人教中考数学 二次函数综合试题及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由．

（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；

（3）M的坐标为（-1，0）或（50）或（-3

2

，0）；（4）点P的坐标为：（-1，

2）或（-7

3

，-

10

9

）．

【解析】

【分析】

（1）利用交点式求二次函数的解析式；

（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；

（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；

（4）存在两种情况：①如图4，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；

②如图5，图3中的M（-3

2

，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则

△CP2Q∽△BCO，P2为直线CM的抛物线的交点．

【详解】

（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），

设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），

把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），

a=-1，

∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，

∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；

（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

把A（-2，0）、C（0，2）代入得：

20

2

k b

b

-+

?

?

?

＝

＝

，

解得：

1

2 k

b

?

?

?

＝

＝

，

∴直线AC的解析式为：y=x+2，

∴D（n，n+2），

∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，

∴S△ANC

=

1

2

×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，

∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），（3）存在，分三种情况：

①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；

②如图2，由勾股定理得：BC=22

25

1=

，

以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=5，此时，M2（1-5，0），M3（1+5，0）；

③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，

设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，

由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，

解得：x=3

2

，

∵M4在x轴的负半轴上，

∴M4（-3

2

，0），

综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或

（1±5，0）或（-3

2

，0）；

（4）存在两种情况：

①如图4，过C作x轴的平行线交抛物线于P1，过P1作P1Q⊥BC，

此时，△CP1Q∽△BCO，

∴点P1与点C关于抛物线的对称轴对称，

∴P1（-1，2），

②如图5，由（3）知：当M （

-

3

2

，0）时，MB=MC ，设CM 与抛物线交于点P 2， 过P 2作P 2Q ⊥BC ，此时，△CP 2Q ∽△BCO ，

易得直线CM 的解析式为：y=

4

3

x+2， 则2423

2

y x y x x ?=+???=--+?， 解得：P 2（-

73

，-10

9），

综上所述，点P 的坐标为：（-1，2）或（-73

，-10

9）．

【点睛】

本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解．

2．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m ，当其自变量的值为m 时，其函数值等于﹣m ，则称﹣m 为这个函数的反向值．在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n 称为这个函数的反向距离．特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n 为零．

例如，图中的函数有4，﹣1两个反向值，其反向距离n 等于5． （1）分别判断函数y ＝﹣x +1，y ＝1

x

-，y ＝x 2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距离；

（2）对于函数y ＝x 2﹣b 2x ， ①若其反向距离为零，求b 的值； ②若﹣1≤b ≤3，求其反向距离n 的取值范围；

（3）若函数y＝

2

2

3()

3()

x x x m

x x x m

?-≥

?

--<

?

请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出

相应m的取值范围．

【答案】（1）y＝?1

x

有反向值，反向距离为2；y＝x2有反向值，反向距离是1；（2）

①b＝±1；②0≤n≤8；（3）当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．

【解析】

【分析】

(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；

(2)①根据题意可以求得相应的b的值；

②根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围；

(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题．

【详解】

(1)由题意可得，

当﹣m＝﹣m+1时，该方程无解，故函数y＝﹣x+1没有反向值，

当﹣m＝

1

m

-时，m＝±1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝

1

x

-有反向值，反向距离为2，

当﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距离是1；

(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，

解得，m＝0或m＝b2﹣1，

∵反向距离为零，

∴|b2﹣1﹣0|＝0，

解得，b＝±1；

②令﹣m＝m2﹣b2m，

解得，m＝0或m＝b2﹣1，

∴n＝|b2﹣1﹣0|＝|b2﹣1|，

∵﹣1≤b≤3，

∴0≤n≤8；

(3)∵y＝

2

2

3()

3() x x x m

x x x m

?-≥

?

--<

?

，

∴当x≥m时，

﹣m＝m2﹣3m，得m＝0或m＝2，

∴n ＝2﹣0＝2， ∴m ＞2或m ≤﹣2； 当x ＜m 时， ﹣m ＝﹣m 2﹣3m ， 解得，m ＝0或m ＝﹣4， ∴n ＝0﹣(﹣4)＝4， ∴﹣2＜m ≤2，

由上可得，当m ＞2或m ≤﹣2时，n ＝2， 当﹣2＜m ≤2时，n ＝4． 【点睛】

本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题．

3．如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （-1，-2），抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2与直线x=-2交于点P ．

（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的解析式；

（2）设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线F 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且x 1＜x 2≤-2，比较y 1与y 2的大小.

【答案】(1) 221y x x =+-；(2)12y y >.

【解析】 【分析】

（1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式； （2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小. 【详解】

(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2）， ∴22122m m -=++-. ∴m 1=m 2=-1.

∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.

(2)当x=-2时，2

442P y m m =++-=()2

22m +-.

