数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表
求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解:
(1)
故所求二次拉格朗日插值多项式为
(2)一阶均差、二阶均差分别为
例2、 设2
()32f x x
x =++,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=,{}span 1,x Φ=的最佳平
方逼近多项式。
解:
若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,且()1x ρ=,这样,有 所以,法方程为
011231261192
34a a ??????????=??????????
??????????
,经过消元得012311
62110123a a ???
???????=???????????????????? 再回代解该方程,得到14a =,011
6
a =
故,所求最佳平方逼近多项式为*
111()46S x x =+
例3、 设()x
f x e =,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=,{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近
多项式。
解:
若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,这样,有 所以,法方程为
解法方程,得到00.8732a =,1 1.6902a =, 故,所求最佳平方逼近多项式为
例4、 用4n =
的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1
?
。
解:
(1)用4n =的复合梯形公式
由于2h =,(
)f x =()121,2,3k x k k =+=,所以,有 (2)用4n =的复合辛普森公式
由于2h =,(
)f x =()121,2,3k x k k =+=,()12
220,1,2,3k x
k k +
=+=,所以,有
例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
解:先消元
再回代,得到33x =,22x =,11x =
所以,线性方程组的解为11x =,22x =,33x =
例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
解: 设
则由A LU =的对应元素相等,有
1114u =
,1215u =,1316u =, 2111211433l u l =?=,3111311
22
l u l =?=,
2112222211460l u u u +=?=-,2113232311
545l u u u +=?=-,
3112322232136l u l u l +=?=-,31133223333313215
l u l u u u ++=?=
因此,
解Ly b =,即12310
094
108382361y y y ??
????
???????
?=????????????????-?
?,得19y =,24y =-,3154y =- 解Ux y =,即1
231
1
14569110
460451541300
15x x x ??
???????
???????--=-???
???????-???????????
?
,得3177.69x =-,2476.92x =,1227.08x =- 所以,线性方程组的解为1227.08x =-,2476.92x =,3177.69x =-
1、若A 是n n ?阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ,使LU A =唯一
成立。 ( )
2、当8≥n 时,Newton -cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。( )
3、形如)
()(1i n
i i b
a x f A dx x f ∑?=≈的高斯(Gauss )型求积公式具有最高代数精确度的次
数为12+n 。( )
4、矩阵??
???
??=210111012A 的2-范数2A =9。( )
5、设??
??? ??=a a a a A 000002,则对任意实数0≠a ,方程组b Ax =都是病态的。(用∞?)()
6、设n n R A ?∈,n
n R
Q ?∈,且有I Q Q T
=(单位阵),则有22QA A =。()
7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的,且唯一。()1、( Ⅹ )2、
( ∨ )3、(Ⅹ )4、( ∨ )5、(Ⅹ )6、(∨ )7、( Ⅹ )8、(Ⅹ )
一、 判断题(10×1′)
1、 若A 是n 阶非奇异矩阵,则线性方程组AX =b 一定可以使用高斯消元法求解。(×)
2、 解非线性方程f (x )=0的牛顿迭代法在单根x *附近是平方收敛的。(?)
3、 若A 为n 阶方阵,且其元素满足不等式
则解线性方程组AX =b 的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。(×) 4、 样条插值一种分段插值。(?)
5、 如果插值结点相同,在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。(?)
6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 (?)
7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX =b 。(×)
8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(×)
9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。(?)
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(×)
1. 用计算机求1000
1000
11
n n
=∑
时,应按照n 从小到大的顺序相加。()
2. 为了减少误差,
应将表达式
(对)
3. 用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。()
4. 用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关,与常数项无关。()
复习试题
一、填空题:
1、?????
?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为
A ?
??
?????????=?
??????????
?。
答案:
??
????????--??????????--=1556141501
4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得?≈3
1_________
)(dx x f ,
用三点式求得≈')1(f 。 答案:2.367,0.25
3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2
x 的系数为,拉格朗日插值多
项式为。
答案:-1,
)2)(1(21
)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=
x x x x x x x L
4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有(2)位有效数字;
5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是();
答案
)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---
=+
6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1),=]4,3,2,1,0[f (0);
7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差;
8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为(1
2+-n a
b ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15); 11、 两点式高斯型求积公式?1
d )(x
x f ≈(
?++-≈1
)]
321
3()3213([21d )(f f x x f ),代数精度为(5);
12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
13、 为了使计算
32)1(6
)1(41310--
-+-+
=x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为
11
,))64(3(10-=
-++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式19992001-改写为
199920012
+。
14、 用二分法求方程01)(3
=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5,
1,进行两步后根的所在区间为0.5,0.75。 15、 计算积分?1
5
.0d x
x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268,用辛卜生公
式计算求得的近似值为0.4309,梯形公式的代数精度为1,辛卜生公式的代数精度为3。
16、 求解方程组???=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为
?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1
k k k k x x x x ,该迭代格式的迭
代矩阵的谱半径)(M =121
。
17、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿插值多项式为
)1(716)(2-+=x x x x N 。
18、 求积公式?∑=≈b
a
k n
k k x f A x x f )(d )(0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高,具有(12+n )次代
数精度。
19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求?5
1
d )(x
x f ≈(12)。
20、 设f (1)=1,f (2)=2,f (3)=0,用三点式求≈')1(f (2.5)。
21、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分
(10)次。
23、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则
∑==
n
k k
x l
)((1),∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((j x ),当2≥n 时=
++∑=)()3(20
4x l x x
k k n
k k (324++x x )。
26、改变函数f x x x ()=+-1(x >>1)的形式,使计算结果较精确()x x x f ++=
11
。
27、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分10次。
29、若用复化梯形公式计算?1
0dx
e x ,要求误差不超过610-,利用余项公式估计,
至少用477个求积节点。
30、写出求解方程组
??
?=+-=+2
4.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式
()()
()() ,1,0,4.026.111112211=???+=-=+++k x x x x k k k k ,迭代矩阵为
????
??--64.006.10,此迭代法是否收敛收敛。 31、设
A =?? ?
??
5443,则=∞A 9。 32、设矩阵482257136A ????=??
????的A LU =,则
U =4820161002U ??
????=??
??-????。 33、若4
321()f x x
x =++,则差商2481632[,,,,]f =3。
34、数值积分公式1
12
18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为
2。