数学建模-创意折叠桌
创意平板折叠桌
摘要
本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。
针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。
针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用Lingo软件编程求出部
分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。
针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。
关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何
一、问题重述
创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。
就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下，建立数学模型分析研究下面的问题：
（1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
（2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。
（3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。根据建立的模型设计创意平板折叠桌，并给出相应的设计加工参数及动态变化过程的示意图。
二、问题分析
本题研究的创意平板折叠桌问题，问题一至三，都是研究折叠桌在制作过程中的设计加工参数，本着同样的思想，建立数学模型，全面的考虑各方面的影响因素，求出最优解。
问题一是利用所给的已知条件，求解折叠桌在运动及设计方面的问题。首先使用已知量得出组成折叠桌的每条木条的长度，再利用等效替代[]2的思想建立模
型对折叠桌折叠的动态过程进行描述，最后观察总结求出设计加工参数以及桌角边缘线。
问题二是求最优设计加工参数的问题，在折叠桌制作过程中影响因素有很多个，选取用材最少作为目标函数，将产品稳定性及加工是否方便作为约束条件，
建立模型，利用Lingo软件求取某些参数的最优解，借助这些最优参数，得出全
面的最优设计加工参数。
问题三是求适用于不同桌面形状的设计加工参数的模型的建立，首先建立不同形状桌面的求设计加工参数的模型，观察建立的模型，找出其中的共同处，建立通解模型，在任意输入折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状的数据，求解，将得到的数据汇总，并用Matlab软件编程，绘制动态变化过程。
三、模型假设
1、假设相邻木条间紧密相连，无缝隙，木条总宽度就是桌面的宽度；
2、假设木板宽度等于圆桌面的直径；
3、假设桌面与腿接口处的缝隙可以忽略不计；
4、假设加工过程中的误差可以忽略不计；
5、假设圆桌面的圆心与长方形模板的对角线的交点重合。
四、符号说明
五、模型的建立与求解
5.1实施过程
1Step ：定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，使用弦长公式[]1，计算出除
最外两侧的其余弦的长度，将数据导入Matlab 软件中使用cubic 方式拟合[]4，得出最外侧的弦长，从而得出最外侧腿的长度；
2Step ：引用等效替代[]2的思想，建立数学模型，将折叠桌的动态变化转化为最
外侧桌腿和竖直方向的角度的变化，编写程序；
3Step ：根据观察出的桌腿与木槽长度的关系，对木槽求解。对桌脚边缘线的描
述，建立三维坐标系，引用空间直线方程[]3，求出边缘线上点的坐标，最后画出边缘线的图像。
5.2 1Step 的求解——计算弦长和桌腿长
给定的长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm ，每根木条宽2.5 cm ，命圆桌面的弦长方向与木板长度方向平行，利用弦长公式[]1对除最外侧的18条弦长求长度，将求出的数据拟合，得出最外侧弦长的长度。
为求弦的半弦长，建立以下的数学模型：
)2/1(22i )))i 11(*5.2(25(--=p 10,,3,2i =
i 21i -=p p 19,,12
,11i =
i p ：从边缘最外侧数起第i 条半弦长 20,,2,1i =
表1 折叠桌圆桌面的18条半弦长
根据以上表1中的数据，因为呈对称性，所以随机选取右半边的数据导入
