二轮复习 概率与统计 教案(全国通用)
二轮复习 概率与统计 教案（全国通用）
一、统计与统计案例 1.抽样方法
三种抽样方法的比较
2.统计图表
(1)在频率分布直方图中：
①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝频率
组距；②各小矩形面积之和等于1；③中位数左右
两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值． (2)茎叶图
当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．
当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)． 3．样本的数字特征 (1)众数
在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)． (2)中位数
样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．学-科网 (3)平均数与方差
样本数据的平均数x －＝1
n (x 1＋x 2＋…＋x n )．
方差s 2＝1n
[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －
)2]．
注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．
(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定． 4．变量间的相关关系
(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x 和y 具有线性相关关系． (2)用最小二乘法求回归直线的方程 设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^
，则
?????
b ^＝∑i ＝1
n x i －x －
y i －y
－∑i ＝1
n x i －x
－2
＝
∑i ＝1n
x i y i －n x －y
－
∑i ＝1
n
x 2i －n x －
2
a ^＝y －－
b ^x
－.
注意：回归直线一定经过样本的中心点(x －，y －
)，据此性质可以解决有关的计算问题． 5．回归分析
r ＝
∑i ＝1n
x i －x
－
y i －y
－∑i ＝1
n
x i －x
－2∑i ＝1n
y i －y
－
2
，叫做相关系数．
相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度；|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越高，|r |越接近于0，相关程度越低． 6．独立性检验
假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
y 1
y 2
总计
x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计
a ＋c
b ＋d
a ＋
b ＋
c ＋d
则K 2＝
a ＋
b ＋
c ＋
d ad －bc 2
a ＋
b
c ＋d
a ＋c
b ＋d
，
若K 2>3. 841，则有95%的把握说两个事件有关； 若K 2>6.635，则有99%的把握说两个事件有关； 若K 2<2.706，则没有充分理由认为两个事件有关. 7.随机事件的概率
随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 8．古典概型
①计算一次试验中基本事件的总数n ；②求事件A 包含的基本事件的个数m ；③利用公式P (A )＝m
n 计算．
9．一般地，如果事件A 、B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．
10．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A 和A －不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (A －
)＝1－P (A )．
11．互斥事件与对立事件的关系 对立必互斥，互斥未必对立． 12．几何概型
一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度
D 的测度
.
高频考点一 事件与概率
例1．（2018年江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】
【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概
率为
【变式探究】某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0 1 2 3 4 ≥5 保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0 1 2 3 4 ≥5 概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】(1)设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.
(2)设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.1＋0.05＝0.15. 又P (AB )＝P (B )，
故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.150.55＝311，因此所求概率为3
11.
(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为
X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
EX ＝0.85a ×0.30＋a ×0.15＋1.25a ×0.20＋1.5a ×0.20＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.23a . 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23a
a
＝1.23.
【变式探究】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A ．1 B.1121 C.1021 D.5
21
解析 从袋中任取2个球共有C 215＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C 110C 1
5＝50种取法，所以
所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.
答案 C
高频考点二 古典概型
例2．【2017山东，理8】从分别标有1，2，???，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）
518 （B ）49 （C ）5
9
（D ）79 【答案】C
【解析】标有1， 2，
???， 9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片
上的数奇偶性不同的概率是11
5425
989
C C =? ,选C.
【变式探究】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.521 B.1021 C.11
21
D ．1 【解析】 (1)方法一：从袋中取出2个球的方法有C 215＝105(种)，取出1个白球的方法有C 110＝10(种)，取出
1个红球的方法有C 15＝5(种)，故取2个球，1白1红的方法有C 110C 15
＝50(种)，所以P ＝50105＝1021
. 方法二(间接法)：从袋中取出2个球的方法有C 215＝105(种)，若取出的2个球是同色的，则取出的方法有C 210＋C 25＝55(种)．
记“取出的2个球同色”为事件A ，则P (A )＝55105＝1121.
因此，取出的2个球不同色的概率为P ＝1－P (A )＝10
21
.
【变式探究】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15
B.25
C.35
D.45
高频考点三 随机数与几何概型
例3．（2018年全国I 卷理数）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，
p3，则
A. p1=p2
B. p1=p3
C. p2=p3
D. p1=p2+p3
【答案】A
【解析】设，则有，
从而可以求得的面积为，
黑色部分的面积为，
其余部分的面积为，所以有，
根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.
【变式探究】【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A．1
4
B．
π
8
C．1
2
D．
π
4
【答案】B
【变式探究】某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34
【答案】B 【解析】由题意知，小明在7：50至8：30 之间到达发车站，故他只能乘坐8：00或8：30发的车，所以他等车时间不超过10分钟的概率P ＝10＋1040＝12
.
【变式探究】从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n
m C.4m n D.2m n
【答案】C 【解析】由题意知，m n ＝π4，故π＝4m n ，即圆周率π的近似值为4m n .
