n a n +=成立, 若存在, 求出a 、b 的值, 若不存在, 说明理由.

(二) 专题测试与练习: 一. 选择题

1. 数列}a {n 的通项公式为1

n n 1a n ++=

, 若}a {n 前n 项和为24, 则n 为 ( )

A. 25

B. 576

C. 624

D. 625

2. 设数列}a {n 是递增等差数列, 前三项的和为12, 前三项的积为48, 则它的首项是 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6

3. 设)N n (n 213n 12n 11n 1)n (f *∈+++++++=

Λ, 那么)n (f )1n (f -+等于 ( ) A. 1n 21+ B. 2n 21+

C. 2n 211n 21+++

D. 2

n 211n 21+-+

4. 若数列}a {n 前8项的值各异, 且n 8n a a =+对任意*∈N n 都成立, 则下列数列中可取遍

}a {n 前8项值的数列为 ( ) A. }a {1k 3+ B. }a {1k 2+ C. }a {1k 4+ D. }a {1k 6+

5. 已知数列}a {n , 那么“对任意的*∈N n , 点)a ,n (P n n 都在直线1x 2y +=上”是“}a {n 为等差数列”的 ( ) A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S (万件)近似地满足)12,,2,1n )(5n n 21(90

S 2n Λ=--=

. 按此预测, 在本年度内, 需求量超过1.5 万件的月份是 ( ) A. 5月、6月 B. 6月、7月 C. 7月、8月 D. 8月、9月

二. 填空题

7. 数列)21(1++)421(+++++Λ)221(1

n -+++Λ前n 项和为______ ____.

8. 设}a {n 是首项为1的正项数列, 且0a a na a )1n (n 1n 2

n 21n =+-+++),3,2,1n (Λ=, 则它的通项公式是=n a ____ _____ .

9. 已知一个等比数列首项为1, 项数是偶数, 其奇数项之和为85, 偶数项之和为170, 求这个数列的公比 , 项数为 .

10. 在各项均为正数的等比数列}a {n 中, 若,9a a 65=则1032313a log a log a log +++Λ

= .

三. 解答题

11. 数列}a {n 的前n 项和为n S , 且1a 1=, ,S 3

a n 1n =

+,,3,2,1n Λ=求 (1) 2a ,3a ,4a 的值及数列}a {n 的通项公式; (2) n 242a a a +++Λ的值.

12. 有穷数列}a {n 的前n 项和S n ＝2n 2＋n, 现从中抽取某一项(不是首项和末项)后, 余下项的

平均值是79. (1)求数列}a {n 的通项; (2)求数列}a {n 的项数及抽取的项数.

13. 已知等比数列}a {n 共有m 项)3m (≥, 且各项均为正数, 1a 1=, 1a ＋2a ＋7a 3=. (1) 求数列}a {n 的通项n a ;

(2) 若数列}b {n 是等差数列, 且11a b =, m m a b =, 判断数列}a {n 前m 项的和m S 与数列

b {n -的前m 项和m T 的大小并加以证明.

数列的综合运用解答

(一) 典型例题

例1. 解：,2

)1n (2)n (f ,21)n (f )1n (f 2)1(f ?-+=+

=+=故.52)101(f = 例2. 解：(1) 0)1(a a 12=-+=, ,33a a 23=+=,4)1(a a 234=-+=,133a a 2

45=+=

所以, .13a ,3a 53==

(2) ,3)1(a 3a a k k 1k 2k k 21k 2+-+=+=-+ 所以,)1(3a a k

k 1k 21k 2-+=--+

同理,)1(3a a 1

k k 3k 21k 2----+=-……,).1(3a a 13-+=-

所以+--+)a a (1k 21k 2++---Λ)a a (3k 21k 2=-)a a (13

)],1()1()1[()333(1k k 1k k -++-+-++++--ΛΛ

由此得],1)1[(2

1)13(23a a k

k 11k 2--+-=-+ 于是.1)1(2123a k 1k 1k 2--+=++ 1)1(2

123)1(1)1(2123)1(a a k k k

1k k k 1k 2k 2=-+=-+--+=-+=--

}a {n 的通项公式为:

当n 为奇数时, ;121)1(23

a 2

1n 2

1n n -?-+=-+ 当n 为偶数时, .12

)1(23a 2n

n n -?-+= 例3. 解：(1) ???==?=+=+==0d 1q q b d 7a ,q b d a .1a b 2111111 或???==5

d 6

q .

∴≠∴≠ .1q .0d Θ取???==5d 6

q . (2) .6b ,4n 5a 1

n n n -=-=

假设存在, 则有b 6log )1n (4n 5b 6log 4n 5a 1

n a +-=-?+=--

.1b 6a 46log b 5

6log 6log b 6log n 4n 55a a a a ???==????-=-=?-+=-?

∴存在???==1

b 6

a 5, 使

b b log a n a n +=成立.

(二) 专题测试与练习一.

二. 填空题 7. 2n 2S 1

n n --=+; 8. ;n

9. 2 , 8 ; 10. 10 .

三. 解答题

11. 解: (1) 由,S 3

a ,1a n 1n 1==+,,3,2,1n ΛΛ =得 ,31a 31S 31a 112===,94)a a (31S 31a 2123=+==,

2716)a a a (31S 31a 32134=++==

由)2n (a 31)S S (31a a n 1n n n 1n ≥=-=--+, 得),2n (a 34

a n 1n ≥=+

又31a 2=, 所以),2n ()3

(31a 2n n ≥=-

∴ 数列}a {n 的通项公式为???

??≥==-)2n (,)3

4(31)1n (,1a 2n n ;

(2)由(1)可知n 242a ,,a ,a Λ是首项为

, 公比为2)3

4(项数为n 的等比数列, ∴].1)34[(73)3

4(1)34

(131a a a n 22

n 2n

242-=--?=+++Λ

12. (1) .3S a ,1a 4a S S a 11n 1n n n ==-=?-=-

.1n 4a n -=∴

(2) 设抽去是第k 项则有:

791

n a a a a a n

1k 1k 21=-+++++++-ΛΛ,

79n 79a a a a a n 1k 1k 21-=++++++∴+-ΛΛ移项得: 79n

a a 79a a a n

1k 1k 21=++++++++-ΛΛ,

所以抽去的是79, .20k 791k 479a k =?=-?=

13. 解: (1) 设等比数列}a {n 的公比为q, 则,7q q 12

=++ ∴2q =或3q -=, ∵}a {n 的各项均为正数, ∴2q =. 所以n a 1

n 2-=.

(2) 由n a 1

n 2

-=得12S m

m -=. 数列}b {n 是等差数列, ,1a b 11==1

m m m 2

a b -==,

而=m T )21b ()21b ()2

1b ()21b (n 321-++-+-+-Λ ,2m m 2

22m m 22122m )b b b b (2m 1

m 1m n 321---?==-+=-++++=Λ

∵.12)4m ()12(2

m S T 2m m 2

m m m +?-=--?=--- ∴当3m =时, 3333S T ,1S T <∴-=- . ∴当4m ≥时, m m S T >.

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