Matlab 中编程拟合【见附录一】
，得出i =1、20时的弦长。
图一 Matlab 软件对数据拟合
由上图cubic 方式拟合，得出最外侧木条的半弦长为6.18cm ，因此可以得出
折叠桌桌腿的长度Q 为53.82cm 。 5.3 2Step 的求解——建模求解
创意平板折叠桌的折叠变化过程是很复杂的，由此引用等效替代[]2的方法将复杂的问题在不改变结果的情况下转化为简单明了的问题。将折叠椅的变化过程
转化为桌腿与桌高的夹角变化情况。 建立了以下的数学模型：
π
θ180
*82.53arccos ??? ??=H ()500≤≤H
θ：桌腿与竖直方向的夹角
Q ：边缘最外侧桌腿的长度
H ：桌子高度
因为平板尺寸的厚度为3cm ,所以折叠桌的真实桌高为50cm 。
根据上述的模型利用Matlab 软件编写出程序【见附录二】，随意输入一个在
范围内的桌高
H 都可以得到桌子再此高度时桌腿与竖直方向的夹角，根据角度的变化，反映出折叠桌在折叠过程中的变化情况。借用此模型求出在固定的位置桌腿与竖直方向的夹角为 717.21。
编写程序【见附录三】折叠桌折叠过程中的动态示意图：
图二 折叠桌变化过程
5.4 3Step 的求解——设计加工参数及桌角边缘线 5.4.1设计加工参数
根据对所给题目的观察与理解，已知连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，由此可以得出所开木槽长的限制范围。为了最后展现出桌脚边缘线的弧度，可以得出木槽长度由边缘到中间是逐渐递增的。折叠桌是对称的，因此只取左半边作为研究即可。
为求木槽长度建立的数学模型是：
i
i 60p q -=20,,2,1i =
i i q Q l -= 20,,2,1i = i p ：从边缘最外侧数起第i 条半弦长 i q ：从边缘最外侧数起第i 根木条的长度
i l ：从边缘最外侧数起第i 根木条开槽的长度
Q ：边缘最外侧桌腿的长度
由以上的模型求解，将得到的解绘制成以下的表2：
表2 折叠桌各桌腿的长度及开凿木槽长度
5.4.2桌角边缘线的数学描述
为了能客观且准确的描述出桌角边缘线，采用了三维坐标的描述方法，将桌面圆心作为坐标轴的原点，圆心地面的垂直方向向上作为三维空间坐标轴的z 轴，原点与木条长度延伸方向作为三维空间坐标轴的x 轴，原点与垂直弦的方向作为三维空间坐标轴的Y 轴，由此建立的坐标系，引用的空间直线方程[]3，求出桌角边缘线上点的坐标。
桌子撑开后，利用两点坐标求第三点未知坐标，通过第i 根木条与桌面的交点),,x 11i11i i i z y M （20,,2,1i =与第i 根木条的钢筋的位置的坐标点
),,(2222i i i i z y x M 20,,2,1i =确定空间直线方程可以求出第i 根木条上桌
脚边缘线的点),,(i i i i z y x M 。
空间直线方程：
1
21
121121i i i i i i i i i i i i z z z z y y y y x x x x --=--=-- 20,,2,1i =
()111i i i z y x ，
， ：第i 根木条与桌面的交点坐标 ()222i i i z y x ，， ：第i 根木条钢筋位置的坐标
()i i i z y x ，， ：第i 根木条上桌脚边缘线的点的坐标
根据以上的方程，把桌角边缘线上所有点的坐标求出来绘制表格，见下表3：
表3桌角线上点的坐标
将表3中的坐标点导入到Matlab软件中编写出程序【见附录四】，画出折叠桌折叠后的桌角边缘线的三维视图。
图三折叠桌折叠后的桌角边缘线三维视图
六、最优设计加工参数
6.1实施过程
Step：先对折叠桌桌脚与钢筋受力分析，观察桌脚到桌面的投影，确定稳定性1
最优点；
Step：将用材最少作为目标函数，将产品稳定性及加工是否方便作为约束条件，2
建立最优化模型[]5，把建立的最优化模型使用Lingo软件编写程序求出最
优解；
Step：根据求出的最优解、各参数之间的关系，确定所求折叠桌的最优设计加3
工参数。
6.2 1
Step的求解——稳定性
通过对不同状态的折叠桌做受力分析可以得知，四个受力脚在桌平面的投影是圆内切矩形时四个角的承受力最强，即桌子腿的四脚在桌面的投影是圆的内切矩形稳定性最好。
图四桌脚到桌面的投影及桌腿与地面夹角图
α：边缘桌腿与地面的夹角
p:最外侧边缘的半弦长
Q:边缘最外侧桌腿的长度
由图四分析出折叠桌稳定性最高的形式，并对其分析为2
Step的求解做前提的准备条件。
6.3 2Step 的求解——建立最优化模型 6.3．1建立最优化模型，求解
