合分比定理

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合比性质和等比性质

田伟德

教学目的：

1、掌握合比和等比性质，并会用它们进行简单的比例变形；

2、会将合比与等比性质用于比例线段；

3、提高学生类比联想推广命题的能力。

教学重点、难点：熟练并灵活运用合比、等比性质

概念:

【合比定理】

在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理。

即：如果a c

b d

=，那么(0,0)

a b c d

b d

=≠≠

【分比定理】

在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理。

即：如果a c

b d

=，那么(0,0)

a b c d

b d

=≠≠

【合分比定理】

一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比。这叫做比例中的合分比定理。

即：如果a c b d =，那么(0,0,0,0)a b c d b d a b c d a b c d

++=≠≠-≠-≠-- 【更比定理】

一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例

. 即：如果a c b d =，那么(0,0,0)a b b c d c d

=≠≠≠ 推论: 如果

312123123...(...0)n n n a a a a b b b b b b b b ====++++≠ 那么()()

12311231......n n a a a a a b b b b b ++++=++++ 教学过程：

一、用特殊化的方法探索合比性质

1、复习平行线等分线段定理。

如图（1），已知一组平行线在直线l 上截得AB=BC=CD=DE=EF ，则由平行线等分线段定理可以得到，在l /截得的各对应线段也相等，即A /B /=B /C /=C /D /=D /E /=E /F /。

(a) 图（1） (b)

2、将上述结论改写成比例形式，可以猜想结论：从图（1 a ）中分解出图（1 b ），由一组平行线可得出23////==F D D A DF AD 。观察DF DF AD +与//////F

D F D D A +的关系并对一般情况做出猜想：若有23////==F D D A DF AD ，则有DF DF AD +=//////F

D F D D A +=25。猜想：如果d c b a =，那么d

d c b b a +=+。

3、证明猜想，得出合比性质。

（1）启发学生观察已知与未知的关系，寻找证明思路。证法一（设比法）设k d

c b a ==，则dk c bk a ==, ∵1,1+=+=++=+=+k d

d dk d d c k b b bk b b a ∴

d d c b b a +=+ 证法二（利用等式的性质） ∵d c b a =，∴11+=+d c b a 即d

d c b b a +=+ （2）类比联想，得到分比性质：如果

d c b a =，那么d d c b b a -=-。让学生用以上两种证法中的一种证明。

得合比性质：如果

d c b a =，那么d d c b b a ±=±。（3）理解合比性质的内容，会用语言叙述。

4、类比联想，将合比性质进行推广。

合比性质的表达式中：

（1）比例式的第二、四比例项保持不变；

（2）比的前、后项对应求和或差（作为新比例式的第一、三比例项）

对此做出以下类比联想，并使用比例的性质进行证明。

猜想一如果d c b a =，那么,c d c a b a ±=±或d

c c b a a ±=±。猜想二如果

d c b a =，那么d kd c b kb a ±=±，或d nd mc b nb ma ±=±。说明：对于推广后的问题，教师证明，教会学生解题的基本方法，基本思考方法主要有两种：

（1）通过某种方法，将它化为利用原合比性质的结果。

证明时，可让学生灵活使用以下变形的方法，将问题转化为合比性质。 ①同时交换比例的内项各外项（更比），如

d c b a =?a c b d d b c a ==,等 ②同时交换比的前项、后项（反比）如d c b a =?c

d a b =。如证明猜想一时

反比d c b a =c d a b =合比c c d a a b ±=±等式性质d d c a b a ±=±反比d

c c b a a ±=±。（2）对原合比性质的证明方法进行类比联想来重新证明。可用“设比法”。

另外还可以有

猜想三如果d c b a =，那么b

d b a c a ±=±；猜想四如果

d c b a =，那么d d b c c a ±=±。让学生课后证明。

二、利用合比性质来证明等比性质的特例，并进行推广。

1、练习。利用更比、合比性质证明（强调用合比性质证明）如果d c b a =。求证：（1）d d b c c a +=+；（2）d

c d b c a =++。证明：

d c b a =?+=+?=?d d b c c a d b c a d c d b c a =++ 2、观察上述练习的结论，并对一般情况作出猜想，对练习1中相等的比值的个数进行推广。如果

)0(≠+???+++=???==n c d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =+???+++???++（或d c 等等） 3、利用“设比法”进行证明，得出等比性质，见课本205页。

4、强调证明方法（设比法）：设几个相等的比的比值为k ，表示出每一个比的前项（或后项），利用代数运算证明比例式，这种思想在比例的问题中经常用到。

5、将合比性质进行推广：如果

n m d c b a =???==，那么b a n s d s b s m s c s a s k k =+???+++???++2121（或d c 等等）。含义：只要相等的比中前项、后项的对应项的系数相同，就可以使用等比性质。证明方法：只需每个比的前项、后项乘以相应的系数即可。

三、合比、等性质的简单应用

例1 填空：

（1）已知38=+y y x ，则=y x ，=-y

x y ；

（2）已知)032,0(75≠-+≠++===f d b f d b f e d c b a ，则=++++f

d b

e c a ， =-+-+f

d b

e c a 3232 。（可直接用结论，也可简单讲解求解过程）（3）已知：643z y x ==，则=-+y x y x ，=-+x

z y x 2423 。说明：讲解过程中要写出解题过程，示范给学生看。

四、小结

在学生回忆基础上，师生共同小结：

1、合比性质、等比性质及常用变形，尤其要请注意等比性质的使用条件；

2、证明两个性质时所用到的“设比法”要记得；

3、类比联想，推广命题，由特殊猜想一般，再进行证明的方法。

五、作业：（1）已知32=y x ，求y

x x y +-的值；（2）已知4

32z y x ==，求x z y z y x -+-+的值；（3）已知9

4===f e d c b a ，052≠+-f d b ，求f d b e c a 5252+-+-的值。（要求写出解题过程）

六、课后练习

1、已知35a b a -=，那么a b

等于（） 2、若a c b d

=，那么下列等式成立的是（） 3、若:3a b =，则

a b b -== 4、若:3:2a b =，则a b a

=- 5、若340(0)x y x -=≠，则

x y x += 6、如果52x y x y +=-，那么x y

等于 7、已知457x y z ==，则2x y z

-= 8、若a c e b d f

==，则下列式子中正确的是（） 9、已知32a c e b d f ===,则22a c e b d f

+-+-= 10、若,,,347

x y z x y z ==均不为0，则3x y z x y z -+-+的值是 11、已知578

a b c ==，且329a b c -+=，则243a b c +-的值是 12、若,,a b c 分别是ABC ?的三边且有

b a

c k a c b c a b ===+++，则k = 13、已知,,a b c 为非零实数，且满足b c a b a c k a c b

+++===，则一次函数(1)y kx k =++ 的图像一定经过象限。

14、在ABC ?中，若5sin sin sin 2

a b c A B C ===,且3a b c ++=，则sin sin sin A B C ++= 15、在ABC ?中，若sin sin sin a b c A B C ==，证明：sin sin sin a b A B c C ++=