概率论习题答案

第一章 随机事件与概率

1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？

它们的联系与区别是：

（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。

（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。

（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。

2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？

两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。

3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？

所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质

随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如：

（1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为

?={34}。

518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。

3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。

4．频率与概率有何联系与区别？

事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为：

A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足

A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()；

（2）规范性：P ()?=1；

（3）可加性：若两两互不相容，有。

A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞

=∑11U 则称为事件的概率。

P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n

A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。

不过由大数定律保证，频率总能稳定在某个固定数周围，并且

，即频率总有稳定值。该稳定值称为事件的概率。

有此得到概率的统计性定义P A ()f A P A n n ()()→∞?→??P A ()A ：

在不变条件下做大量重复试验，称在重复试验中事件发生的频率的稳定值A p 为事件的概率，记为。

A P A () 概率的性质如下：

P A () （1）P ()φ=0。

（2）若两两互不相容，则。

A A A n 12,,,L P A P A i i n i n

i ()(===∑11U ) （3）若的对立事件记为A A ，则P A P A ()()=?1。

（4）若A B ?，则P B A P B P A ()()()?=?，且P A P B ()()≤。

（5）P A B P A P B P AB ()()()(U )=+?。

此性质可推广到任意有限个事件，即

A A A n 12,,,L P A A A P A P A P A P A A P A A ()()()()()(1231231213U U =)++??

?+P A A P A A A ()(23123))。

。

P A P A P A A P A A A P A A i i n i i j i j n i n i j k n n i j k n ()()()()()(=<=?<<=?+

++?∑∑∑11111U L L 熟练掌握概率的诸条性质，有利于简化复杂事件的概率计算，尤其要善于利用性质3，把复杂事件的概率计算转化为计算逆事件的概率。

5．条件概率与无条件概率有何区别与联系？

无论是无条件概率还是条件概率都必需满足公理化定义。由条件概率定

义（若为样本空间A B 、?中的两个事件，

P B ，则称为事件()>0P A B P AB P B (|)$()/(=)B 发生的条件下事件发生的条件概率。）可以看出是在事件“A )|(B A P B 发生”的条件（新条件）下事件发生的概率，它与无条件概率（普通概率）的区别，就在于后者发生的条件，还是原来的条件（概率公理化定义中的条件）。这里所谓“无条件”是指“无新条件”，原来的条件并非可无。

A )(A P

无条件概率是在原来的样本空间中计算事件发生的概率，而条件概率可看作事件)(A P A )|(B A P B 发生后，在缩小的样本空间中计算事件发生的概率。因此求条件概率的一般方法如下：

A （1）事件

B 发生后，在缩小的样本空间中计算事件发生的概率；

A P A

B (|) （2）在样本空间中先计算、，再按定义计算。

P AB ()P B ()P A B (|)当两个事件相互独立时（事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率），有)()()(B P A P AB P =，此时)()|(A P B A P =，即在事件相互独立条件下无条件概率与条件概率是一样的。

A B 、6．如何使用全概率公式和Bayes 公式?

全概率公式与Bayes 公式应用起来较为复杂，但应用比较广泛。在分析应用全概率公式过程中，它把事件的概率（不太好求）分解成几个比较容易计算的事件概率之和，形似繁琐，实则简单。其关键是寻找一组两两互不相容事件，使要研究的事件，即

，从而使问题转化为求一组两两互不相容的简单事件的概率，然后用一次加法公式及乘法公式即可。或者把看成发生的原因，是结果。而及（i n ）是较容易求得的，于是可有“原因”求“结果”。往往成为是否找对

的检验方法。如何找要具体问题具体分析，现提出两点供参考：

A A A A n 12，，，L U i i A A 1=?n

n

A n AA AA AA A U L U U 21=n AA AA AA ，，，L 21i A A A )(i A P )|(i A A P =12，，，L P A i i ()=∑=11A A A n 12，，，L A A A n 12，，，L （1）可看成导致事件发生的一组原因，若事件表示次品，则必表示个（台）工厂（车间、机器）生产了次品；若事件表示某种疾病，则必是种病因导致发生。这些的概率已知或容易求出，且在发生的条件下A A A n 12，，，L A A A A A n 12，，，L n A n A A A n 12，，，L A A A A n 12，，，L A A A n 12，，，L

发生的条件概率已知或容易求出，便可用全概率公式求的概率。

A （2）A A 是导致事件A n 12，，，L

B 发生的原因，各种原因的概率称为先验概率，一般由实际或经验给出。而是试验之后，找某种原因发生的可能性，它是后验概率，常用Bayes 公式求之。因此Bayes 公式有时称为后验概率公式，它实际上是条件概率。是在已知结果发生的条件下，求导

致结果的某种原因的可能性大小。比如求，

当、及较容易求得时，就用Bayes 公式，它是有“结果” 求“原因”。

P A i ()P A B i (|))|(1A A P )(A P )(1A P )|(1A A P 7．个事件相互独立与个事件两两独立有什么联系与区别？

n n 由个事件相互独立与个事件两两独立的定义可知，后者是前者的条件，由前者可以推出后者，即相互独立两两独立，反之不真。例如：设有四张卡片分别标以数字1，2，3，4。今任取一张，设事件为取到1或2，事件n n ?A B 为取到1或3，事件为取到1或4，则事件、C A B 、C 两两独立，但不相互独立。

事实上，若设表示取到标以数字（i A i 4,3,2,1=i ）的卡片，则4

1)(=i A P 。因此，

21)()()()(2121=+==A P A P A A P A P U ， 同理，2

1)()(==C P B P ，而

)()(41)()]()[()(13121B P A P A P A A A A P AB P ====U I U ， 同理，

)()(41)(C P A P AC P ==， )()(4

1)(C P B P BC P ==， 所以事件、A B 、两两独立。而 C )()()(41)()]()()[()(1413121C P B P A P A P A A A A A A P ABC P ≠=

==U I U I U ， 所以事件、A B 、不相互独立。

C