西藏自治区拉萨市拉萨中学2020届高三第八次月考数学理科试卷含答案

理科数学参考答案

一、选择题 1-4 CAAB 5-8 ADBC 9-12 DCCB

二、填空题 13. 80- 14． 13/2 15. 9600元 16. 64π

17．12分 （1；（2）3. 【分析】（1）先求得,OD DE ，利用余弦定理即可求得OE ，再利用正弦定理即可求得结果； （2）根据几何关系，以及（1）中所求，结合三角形面积公式，即可求得结果.

【详解】

（1）∵135BOC ?∠=，BD AC ⊥，1CD =，

∴45DOC ?∠=，∴1OD =．

又∵DE

∴在DOE △中，由余弦定理，可得2

51212OE OE ?=+-???- ??，

解得OE =OE =- 再由正弦定理，得

sin135sin DE OE BDE ?=∠，

得sin

BDE ∠== （2）如图过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，则EF //AC ．

∵在直角EOF △中，OE =

45EOF ?∠=， ∴1OF EF ==．

又∵2BO OD =u u u r u u u r

，

∴2BO =．

∴1BF =．

由EF BF AD BD

=，得3AD =．

由（1）知，cos sin ADE BDE ∠=∠=

．

∴sin ADE ∠=．

∴ADE 的面积11sin 33225S AD DE ADE =

???∠=?=． 【点睛】

本题考查利用正余弦定理解三角形，属综合基础题.

18． 12分 （ 1）详见解析；（2. 【解析】

【分析】

（1）设F 为PA 的中点，连结,EF BF ，根据条件可证得四边形BCEF 是平行四边形，得//CE BF ，从而可得到//CE 平面PAB ；

（2）利用等体积法，即由E ADC D ACE V V --=，可得到本题答案.

【详解】

（1）设F 为PA 的中点，连结,EF BF ，

E 为PD 的中点，//E

F AD ∴且12EF AD =

， 又//BC AD Q 且12

BC AD =， //B EF C ∴且EF BC =，

∴四边形BCEF 是平行四边形，

//CE BF ∴，

又CE ? 平面PAB ，BE ?平面PAB ，

//CE ∴平面PAB ；

（2）由（1）得CE BF =，

平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，AB AD ⊥，

AB ∴⊥面PAD ，又PA ?面PAD ，

AB PA ∴⊥，

在Rt PAB 中，11122

AF AP AD ===，1AB =，

BF CE BF ∴∴=

在ACE △中AC =，AE = CE =

ACE S ∴=△， 设D 到平面ACE 的距离为h ，

由E ADC D ACE V V --=，得1133

ADC ACE S S h =?△△，

所以h = 【点睛】

本题主要考查线面平行的判定以及利用等体积法求点到面的距离，考查学生的空间想象能力，运算求解能力.

19 12分 （1）0.984，C 类学生；（2）135.2

【解析】

【分析】

（1）根据公式计算3620.98463

r =≈，比较123||,||,||r r r 的大小，即可得答案； （2）根据回归直线经过样本点的中心，可求得 a 的值，再将9x =代入方程求得 y 的值，

即可得答案；

【详解】

（1）根据题意，可知C 类学生的

()11234535

x =++++=， ()18592101100112985

y =

++++=， ()()

51i i i x

x y y =--∑ ()()()()()()()()()()138598239298331019843100985311298=--+--+--+--+--

2660228=++++

62=， 相关系数362

0.98463r =≈， 又因为312r r r >>，则C 类学生学习成绩最稳定

（2）因为 6.2y x a =+，

所以 6.298 6.2379.4a y x =-=-?=，

所以 6.279.4y x =+，

当9x =时， 135.2y =，

所以预测该生的第九次成绩约为135.2.

【点睛】

本题考查相关系数的计算及应用、回归方程的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

19． 12分 （Ⅰ）22

143x y +=；（Ⅱ）AOB ?l 的方程

为x y =-【解析】

【分析】

（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；

（2）设出直线方程后，采用1

||2AB d ??（d 表示原点到直线AB 的距离）表示面积，最

后利用基本不等式求解最值.

【详解】

解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =. 因此椭圆的方程为22

143

x y +=. （Ⅱ）设直线l

的方程为x ty =22

143

x y +=交于点11(,)A x y ， 22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x

可得22(34)30t y +--=，

即12y y +=，122334y y t -=+. AOB ?