高频考点四 条件概率与相互独立事件的概率
例4．【2017课标II ，理18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
附：
【答案】（1）0.4092；（2）见解析；（3）52.35kg （）
. 【解析】（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ” ， C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于
50kg ”
由题意知
旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为
故()P B 的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为
故()P C 的估计值为0.66 因此，事件A 的概率估计值为
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量50kg < 箱产量50kg ≥ 旧养殖法 62 38 新养殖法
34
66
由于
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为
，
箱产量低于55kg 的直方图面积为
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
．
【变式探究】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36
D ．0.312
解析 该同学通过测试的概率为p ＝0.6×0.6＋C 12×0.4×0.62＝0.648. 答案 A
【变式探究】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A ．0.8 B ．0.75
C ．0.6
D ．0.45
解析 由条件概率可得所求概率为0.60.75＝0.8，故选A.
答案 A
高频考点五 正态分布
例5．【2017课标1，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．
（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
之外的零件数，求
(1)P X ≥及X 的数学期望；学_科网
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
之外的零件，就认为这条生产线在这一天的
生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91
10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得
，
，其中i x 为抽取的第
i 个零件的尺寸，
．用样本平均数x 作为μ的估计值?μ
，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除
之外的数据，用剩下的数据估计
μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则
，
，
．
【答案】（1）0.0416.（2）（i ）见解析；（ii ）0.09. 【解析】
（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故
.因此
.
X 的数学期望为
.
（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16
个零件中，出现尺寸在
之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这
种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的. （ii ）由
，得μ的估计值为?9.97μ=， σ的估计值为?0.212σ
=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在
之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除
之外的数据9.22，剩下数据的平均数为
，因此μ的估
计值为10.02.
，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方
差为
，
因此 的估计值为
.
【变式探究】在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.
A ．2 386
B ．2 718
C ．3 413
D ．4 772 解析 由X ～N (0，1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.682 6， ∴P (0≤X ≤1)＝1
2
×0.682 6＝0.341 3，故S ≈0.341 3.
∴落在阴影部分中点的个数x 估计值为x 10 000＝S
1(古典概型)，
∴x ＝10 000×0.341 3＝3 413，故选C. 答案 C
【变式探究】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.
(ⅰ)利用该正态分布，求P (187.8 (ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用(ⅰ)的结果，求E(X)． 附：150≈12.2. 若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ P(μ－2σ 高频考点六离散型随机变量的分布列 例6．（2018年浙江卷）设0 ξ0 1 2 P 则当p在（0，1）内增大时， A. D（ξ）减小 B. D（ξ）增大 C. D（ξ）先减小后增大 D. D（ξ）先增大后减小 【答案】D 【解析】， ， ，∴先增后减,因此选D. 【变式探究】【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且 在各路口遇到红灯的概率分别为111 ,, 234 . （Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）11 48 . 【解析】 （Ⅰ）解：随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. ， ， ， . 所以，随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 14 1124 14 124 随机变量X 的数学期望 . （Ⅱ）解：设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数， Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 . 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 1148 . 【变式探究】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是2 3；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮 结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对3个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX . 解：(1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E ＝ABCD ＋A － BCD ＋AB － CD ＋ABC － D ＋ABCD － . 由事件的独立性与互斥性，得 P (E )＝P (ABCD )＋P (A － BCD )＋P (AB － CD )＋P (ABC － D )＋P (ABCD － ) ＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A － )P (B )·P (C )P (D )＋P (A )P (B － )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C － )P (D )＋P (A )P (B )P (C )·P (D － ) ＝34×23×34×23＋2×??14×23×34×23＋34×13×34× ??23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23 . (2)由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1 144 ， P (X ＝1)＝2×????34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572 ， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25 144， P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝1 12 ， P (X ＝4)＝2×????34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512 ， P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝1 4. 