在造型美观的基础上，将用材量作为目标函数，根据1Step 所做的前提，将其中的影响因素例如折叠桌的稳定性、加工是否方便作为约束条件，建立以下的数学模型：
目标函数： d b **=80mi n
ααtan /)]70(tan *220[b p --=
α
αsin )
)tan *220()220(()
2/1(22
p Q -
+=
)]70tan *220)(1(sin sin cos )
)tan *220()220[((*2)
(22)
2/1(22
b Q p d +--++=+=ααα
α
α 约束条件： b
Q p Q p ->>>+700
80
α：边缘桌腿与地面的夹角
b :平板尺寸的厚度 d :平板尺寸的长度
p :最外侧边缘的半弦长
Q :边缘最外侧桌腿的长度
根据以上的模型使用Lingo 软件，编写程序【见附录四】，求解出模型中未知量的最优解，结果如下：
Variable Value Reduced Cost
A 1.213876 0.000000
B 1.250397 0.000000 X 2.261767 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 12800.00 -1.000000 2 2.363894 0.000000 3 8.867094 0.000000 4 0.000000 -160.0000 5 11.25991 0.000000
6.3．2最优平板尺寸
由上面Lingo 对模型所求出的最优解，可以从上面的数据读取出以下最优平板
尺寸：
木板（条）的厚度cm 25.1=b
桌腿与地面的夹角 57.69=α ，因此，桌腿与竖直方向的夹角 43.20=θ 最外侧边缘的半弦长cm 0598.2p = 木条的宽度cm 261767.2k =
边缘最外侧桌腿的长度cm 53.78=Q
木板（条）的长度cm 1796.161d =
为了使加工方便，将木条的宽度取2.3cm ，于是，80cm 直径的桌面由34根宽为2.3cm 的木条和一根宽为1.8cm 的木条，为了秉持着加工方便及桌子的对称性原理，把1.8cm 的木条放在最中间。 6.4 3Step 的求解——最优设计加工参数 6.4．1最优开槽长度
最优设计加工参数的求解过程与第一问中1Step 和3Step 的求解模型是类似的，只是木条编号i 有所改变，因此对模型修改得：
)
2/1()
))18(*3.29.0(40(2
2i p i -+-= 18,,3,2i =
i i p p -=36 34,,20,19i = i i p d q -=2/ 35,,2,1i =
i i Q l q -= 35,,2,1i = i p ：从边缘最外侧数起第i 条半弦长 i q ：从边缘最外侧数起第i 根木条的长度
i l ：从边缘最外侧数起第i 根木条开槽的长度
Q ：边缘最外侧桌腿的长度
将以上的模型带入数值求解，得到最优设计加工参数，见下表4：
表4 最优开槽长度
6.4．2最优钢筋位置
钢筋位置可以根据最中间木条开的槽的长度来确定，钢筋虽然是不会弯曲的，但钢筋是出于相对运动状态的，于木条间的木槽，钢筋是由槽的最下端移动到最上端，所以钢筋的最初位置是可以根据最中间的木槽确定出来。
钢筋起先位于每个木槽的上端，将在木板处于水平状态时钢筋位置距圆桌面圆心的距离为L ，为求钢筋位置建立数学模型为：
中中
中p l q L +-=
2
中p ：从边缘最外侧数起中间的半弦长 中q ：从边缘最外侧数起中间木条的长度 中l ：从边缘最外侧数起中间木条开槽的长度
对以上的模型带入2Step 中所求出的最优数据，求得最优钢筋的位置是在木板处于水平状态时，距离圆桌面圆心41.3248cm 处为最优位置。
七、模型的应用
7.1实施过程
1Step ：全面考虑多种折叠桌桌面的形状，分别就该形状的建立数学模型，找出
各个模型的共同点，尽量汇总出一个通用模型；
2Step ：根据建立的数学模型，随机取折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌
脚边缘线的大致形状，求解出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数；
3Step ：设计的创意平板折叠桌，并给出相应的设计加工参数，画出动态变化过
程的示意图。
7.2 1Step 的求解——建立模型 7.2.1圆形桌面的模型
目标函数： d b K **=min
ααtan /)](tan *22[b H K p --???
?