面积可表示为1211||||22

AOB S OQ y y =?-=△

216234

t ===+

u =，则1u ≥

，上式可化为26633u u u u

=++

当且仅当u =

t = 因此AOB ?

l

的方程为3x y =±

-【点睛】

常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：

（1）已知点(,0),(,0)M c N c -，若点(,)P x y 满足||||2PM PN a +=且22a c >，则P 的轨迹是椭圆；

（2）已知点(,0),(,0)M c N c -，若点(,)P x y 满足||||||2PM PN a -=且22a c <，则P 的轨迹是双曲线.

21．12分 （1）

24π；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由于函数()f x 为偶函数，故只需求[0x ∈，)+∞时()f x 的最小值，利用()2sin f x x x π'=-，对x 分(0,)2x π

∈及(2x π

∈，)+∞，两类讨论，即可求得函数()f x 的最小值；

（2）只需证1222x x π+<，其中1(0,)2x π∈，2,2x π??∈+∞ ???

，构造函数()()()F x f x f x π=--，(0,)2

x π∈，利用导数结合题意可证得12x x π+<． 【详解】

解：（1）由于函数2()cos f x x x π=+为偶函数，要求函数()f x 的最小值， 只需求[0,)x ∈+∞时()f x 的最小值即可.

因为()2sin f x x x π'=-, 所以，当0,2x π??∈ ???

时， 设()2sin ,h x x x π=-()2cos h x x π'=-，

显然()h x '单调递增，而(0)0,h '<02h π??'> ???

， 由零点存在定理，存在唯一的00,

2x π??∈ ???，使得()00h x '=， 当()00,,x x ∈()0,h x '<()h x 单减， 当0,,2x x π?

?∈ ???

()0,h x '>()h x 单增， 而(0)0h =，0,2h π??= ???0,,2x π??∈ ???

()0h x <， 即0,2x π??∈ ???

，()0f x '<，()f x 单减， 又当,2x π??∈+∞ ???

，2sin x x ππ>>，()0f x '>，()f x 单增，

所以2

min ()24f x f ππ??== ???； （2）只需证1222x x π+<，其中10,2x π??∈ ???，2,2x π??∈+∞ ???

， 构造函数()()()F x f x f x π=--，0,

2x π??∈ ???， ()()()22sin 0F x f x f x x πππ'''=+-=->，即()F x 单增， 所以，()02F x F π??<= ???

， 即当0,2x π??∈ ???

时，()()f x f x π<-， 而10,2x π?

?∈ ???

，所以()()11f x f x π<-， 又()()12f x f x =，即()()21f x f x π<-， 此时2,2x π??∈+∞ ???，1,2x πππ??-∈ ???， 由第（1）问可知，()f x 在,2π??+∞

???上单增， 所以，21x x π<-，12x x π+<，即证.

22．10分 (1)见解析;(2)108?? ???，.

【解析】

试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到1C 的普通方程，两边同乘以ρ利用cos ,sin x y ρθρθ== 即可得2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα

=+??=?（t 为参数），代入2

212x y +=，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.

试题解析：（1）曲线1C 的普通方程为2

212

x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为 24y x =；

（2）设直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=+??=?

（t 为参数） 又直线l 与曲线2C ：24y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.

联立直线l 与曲线1C ：2212

x y +=可得()221sin 2cos 10t t αα++-=则12211sin FA FB t t α

?==+ 联立直线l 与曲线2C ：24y x =可得22sin 4cos 40t t αα--=，则

1224sin FM FN t t α

?==

即222221

1sin 1111sin 0,4141sin 481sin sin FA FB FM FN ααααα

???+==?=?∈ ??+??

+ 23． 10分 （1）1[,)3-+∞；（2）(1,3). （1）不等式()23f x x ≤+，即为1123x x -+≤+.

当1x ≥时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-，

此时不等式的解集为1x ≥，

当1x <时，即化为()1123x x --+≤+，解得13x ≥-， 此时不等式的解集为113

x -≤<. 综上，不等式()23f x x ≤+的解集为13??-+∞????

，. （2）()113

1233x x F x x x ，，，?-+≤=?->?

即()21131233x x F x x x x x -?

，，

，，.

作出函数()F x 的图象如图所示，

当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，所以13a <<.

所以实数a 的取值范围是()13，

.