可得随机变量X 的分布列为 所以数学期望EX ＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝23 6 . 【变式探究】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检 测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)． 解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A . P (A )＝A 12A 13 A 25＝310 . (2)X 的可能取值为200，300，400. P (X ＝200)＝A 22 A 25＝110 ， P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 2 2 A 3 5＝310 ， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝6 10. 故X 的分布列为 X 200 300 400 P 1 10 310 610 E (X )＝200×110＋300×310＋400×6 10＝350. 高频考点七 均值与方差 例7．（2018年北京卷）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立． （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k 类电影得到 人们喜欢，“”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差 ， ， ， ， ， 的大小关系． 【答案】(1) 概率为0.025 (2) 概率估计为0.35 (3) > > = > > 【解析】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200× 0.25=50． 故所求概率为． （Ⅱ）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”． 故所求概率为P （ ）=P （ ）+P （ ） =P （A ）（1–P （B ））+（1–P （A ））P （B ）． 由题意知：P （A ）估计为0.25，P （B ）估计为0.2． 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35． （Ⅲ） > > = > > ． 【变式探究】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 【答案】0.1 【解析】这组数据的平均数为， ．故答案应填：0.1， 【变式探究】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( ) A.126125 B.65 C.168125 D.75 高频考点八抽样方法 例8．（2018年天津卷）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足 ．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3． P（X=k）=（k=0，1，2，3）． 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望． （ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则A=B∪C，且B与C互斥， 由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)， 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=． 所以，事件A发生的概率为． 【变式探究】【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且 在各路口遇到红灯的概率分别为111 ,, 234 . （Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）11 48 . 【解析】 （Ⅰ）解：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. ， ， ， . 所以，随机变量X的分布列为 X0123 P 1 4 11 24 1 4 1 24 随机变量X的数学期望. （Ⅱ）解：设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 .学科-网 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为11 48 . 【变式探究】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22．5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是() A．56 B．60 C．120 D．140 【答案】D【解析】由频率分布直方图可知，每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，所以每周的自习时间不少于22.5小时的人数是200×0.7＝140. 【变式探究】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为() A．167 B．137 C．123 D．93 解析由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选B. 答案 B 【变式探究】对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则() A．p1＝p2 C．p1＝p3 解析因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D. 答案 D 高频考点九频率分布直方图与茎叶图 例9．（2018年江苏卷）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________． 【答案】90 【解析】先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数。由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为 ，故平均数为 。 【变式探究】若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( ) A ．8 B ．15 C ．16 D ．32 解析 法一 由题意知，x 1＋x 2＋…＋x 10＝10x ， s 1＝ ， 则y ＝1 n [(2x 1－1)＋(2x 2－1)＋…＋(2x 10－1)] ＝1 n [2(x 1＋x 2＋…＋x 10)－n ]＝2x －1， 所以S 2＝ ＝＝2s 1，故选C. 答案 C 【变式探究】重庆市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是( ) 0 1 2 2 8 9 2 5 8 0 0 0 3 3 8 1 2 A ．19 B ．20 C ．21.5 D ．23 解析 从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B. 答案 B 高频考点十 变量间的相关关系及统计案例 例10．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是( ) 第三章 多维随机变量及其分布 一、教材说明 本章内容包括：多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数，随机变量的独立性概念，条件分布与条件期望。本章仿照一维随机变量的研究思路和方法。 1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是： （1）使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量 的独立性概念； （2）使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数； （3）使学生理解和掌握条件分布与条件期望。 