??= α
αsin ))tan *22
(
)22((
)2/1(22p K K Q -
+=
)]
tan *22
)(1(sin sin cos ))tan *22()22[((*2)
(22)2/1(22b H K K K Q p d +--++=+=ααα
αα
约束条件： b
H Q p K
Q p ->>>+0
α：边缘桌腿与地面的夹角
b :平板尺寸的厚度
d :平板尺寸的长度
p :最外侧边缘的半弦长
Q :边缘最外侧桌腿的长度
K ：木板的宽度
H ：桌子高度
7.2.2椭圆形桌面的模型
将椭圆近似的看成是矩形和两个半圆组成的图形，研究椭圆形的性质，建立椭圆形桌面的模型。
()K
b H -=2arctan
α 22
)(2sin b H K b H Q -+??? ??=-=α
22)(222b H K a Q a d -+??
?
??+=+=
目标函数： d b K **=min
约束条件： H b b H K =+-+??
?
??22
)(2*sin α
H d K
=+αtan *2
K b b H K >+-+??
? ??2
2
)(2 a ：组成椭圆的矩形的长 K ：木板的宽度 H ：桌子高度
α：边缘桌腿与地面的夹角
b :平板尺寸的厚度 d :平板尺寸的长度
Q :边缘最外侧桌腿的长度
7.2.3正六边形桌面的模型
当桌面为正六边形时，研究正六边形的性质，建立正六边形桌面的模型。
d a **=3min α
sin b
H Q -=
Q a d *+=2
目标函数： ()??
? ??
-*+**=αsin 23min b H a a
约束条件： ()0
sin 22
>->+-*+>b H H b b H a b α
a ：正六边形边长 H ：桌子高度
α：边缘桌腿与地面的夹角
b :平板尺寸的厚度
d :平板尺寸的长度
p :最外侧边缘的半弦长
Q :边缘最外侧桌腿的长度
7.3 2Step 的求解——模型求解
输入桌折叠桌高度为50cm ；桌面边缘线的形状为椭圆形；椭圆的短半径为15cm ；其中的矩形长为30cm ；桌脚边缘线大致为椭圆半弧形。将数据带入到建立的数学模型中，使用Lingo 软件编程【见附件六】求出最优解。
由上面Lingo 对模型所求出的最优解，可以得出以下最优平板尺寸： 木板（条）的厚度cm 469136.2=b
桌腿与地面的夹角 4849.72=α ，因此，桌腿与竖直方向的夹角 5151.17=θ 边缘最外侧桌腿的长度cm 8416.49=Q
木板（条）的长度cm 6832.129d =
在上面的计算中充分体现出建立的数学模型可以应用到实际的计算中，具有实用价值，因此建立的模型是有意义的。
7.4 3
Step的求解——设计折叠桌，画出动态变化过程图
将2
Step中求解出的木板的尺寸大小带入圆形桌面的模型中，将新建立的模型使用Matlab软件中编写出程序【见附录七】画出折叠桌的动态变化示意图。
图五折叠桌动态变化示意图
八、模型改进与推广
8.1 模型优缺点
8.1.1 模型优点
1、本文主要采用最优化模型，充分利用专业数学软件计算，可靠性很高；
2、本文忠于计算所得真实数据，避免盲目假设；
3、模型和分析内容比较完整，充分考虑各方面因素；
4、原创性很强，文章中所有模型均为自行推导建立的。
8.1.2模型缺点
1、模型准确性不高，利用模型所得数据存在保留有效数字；
2、最优化模型的约束条件有点简单，未能充分考虑桌脚边缘线。
8.2 模型的推广
本论文建立的模型应用性比较广，对于同一类型的桌面，设计不同尺寸的创意平板折叠桌，可以使各加工参数达到最优。本模型可推广到折叠椅、折叠床、折叠门等领域。同时，本模型利用计算机程序实现了对问题求最优解，可用于各种与此类型相关的场合。
九、参考文献
【1】吕林根，许子道，《解析几何》第四版，北京：教育出版社，2006
【2】林晓琦，浅谈高中物理中的等效替代法，《中学理科园地》，第三期：28-30，2006
【3】吕林根，许子道，《解析几何》第四版，北京：教育出版社，2006
【4】司守奎，《数学建模算法与程序》，北京：国防工业出版社， 2007
【5】司守奎，《数学建模算法与程序》，北京：国防工业出版社， 2007