∴当m=-2时，P y 的最小值为－2. 此时抛物线F 的表达式是()2

22y x =+-. ∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小. ∵12x x <≤－2， ∴1y >2y . 【点睛】

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．

4．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根． （1）求k 的取值范围； （2）设x 1，x 2是方程两根，且

121111

x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣14；（2）k

＝2

． 【解析】 【分析】

（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可. 【详解】

解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1 ∵△≥0 ∴4k +1≥0 ∴k ≥﹣

1

4

； （2）∵x 1，x 2是方程两根， ∴x 1+x 2＝2k +1 x 1x 2＝k 2，

又∵121111

x x k +=-， ∴12121

1

x x x x k +=?-， 即

2

211

1

k k k +=+ ，

解得：12k k =

=

又∵k ≥﹣14

，

即：k ＝

12

． 【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -

，两根之积等于c

a

”是解题的关键.

5．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；

（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；

（3）设抛物线2

(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点

关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）1?

（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．

（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】

（1）证明：∵()()()2

2

2454670b ac m m m ?=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.

（2）解：由（1）()2

7m ?=-，根据求根公式可知，

方程的两根为：x =

即121

6x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+

1

(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）

由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：

6166m m m 或-+=-+=-

56m m ∴==或 【点睛】

本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．

6．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；

（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标； （3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （3

7

-，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）． 【解析】

试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x 的一元二次方程即可得出点A 、B 的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y 值即可得出点C 坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D 的坐标；

（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，由点C 的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D 的解析式，令其y=0求出x 值，即可得出点E 的坐标；

（3）根据点A 、C 的坐标利用待定系数法求出直线AC 的解析式，假设存在，设点F （m ，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出m 值，再代入点P 坐标中即可得出结论．

试题解析：（1）当2

23y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，

2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A （﹣3，0），B （1，0）．

当2

23y x x =--+中x=0时，则y=3，∴C （0，3）．

∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．

（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示．

∵C （0，3），∴C′（0，﹣3）． 设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3

{

4b k b =--+=，解得：7{3

k b =-=-，∴直线C′D 的解析

式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=3

7

-，∴当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为（3

7

-

，0）． （3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{30c a c =-+=，解得：1{3

a c ==，∴直线AC 的解析式为y=x+3．

假设存在，设点F （m ，m+3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）： ①当∠PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，

∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）；

②当∠AFP=90°时，P （2m+3，0）

∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；

③当∠APF=90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，

∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）． 综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．

考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题．

7．如图，若b 是正数，直线l ：y =b 与y 轴交于点A ；直线a ：y =x ﹣b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y =﹣x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．

（1）若AB =8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；

（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；

（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b =2019和b =2019.5时“美点”的个数． 【答案】（1）b =4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）1

2

；（4）当b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个． 【解析】 【分析】

（1）求出A 、B 的坐标，由AB =8，可求出b 的值．从而得到L 的解析式，找出L 的对称轴与a 的交点即可；

（2）通过配方，求出L 的顶点坐标，由于点C 在l 下方，则C 与l 的距离2

4

b b -，配方即

可得出结论；

（3）由題意得y 1+y 2=2y 3，进而有b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0）解得x 0的值，求出L 与x 轴右交点为D 的坐标，即可得出结论；

（4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x 直线解析式a ：y =x ﹣2019，美点”总计4040个点，②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，“美点”共有1010个． 【详解】

（1）当x =0吋，y =x ﹣b =﹣b ，∴B （0，﹣b ）．

∵AB =8，而A （0，b ），∴b ﹣（﹣b ）=8，∴b =4，∴L ：y =﹣x 2+4x ，∴L 的对称轴x =2，当x =2时，y =x ﹣4=﹣2，∴L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；

（2）y =﹣（x 2b -）224b +，∴L 的顶点C （2b ，2

4

b ）．

∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离b 21

44

b -=-（b ﹣2）2+1≤1，∴点C 与l 距离的最大值为

1；

（3）∵y 3是y 1，y 2的平均数，∴y 1+y 2=2y 3，∴b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0），解得：x 0=0或x 0=b 12

-

． ∵x 0≠0，∴x 0=b 1

2

-，对于L ，当y =0吋，0=﹣x 2+bx ，即0=﹣x （x ﹣b ），解得：x 1=0，x 2=b ．

∵b ＞0，∴右交点D （b ，0），∴点（x 0，0）与点D 间的距离b ﹣（b 12

-

）12=．

（4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019． 联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019，∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；

∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点．

∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；

②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019.5，∴当x 取整数时，在一次函数y =x ﹣2019.5上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y =x 2+2019.5x 图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知﹣1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．

故b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个． 【点睛】

本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．

8．如图，抛物线y=ax 2+bx 过点B （1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x 轴的正半轴交于点A ．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x 的取值范围； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P ，当PA ⊥BA 时，求△PAB 的面积．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣4x ，自变量x 的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB 的

面积=15．

【解析】

【分析】

（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．

【详解】

（1）由题意得，

3 2

2

a b

b

a

+-

?