本章的教学要求是： （1）深刻理解多维随机变量及其联合分布的概念，会熟练地求多维离散随机变量的联合分布列和多维连续随机变量的联合密度函数，并熟练掌握几种常见的多维分布； （2）深刻理解并掌握边际分布的概念，能熟练求解边际分布列和边际密度函数；理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法； （3）熟练掌握多维随机变量的几种函数的分布的求法，会用变量变换法求解、证明题目； （4）理解并掌握多维随机变量的数学期望和方差的概念及性质，掌握随机变量不相关与独立性的关系； （5）深刻理解条件分布与条件期望，能熟练求解条件分布与条件期望并会用条件分布与条件期望的性质求解、证明题目。 2、本章的重点与难点 本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数，难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法。 二、教学内容 本章共分多维随机变量及其联合分布、边际分布与随机变量的独立性、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数、条件分布与条件期望等5节来讲述本章的基本内容。 3.1 多维随机变量及其联合分布 一、多维随机变量 定义3.1.1 如果12(),(),,()n X X X ωωω???是定义在同一个样本空间{}ωΩ=上的n 个随机变量，则称1()((),...,())n X X X ωωω=为n 维随机变量或随机向量。 二、 联合分布函数 1、定义3.1.2 对任意n 个实数12,,,n x x x ???，则n 个事件 1122{},{},,{}n n X x X x X x ≤≤???≤同时发生的概率 121122(,,,){,,,}n n n F x x x P X x X x X x ???=≤≤???≤ 称为n 维随机变量12(,,,)n X X X ???的联合分布函数。 高中数学《概率与统计》教学设计 课题:1.3抽样方法 教学目的:1理解什么是系统抽样 2.会用系统抽样从总体中抽取样 教学重点:系统抽样的概念及如何用系统抽样获取样本 教学难点:与简单随机抽样一样,系统抽样也属于等概率抽样,这是本节课的一个难点;当总体中的个体数不能被样本容量整除时,可先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,使剩下的个体数能被样本容量整除,然后再按系统抽样进行,这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然是相等的.这是本节课的又一难点授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.在统计学里,我们把所要考察对象的全体叫做总体,其中的每一个考察对象叫做个体,从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本的容量.总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,样本中所有个体的平均数叫做样本平均数. 2.简单随机抽样:设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样 3.⑴用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为 N 1;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为N n;⑵简单随机抽样的特点是,逐个抽取,且各个个体被抽到的概率相等;⑶简单随机抽样方法,体现了抽样的客观性与公平性,是其他更复杂抽样方法的基础. 4.抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个编号(号码可从1到N,并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作,然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本适用范围:总体的个体数不多时 专题二 概率统计（文科） （一）统计 【背一背基础知识】 一．抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围． 二．用样本估计总体 1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的 频率 组距 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于 1； 2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征： （1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数； （2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数； （3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则()121 n x x x x n = +++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则 ()()() 2222 121n s x x x x x x n ? ?=-+-++-????L 叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定 统计与概率 第1课时统计与概率（1） 教学内容：教材第96页1、2题，练习二十一第1—3题 教学目标 1、使学生将统计的相关知识系统化、条理化。 2、使学生明确条形统计图、折线统计图和扇形统计图的特点及作用。 3、使学生进一步掌握复习整理的方法和策略。 重点难点 重点 分类、整理知识点 难点 条形统计图、折线统计图和扇形统计图的特点及作用。 教学准备 多媒体课件等。 教学步骤 一、复习导入 在日常生活和生产实践中，经常需要对一些数据进行分折、比较、研究，这样就需要进行统计。今天我们就一起来复习统计一部分的内容。 二、回顾与整理 教材等96页第1、2题。 1、我们学过哪些统计与可能性的知识？ （单复式）统计表 （单复式）统计图：条形统计图、折线统计图、扇形统计图 平均数：一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，通常用来表示统计对象的一般水平。 2、各种统计图都有什么特点？适合在什么情况下使用？ ①条形统计图 用一个单位长度（如1厘米）表示一定的数量，根据数量的多少，画成长短相应成比例的直条，并按一定顺序排列起来，这样的统计图，称为条形统计图。条形统计图可以清楚地表明各种数量的多少。 条形统计图的特点：（1）能够显示每组中的具体数据。（2）易于比较数据之间的差别。 ②扇形统计图 以一个圆的面积表示事物的总体，以扇形面积表示占总体的百分数图，叫做扇形统计图，也叫做百分数比较图。扇形统计图可以比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系。 扇形统计图的特点：（1）用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比。（2）易于显示每组数据相对于总数的大小。 ③ 折线统计图 以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化的统计图，叫做折线统计图，与条形统计图比较，折线统计图不仅可以表示数量的多少，而且可以反映同一事物在不 第一章随机事件与概率 第一节随机事件 教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念；掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。 教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。 教学难点：事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。 教学内容： 1、随机现象与概率统计的研究对象 随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。 研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。 2、随机试验（E） 对随机现象的观察。特点①试验可在相同条件下重复；②试验的所有可能结果不只一个，但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。 3、基本事件与样本空间 （1）基本事件：E中的结果（能直接观察到，不可再分），也称为样本点，用ω表示。 （2）样本空间：E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本空间，用Ω表示。 4、随机事件 （1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用A、B、C等表示。 （2）随机事件的集合表示 （3）随机事件的图形表示 必然事件（Ω）和不可能事件（E） 5、事件间的关系与运算 （1）包含（子事件）与相等 （2）和事件（加法运算） （2）积事件（乘法运算） （3）互斥关系 （4）对立关系（逆事件） （5）差事件(减法运算) 6、事件间的运算规律 （1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）对偶律 教学时数：2学时 作业：习题一1、2 第二节概率的定义 教学目的：掌握概率的古典定义，几何定义，统计定义及这三种概率的计算方法；了解概率的基本性质。 教学难点：古典概率的计算，频率性质与统计概率。 教学内容： 1、概率 用于表示事件A 发生可能性大小的数称为事件A 的概率，用P(A)表示。 2、古典型试验与古典概率 （1）古典型试验：特点①基本事件只有有限个；②所有基本事件的发生是等可能的。 （2）古典概率，在古典型试验中规定 P(A)= n k A =Ω中基本事件总数中含的基本事件数 3、几何型试验与几何概率 （1）几何型试验 向区域G 内投点，点落在G 内每一点处是等可能的，落在子区域1G 内(称事件A 发生) 的概率与1G 的度量成正比，而与1G 的位置和形状无关。 （2）几何概率。在几何型试验中规律定 P(A)= 的度量 的度量 G G 1 4、频率与统计概率 （1）事件的概率 设在n 次重复试验中，事件A 发生了r 次，则称比值 n r 为在这n 次试验中事件A 发生的频率，记为n r A f n =)( （2）频率的性质 ○11)(0≤≤A f n ；○21)(=Ωn f ；○30)(=Φn f ； ○4Φ=AB 时，)()()(B f A f B A f n n n +=+； ○5 随机性：r 的出现是不确定的；○6稳定性：)()(∞→→n p A f n （3）统计概率，规定 P(A)=P （4）统计概率的计算 n r A p ≈ )( (n 很大) 5、概率的基本性质 从以上三种定义的概率中可归纳得到： （1）0;1)(≤≤A P （2）1)(=ΩP 课题：1．7概率与统计 教学目的： 1能运用简单随机抽样、分层抽样的方法抽取样本； 2. 能通过对样本的频率分布估计总体分布； 3. 培养学生动手能力和解决实际问题能力通过例题，对本章部分内容进行一次复习．培养学生的探究能力以及分析与解决实际问题的能力 教学重点：统计在实际生活中的应用 教学难点：学生解决实际问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 二、讲解范例： 例1某中学高中部共有16个班级，其中一年级6个班，二年级6个班，三年级4个班.每个班的人数均在46人左右（44人－49人），各班的男女学生数均基本各占一半.现要调查这所学校学生的周体育活动时间，它是指学生在一周中参加早锻炼、课间操、课外体育活动、体育比赛等时间的总和（体育课、上学和放学路上的活动时间不计在内）.为使所得数据更加可靠，应在所定抽样的“周”之后的两天内完成抽样工作.此外还有以下具体要求： （1）分别对男、女学生抽取一个容量相同的样本，样本容量可在40－50之间选择 （2）写出实习报告，其中含：全部样本数据；相应于男生样本的 - - 1 x与 1 s，相 应于女生的 - - 2 x与 2 s，相应于男、女全体的样本的 - - x；对上面计算结果作出分 析. 解：（1）由于各个年级的学生参加体育活动的时间存在差异，应采用分层抽样；又由于各班的学生数相差不多，且每班的男女学生人数也基本各占一半，为便于操作，分层抽样时可以班级为单位.关于抽取人数，如果从每班中抽取男、女学生各3人，样本容量各为48（3×16），符合对样本容量的要求. （2）实习报告如表一所示. 1 .在本班范围内，就每名学生所在家庭的月人均用水量进行调查.调查的具 一、复习引入，提示课题。 统计在我们的生活中有着广泛的应用，例如，公司要了解一种产品的销售情况，就需要了解顾客群体，需求状况等数据，统计就是帮助人们整理和分析数据的知识方法。这节课我们就一起来复习统计的初步知识。 板书课题：统计图统计表 1.总体回顾。 师：我们以前都学过哪些统计的知识? （1）组织学生独立回答. 学生可能的回答有：我们学过简单的统计表，还有统计图。统计表里分为单式统计表和复式统计表。统计图里分为条形统计图、折线统计图和扇形统计图，引导学生说一说上述统计图表的优缺点。 2.学生自主整理。 师：同学们说的很全面，我们以前学习了这么多关于统计的知识，现在就请同学们用你们喜欢的方法，把这些知识进行系统的整理下。 （1）独立整理 （2）组内交流。（教师巡视指导，参与小组活动） （3）交流汇报。（师多找几个小组汇报，在对比中引导学生完善知识结构，优化整理方法，并完善板书。） 3.师：谁知道统计知识有什么用处？ （1）找不同学生独立回答. （1）教师做适当评价和补充。 在日常生活、生产和科学研究中，经常需要用到统计知识。例如，为了了解学生的身体发育情况，经常要测量学生的身高和体重，把测量得到的数据进行收集和整理，再制成统计表或统计图进行分析。又如，工厂要了解每天、每周、每月、或者每年的生产进度或产量，就需要进行统计；要了解本单位的工作效率，产品的质量，计算产品的合格率等，也需要进行统计。”(教师还可以帮助学生结合本地区的实际，再举出一些例子，说明统计知识的用处。) 三、重点复习，强化提高。 1.出示例1中的各统计图表： （1）师：同学们，下面是对六（1）班同学进行调配所搜集的几项数据，分别用统计表和统计图表示。第一幅是六（1）班男、女生人数统计表，第二幅是什么统计图？你能从中得到什么信息？ ①组织学生认真读题分析。. ②教师做相应的补充和评价。 师：扇形统计图有什么优缺点？ 学生回答，教师总结完善。 扇形统计图可以直观地反映各部分占总体的百分比，但不能反映部分的具体数量。 （2）第三幅图是什么统计图？你能得到什么信息？ ②教师做相应的补充和评价 师：条形统计图有什么优缺点？ 学生回答，教师总结完善。 条形统计图可以直观反映各部分的数量，也可直观比较各部分的多少，但不能看出各部分总体的百分比。 （3）第四幅图是一个折线统计图，折线统计图有什么优点 教案 2006-2007学年第二学期 课程名称：概率论与数理统计 课程编号： 学院、专业、年级：信工学院、计算机、二年级任课教师： 教师所在单位：信息科学与工程学院 山东师范大学 课程简介 《概率论与数理统计》课程是高等学校各理科专业学生的一门重要的基础必修课、学位课和研究生入学考试课，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。概率论与数理统计是本科相关各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的基础。通过本课程的学习，要使学生概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，利用概率论和数理统计的知识解决实际问题，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 教学大纲 课程名称：概率统计 课程编号：4111105 课程类别：基础课 学时数：76学时（理论76学时，实验0学时） 学分数：4 先修课程：高等数学、线性代数 适用年级：二年级 适用专业：计算机科学与技术 一、内容简介 本课程是信息科学与工程学院计算机专业基础课，内容包括概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。 二、本课程的性质、目的和任务 概率论与数理统计是本科相关各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的基础。 通过本课程的学习，要使学生概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。 通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，利用概率论和数理统计的知识解决实际问题，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 三、本课程与其它课程的关系 本课程是信息科学与工程学院计算机科学与技术专业的基础课。本课程的学习情况事关学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究生入学考试统考科目，关系到学生综合能力的培养。本课程的学习情况直接关系到学院的整体教学水平。 四、本课程的基本要求 基本了解概率论与数理统计的基础理论，充分理解概率论与数理统计数学思想。掌握概率论与数理统计的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地概率论与数理统计的思想方法解决应用问题。 五、课程内容与学时分配 （一）概率论的基本概念（12学时） 基本要求： 初中概率与统计教案 下面是为大家准备好了初中概率与统计教案，希望对你们有所帮助， 初中概率与统计教案一 教学目标 1.知识与技能目标：从具体的实例中知道扇形统计图的特点和作用，可以在生活中运用扇形统计图。 2.过程与方法目标：通过体验探索扇形统计图的特点和应用，发展学生推理能力，提升学生的抽象思维能力。 3.情感态度与价值观目标：在活动中体会数学的特点，了解数学的价值。 