圆-第10讲圆幂定理圆中比例线段6学
圆幕定理是初中平面几何中重要定理之一，在有关计算和证明中应用非常多，尤其是在证明圆中线段 比例式（或等积式）时，能有效地考査学生综合运用相似形和圆的有关知识分析.解决问题的能力，因而 成为全国各省市中考及数学竞赛命题的一个热点，切实加强这方面知识的复习与训练，全面掌握这类问题 的证明思路和方法，对每一个同学都非常重要.
此外，证明圆中线段比例式（或等积式）的基本思路有（1）利用平行线分线段成比例定理；（2）利用相 似三角形给出证明；（3）利用圆幕定理给出证明；（4）利用面积或三角函数给出证明.
一、 基础知识
1、 相交弦定理
如果圆内两条弦AB 和CD 相交于点P,那么PA ?PB=PC ?PD （如下图1）；
2、 割线定理
如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和PCD,那么PA ?PB=PC ?PD （如下图2）；
3、 切割线定理
如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和切线PC,那么PA ? PB=PC2 （如下图3）；
上述三个定理统称为圆基定理?实际上，可以把切割线定理看作是割线定理的极限情形，于是上述三 个结论可以合并为：如果交点为P 的两条宜线与圆O 相交于A 、B 与C 、D,那么就有PA ?PB=PC ?PD, 这里P 、A. B 共线及P. C\ D 共线；
二 例题
例 1 （★）已知，如图 AB 是OO 的弦，P 是 AB 上一点,AB=10cm, PA=4cm, OP=5cm,求：OO 的半径?
例2 （★）如图，已知OOi 和002相交于CD 两点.其外公切线AB 分别切OO K OO2于点AB,求证: 直线CD 平分线段AB.
例3 （★）如图，E 是圆内弦AB. CD 的交点，直线EF 〃CB,交AD 的延长线于F, FG 切圆于G,连
第十讲
扇定理, 中比例线段
结EG,求证：ZFEG=ZFGE.
例4 (★★)如图，PA切OO于A, PBC是OO的割线，M是PA的中点，MC交QO于N, PN的延长线交OO于D,连结BD,求证：PA/7BD;
例5 (★★)如图，已知B是线段AC上任一点，在AC同侧分别以AB、AC为直径作两个半圆4〃出、
A H C ,若CD切半圆如于点D, EBXAC, B为垂足，且交半圆MC于E, M是DE的中点，求证:
CM 丄DE.
例6 (★★)如图，a21 ABC中，AB>AC,如果/ABC的内切圆把BC边上的中线AD三等分，求证: BC=2AC；
例7 (★)图中,AB是OO的直径.宜线MN切OO于点C, AD丄MN于D, AD交OO于E, AB的延
长线交MN于点P,求证：AC2=AE ? AP；
例8(*)如图，Z1ABC中，ZA的平分线AD交BC于D, 0OJ±点A,且和BC切于点D,和AB. AC分别相交于E、F, AD与EF相交于G,求证：BD - EG=BE - EA；
例9 (★★)如图，已知BC是圆中一条弦，EF切圆于A, AD丄BC于D, BE丄EF于E, CF丄EF于F, 求证：AD2=BE ? CF；
例10 (★, 2002年东城区中考)如图，P是OO的直径AB延长线上一点，割线PCD交OO于C. D两点,弦DF 丄AB于H, CF交AB于点E,求证：PA ? PB=PO ? PE；
例11 (★)如图，已知PA. PB是0O的切线，切点为A. B, PCD是割线，求证:
AC ? BD=AD ? BC
例12（資）如图，BC是圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A, AD丄BC于点D,求证：PD ? PO=PC ? PB
例14 （★★,托勒密定理）求证：在圆的内接四边形ABCD中，AB?CD+BC? AD=AC?BD
例15 （★★★, 96年全国初中数学联赛）设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M,过M作AD
的平行线分别交AB. CD 于E. F,交BC 的延长线于点O, P 是以O 为圆心.以OM 长为半径的圆上一 点，求证：ZOPF=ZOEP ；
A ￡ B
三、 练习题
1. (★)如图，PA 为OO 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA = 10cm, PB=5cm,求OO 的半径?
2. (★)过OO 外一点P 作OO 的两条切线PA. PB,连结OP 与AB 交于D,与OO 交于C,过C 作
AP 的垂线，垂足为 E,若 PA = 10cm, PC=5cm,则 CE= __________ ；
3. (★★) AB. AC 分别是OO 的切线与割线，若ZC=45° , ZBDA=60° , CD= >?6 ,求切线AB 的 长;
4. (★★)如图A 、B 、C. D 四点在同一个圆周上，且BC=CD=4, AE=6,线段BE 和DE 的长都是 正整数，则BD 的长等于 _________ :
P