?

?

-?

?

＝

＝

，

解得

1

4

a

b-

?

?

?

＝

＝

，

∴抛物线的解析式为y=x2-4x，

令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，

结合图象知，A的坐标为（4，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P（x，x2-4x）,

∵PA⊥BA

∴∠PAF+∠BAE=90°,

∵∠PAF+∠FPA=90°,

∴∠FPA=∠BAE

又∠PFA=∠AEB=90°

∴△PFA∽△AEB,

∴PF AF

AE BE

=，即

244

213

x x x

--

=

-

，

解得，x= ?1，x=4（舍去）

∴x2-4x=-5

∴点P的坐标为（-1，-5），

又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1

所以BP 与x 轴交点为（1

4

，0） ∴S △PAB=115

531524

??+= 【点睛】

本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．

9．如图，已知直线AB 与抛物线C ：2y ax 2x c =++ 相交于()1,0A -和点()B 2,3两点.

⑴求抛物线C 的函数表达式；

⑵若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA MB 、为相邻两边作平行四边形

MANB ,当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时四边形MANB 的面积S 及点M 的

坐标；

⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线17

y 4

=

的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】⑴2y x 2x 3=-++；⑵当12a =

，S □MANB =2S △ABM =274

，此时115M ,24?? ???

；⑶存在. 当15F 1,4??

???时，无论x 取任何实数，均有PG PF =. 理由见解析.

【解析】 【分析】

（1）利用待定系数法，将A ，B 的坐标代入y=ax 2+2x+c 即可求得二次函数的解析式； （2）过点M 作MH ⊥x 轴于H ，交直线AB 于K ，求出直线AB 的解析式，设点M （a ，-a 2+2a+3），则K （a ，a+1），利用函数思想求出MK 的最大值，再求出△AMB 面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标； （3）如图2，分别过点B ，C 作直线y=

17

4

的垂线，垂足为N ，H ，设抛物线对称轴上存在点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y=

17

4

的距离，其中F （1，a ），

连接BF，CF，则可根据BF=BN，CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．

【详解】

（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，

得，

20 443 a c

a c

-+=

?

?

++=

?

，

解得a=-1，c=3，

∴此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；

（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，

将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，

得，

0 23

k b

k b

-+

?

?

+

?

＝

＝

，

解得，k=1，b=1，

∴y AB=x+1，

设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK=-a2+2a+3-（a+1）

=-（a-1

2

）2+

9

4

，

根据二次函数的性质可知，当a=1

2

时，MK有最大长度

9

4

，

∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK

=1

2

MK?AH+

1

2

MK?（x B-x H）

=1

2

MK?（x B-x A）

=1

2

×

9

4

×3

=27

8

，

∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，

S最大=2S△AMB最大=2×27 8

=

27

4

，M（

1

2

，

15

4

）；

（3）存在点F，

∵y=-x2+2x+3

=-（x-1）2+4，

∴对称轴为直线x=1，

当y=0时，x1=-1，x2=3，

∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），

如图2，分别过点B，C作直线y=

17

4

的垂线，垂足为N，H，

抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=

17

4

的距离，设F（1，a），连接BF，CF，

则BF=BN=

17

4

-3=

5

4

，CF=CH=

17

4

，

由题意可列：

2

22

2

22

5

(21)(3)

4

17

(31)

4

a

a

???

-+-=

? ?

???

?

??

?

-+= ?

???

?

，

解得，a=

15

4

，

∴F（1，15

4

）．

【点睛】

此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．

10．已知二次函数y=﹣316x 2

+bx+c 的图象经过A （0，3），B （﹣4，﹣92

）两点． （1）求b ，c 的值． （2）二次函数y=﹣316

x 2

+bx+c 的图象与x 轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．

【答案】（1）983

b c ?=

???=?；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．

【解析】

【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式求得b 、c 的值；

（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x 轴有交点，由题意得到方程﹣

239

168

x x ++3=0，通过解该方程求得x 的值即为抛物线与x 轴交点横坐标． 【详解】（1）把A （0，3），B （﹣4，﹣

92

）分别代入y=﹣3

16x 2+bx+c ，

得3

39164162c b c =???-?-+=-??，

解得983

b c ?=???=?；

（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣316x 2+9

8

x+3， △=（9

8）2﹣4×（﹣3

16）×3=22564

＞0， 所以二次函数y=﹣316

x 2

+bx+c 的图象与x 轴有公共点， ∵﹣

316x 2+9

8

x+3=0的解为：x 1=﹣2，x 2=8， ∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．

【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．