二、教学重难点 重点：从具体的实例中知道扇形统计图的特点和作用，可以在生活中运用扇形统计图。 难点：在活动中体会数学的特点，了解数学的价值。 三、教学过程 (一)创设情境，激趣导入 通过案例呈现扇形统计图运用的情境，导入课题。 (二)探究体验，构建新知 1.学生动手实践：分析一个扇形统计图，说明从中可以获取什么信息。 2.引导抽象概括：设置小组讨论，探讨扇形统计图的特点和应用。 3.知识拓展延伸：通过进一步讨论不同扇形统计图的信息表现方式 (三)课末总结，梳理提升 1.学生自主总结，教师启发点拨重难点。 2.同学们今天有什么收获呢? 3.扇形统计图的特点是什么呢? 四、布置作业 运用扇形统计图分析生活中的事件。 初中概率与统计教案二 一、随机事件和概率 考试要求 1.了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。 2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式。 3.理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。 二、随机变量及其分布 考试要求 1.理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。 2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用。 3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。 4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为 十二、概率与统计 【课标要求】 1．统计 ⑴从事收集、整理、描述和分析的活动，能用计算器处理较复杂的统计数据． ⑵通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果． ⑶会用扇形统计图、条形统计图、折线统计图表示数据． ⑷在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度． ⑸探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度． ⑹通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题． ⑺通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差． ⑻根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流． ⑼能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法． ⑽认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题．2．概率 ⑴在具体情境中了解概率的意义，运用列举法(包括列表和画树状图)计算简单事件发生的概率． ⑵通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值． ⑶通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题． 【课时分布】 概率与统计部分在第一轮复习时大约需要7个课时，其中包括单元测试．下表为内容及课时安排（仅供参考） 1、 2、基础知识 数据的收集与处理 ⑴通过调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论． ⑵条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额． ⑶我们把所要考察的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考察对象叫做个体．从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本．样本中包含的个体的个数叫做样本容量． ⑷普查是通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的． ⑸用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样． ⑹在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数．每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)称为频率． ⑺绘制频数分布直方图的步骤是：①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数； ③决定分点；④画频数分布表；⑤画出频数分布直方图． 数据的代表 ⑻在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数． ⑼将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． ⑽在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数． ⑾在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数． ⑿一组数据中的最大值减去最小值所得差称为极差． ⒀方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差． .则这组数据的 第四章统计与概率 1．50年的变化 第1课时 教案 一、教材分析 教材中首先利用“50年的变化”这一主题，对前面知识：数据的表示与处理进行了回顾，并且通过具体数据与图表，提高了学生对数据的认识、判断及应用能力，通过学生的研讨及实行操作过程，进一步培养学生合作交流意识及活动过程中的思维. 二、教学目标 1.回顾统计图的有关内容，经历数据的收集与处理，进一步发展学生的统计意识和数据处理能力. 2.通过具体问题情景，让学生感受一些人为的数据及其表示方式，可能给人造成的一些误导，提高学生对数据的认识、判断、应用能力. 三、教材重难点 重点：学生对我国50年来各项数据的收集与处理. 难点：认识数据可能造成的误导及统计图可能引起的错觉. 四、教学建议 教学过程中注意回顾数据的收集与处理，并在此基础上进行新的拓展. 五、教学过程 学 案 一、学习目标 回顾数据的收集与处理，正确认识、判断一些人为的数据及表达方式给人造成的一些误导. 二、方法规律与探究 通过具体实例，正确认识判断一些人为数据及表达方式给人造成的一些误导，从而提高学生应用能力. 三、练习 1. 时间/年 时间/年 1997 2000 2003 1997 2000 2003 甲校 乙校 2003年甲、乙两校学生参加课外活动情况统计图 科技活动 其他 60% 10% 甲校 乙校 ⑴甲、乙两校，哪个学校参加课外活动的人数增长较快？ 你同意他的看法吗？为什么？ 2.) 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 分数 ⑴将得分按下面要求分组：50—59分为第一组，60—69分为第二组，70—79分为第三组，80—89为第四组，90—99分为第五组，直观看，第几组的人数最多？第几组的人数最少？能求出最多的是最少的几倍吗？ ⑵实际上最多的是最少的几倍？图中所表现出来的直观情况与此相符吗？ ⑶这个图为什么会给人造成这样的感觉？ ⑷为了更为直观、清楚地反映实际情况，上图应做怎样的改动？ 四、参考答案(略) 莒南县汀水中学李克宝 第一章随机事件及其概率 概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域. 本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一. 【教学目的与要求】 通过学习，使学生理解随机事件和样本空间的概念；熟练掌握事件间的关系与基本运算。理解事件频率的概念；了解随机现象的统计规律性。知道概率的公理化定义；理解古典概型的概念；了解几何概率；掌握概率的基本性质（特别是加法定理），会应用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算。理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。掌握贝努里概型及有关事件概率的计算。 【教学重点】 事件的关系与运算；概率的公理化体系；古典概型的计算；概率的加法公式、乘法公式与全概率公式；条件概率与事件的独立性。贝努里概型。 【教学难点】 古典概率的计算；全概公式与贝叶斯公式的应用； 【计划课时】8 【教学内容】 第一节随机事件 一. 随机现象 从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用, 但直到20世纪初, 人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究. 概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的数学学科. 二. 随机现象的统计规律性 由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为E. 例如, 观察某射手对固定目标进行射击; 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数; 记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验. 随机试验具有下列特点: 1. 可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行; 2. 可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的; 3. 不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知. 《概率论与数理统计》课程教案 第一章随机事件及其概率 一．本章的教学目标及基本要求 (1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2)掌握随机事件之间的关系与运算,； (3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解 概率的公理化定义。 (5)理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。二．本章的教学内容及学时分配 第一节随机事件及事件之间的关系 第二节频率与概率 2学时 第三节等可能概型（古典概型） 2 学时 第四节条件概率 第五节事件的独立性 2 学时 三．本章教学内容的重点和难点 1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理 四．教学过程中应注意的问题 1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2）注意让学生理解事件 ,,,,, A B A B A B A B AB A ???-=Φ…的具体含义，理解 事件的互斥关系； 3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理； 5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回； 五．思考题和习题 思考题：1. 集合的并运算 和差运算－是否存在消去律 2. 怎样理解互斥事件和逆事件 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点哪些相同点 习题： 第二章随机变量及其分布 一．本章的教学目标及基本要求 (1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连 续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概 率； (2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布 律或密度函数及性质； 二．本章的教学内容及学时分配 第一节随机变量 第二节第二节离散型随机变量及其分布 离散随机变量及分布律、分布律的特征 第三节常用的离散型随机变量 常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时第四节随机变量的分布函数 分布函数的定义和基本性质，公式 第五节连续型随机变量及其分布 连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时第六节常用的连续型随机变量 常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时三．本章教学内容的重点和难点 a)随机变量的定义、分布函数及性质； b)离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何 事件的概率； 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 《概率论与数理统计》课程教案 第一章随机事件及其概率 一．本章的教学目标及基本要求 (1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2)掌握随机事件之间的关系与运算,； (3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。 了解概率的公理化定义。 (5)理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。二．本章的教学内容及学时分配 第一节随机事件及事件之间的关系 第二节频率与概率2学时第三节等可能概型（古典概型） 2 学时第四节条件概率 第五节事件的独立性 2 学时三．本章教学内容的重点和难点 1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理 四．教学过程中应注意的问题 1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2） 注意让学生理解事件,,,,,A B A B A B A B AB A ???-=Φ…的具体含义， 理解事件的互斥关系； 3） 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4） 古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排 列和组合，复习排列、组合原理； 5） 讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回； 五．思考题和习题 思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？ 2. 怎样理解互斥事件和逆事件？ 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？ 习题： 第二章 随机变量及其分布 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续 型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质； 二．本章的教学内容及学时分配 第一节 随机变量 第二节 第二节 离散型随机变量及其分布 离散随机变量及分布律、分布律的特征 第三节 常用的离散型随机变量 常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时 第四节 随机变量的分布函数 分布函数的定义和基本性质，公式 第五节 连续型随机变量及其分布 连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时 第六节 常用的连续型随机变量 常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学 概率与统计教案 【课标要求】 1．统计 ⑴从事收集、整理、描述和分析的活动，能用计算器处理较复杂的统计数据． ⑵通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果． ⑶会用扇形统计图、条形统计图、折线统计图表示数据． ⑷在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度． ⑸探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度． ⑹通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题． ⑺通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差． ⑻根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流． ⑼能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法． ⑽认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题．2．概率 ⑴在具体情境中了解概率的意义，运用列举法(包括列表和画树状图)计算简单事件发生的概率． ⑵通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值． ⑶通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题． 【知识回顾】 数据的收集与处理 ⑴通过调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论． ⑵条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额． ⑶我们把所要考察的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考察对象叫做个体．从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本．样本中包含的个体的个数叫做样本容量． ⑷普查是通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的． 高中数学概率统计教案 知识点一：随机变量的分布列与期望方差 1、随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母 ηξ,,,Y X 等表示． 2、离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中,a b 是常数，则η也是随机变量. 3、离散型随机变量分布列：设离散型随机变量X 可能取得值为1x ，2x ，…，i x ，…n x ，X 取每一个值i x (1,2,,i n =L )的概率为()i i P X x p ==，则称表 X 1x 2x … i x … n x P 1p 2p … i p … n p 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列．有时为了表达简单，也用等式()i i P X x p ==，1,2,,i n =L 表示X 的分布列． ★分布列的两个性质：①0i p ≥，1,2,,i n =L ；②121n p p p +++=L . 4、离散型随机变量期望：()1122i i n n E X x p x p x p x p =+++++L L 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 5、离散型随机变量方差：()()() 2 1 n i i i D X x E X p == -∑为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均 值()E X 的平均偏离程度．称()D X 为随机变量X 的方差，其算术平方根()D X 为随机变量X 的标准差． ★性质：若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且()()E aX b aE X b +=+. ★性质：若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且()()2 D aX b a D X +=． 6、常见离散型随机变量的分布列 （1）两点分布 （2）超几何分布：超几何分布的应用较两点分布广．在形式上适合超几何分布的模型由较明显的两部分组成，如“男生、女生”；“正品、次品”；“优、劣”等．即在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有 X 件次品，则事件{X k =}发生的概率为()k n k M N M n N C C P X k C --==，0,1,2,,k m =L ，其中{}min ,m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈，称分布列为超几何分布列. 红球： = 黄球：-------- 绿球：--------- 1 教学内 容 教学目 标 重 点 难 点 学习必备 欢迎下载 统计与可能性数学广角 1、判断可能性 2、计算可能性的大小 3、平均数，中位数 4、会编号 1、计算可能性的大小 2、平均数，中位数 1、计算可能性的大小 2、平均数，中位数 作 业 一、 知识点回顾 1、 判断一个游戏的规则是否公平，可以先找出最简单事件发生的所有可能性，事件发生的可能性 相同，则（ ）；可能性不同，则（ ）。我们设计公平游戏规则的原则：每种情 况出现的可能性要（ ）。 2、把一组数据按大小顺序排列后，最中间的数据就是（ ）。它的作用是 （ ）。它的求法是，单数个数据，按大小排 序最中间的一个；双数个数据，按大小排序后最中间两个数据的平均数。 3、我们在运用数字编码时，首先要确定编码所要包含的信息，再用数字合理编排。 二、 典型例题分析 例：一只口袋里装有 5 只红球，7 只黄球和 8 只绿球，这些球除颜色外其它都一样。从里面任意摸 一个球，摸到红球可能性是多少？摸到黄球，绿球呢？ 分析：先求口袋里一共有多少球，即一共有多少种可能摸到的结果，再分别求出摸到各种球的可能 性占全部结果的几分之几。 解答：5+7+8=20 5 1 20 4 仿真练习：要在一只口袋里装入若干个形状与大小都完全相同的红、黄、蓝不同颜色的球，使得从 口袋摸出一个红球的可能性为 ，应该怎么办？ 5 （1） 一共放 4 粒，摸到黑棋子的可能性是 。应该放（ ）粒黑棋子，放（ ） （2） 一共放 6 粒，摸到黑棋子的可能性是 。应该放（ ）粒黑棋子，放（ ） 三、 巩固与提高 （一） 填空 1、 右图中指针停在白色区域的可能性是（ ），停在黑色区域的可能性是 （ ）。 2、 新年到了，五（2）班同学进行抽签游戏，抽到的同学要表演一个节目，班上的男生有 28 人， 女生有 16 人，每个同学抽中的可能性是（ ）。女生被抽中的可能性是（ ）。 （ ）生被抽中的可能性较大。 3、 小红和小明猜数学老师的出生的月份，小红：“老师可能是 6,7 月份出生的。”小明：“老师 可能是第三季度出生的。”（ ）猜中的可能性大。 4、 五（2）班有 42 人，其中属虎的有 4 人，属鼠有 10 人，属牛有 28 人。任选一人，这位同学属 鼠的可能性是（ ），属虎的可能性是（ ）。 5、 在口袋里放黑、白围棋子，任意摸一粒，要符合下面的要求，分别应该怎么样放？ 1 2 粒白棋子。 2 3 粒白棋子。 6、 李老师的身份证编码是 4205031973002130110，李老师是（ ）年（ ）月 （ ）日出生的，性别是（ ）性。 7、 如果 060201 表示的意思是这间房子在 6 栋 2 单元 1 楼，那么 12 栋 3 单元 11 楼住户的房屋编 码是（ ）。 8、 下列一组数据的平均数是（ ），中位数是（ ）。 31 21 19 55 29 31 25 35 24 （二） 判断 1、 用橡皮做一个小正方体，在 6 个面上分别写上数字，淘气和笑笑各抛 30 次。你觉的下面那些 游戏规则是公平的？请在后面的括号里打“√”，不公平的打“×”。 （1） 正方体的 1 个面写“1”，两个面上写“2”，三个面上写“3”。“1”朝上淘气赢，“2” 朝上笑笑赢，“3”朝上谁也不赢不输。 （ ） （2） 正方体的两个面写“1”，两个面上写“2”，剩下的两个面不写，“1”朝上淘气赢，“2” 朝上笑笑赢，不写的朝上不算，重抛。 （ ） （3） 正方体 6 个面分别写上 1-6 这 6 个数字。朝上的数大于 3 的淘气赢，否则笑笑赢。（ ） （4） 正方体的三个面写“1”，三个面写“2”，“1”朝上淘气赢，“2”朝上笑笑赢。（ ） 2、 一组数据的平均数和中位数不可能相等。 （ ） （三） 分析问题 两人一组，各拿四张卡片 0,2,7,9.每人出一张，如果差为单数，那么甲胜，如果差是双数（不为 0） ，那么乙胜；如果差为 0，那么重新开始。 1、 这个游戏公平吗？ 2、 乙一定会输吗？为什么？ 概率论与数理统计教案 编写人： 第三章：多维随机变量及其分布 一、基本概念 1联合分布函数 设（Y X ,）是二维离散型随机变量，y x ,是任意实数， ),(),(Y Y x X P y x F ≤≤= 二维随机变量（Y X ,）的联合分布函数。 2.联合分布函数的性质 （1）单调性),(y x F 关于x(y)单调不减； （2）1),(0≤≤y x F ,0),(),(=-∞=-∞y F x F ,1),(=+∞+∞F ； (3) ),(y x F 关于x(y)右连续； (4)),(),(),(),(},{221221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤< 3．边缘分布函数 设（Y X ,）是二维离散型随机变量的联合分布函数为),(y x F ，则 ),(},{}{)(+∞=+∞≤≤=≤=x F Y x X P x X P x F X ， ),(},{}{)(y F y Y X P y Y P y F Y +∞=≤+∞≤=≤= 二维随机变量（Y X ,）的边缘分布函数。 二、离散型二维随机变量 1. 离散型二维随机变量的分布律 设),(Y X 是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(,),,1,2,,i j a b i j =令 },{j i ij b Y a X p p ===),,1,2,ij i j p P a b i j ξη=== = 称(;,1,2, )ij p i j =是二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布. 二维联合分布的三个性质： 11(1)0,,1,2,; (2)1 (3)()ij ij i j p i j p P a p p ξ∞ ∞ ==∞ ≥=====∑∑最新概率统计教案2
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