流体动力学及工程应用

1、定常流和非定常流的判别？

2、为何提出“平均流速”的概念？

3、举例说明连续性方程的应用。

3.4 流体微元的运动分析

一、流体微元运动的三种形式 1．平移运动

x 、y 方向的速度不变，经过dt 时间后，ABCD 平移到A ‘B ’C ‘D ’位置，微元形状不变。

2．直线变形运动 流体微元沿x （流动）方向变形。

3．旋转运动与剪切变形运动 流体微元沿x 方向和y 方向均有变形，且流体微元

除了产生剪切变形外，还绕z 轴旋转。

实际流体微元运动常是上述三种或两种（如没有转动）基本形式组合在一起的运动。

二、作用在流体微元上的力 有表面力（压力）、质量力、惯性力、粘性力（剪切力）

龙卷风 水涡旋

3.5 理想流体的运动微分方程及伯努利积分

一、理想流体的运动微分方程（15分钟）

讨论理想流体受力及运动之间的动力学关系，即根据牛顿第二定律，建立理想流体的动力学方程。

如图所示，从运动的理想流体中取一以C （x 、y 、z ）点为中心的微元六面体1－2－3－4，作用于其上的力有质量力和表面力，分析方法同连续性方程的建立，只是这是一个运动的流体质点。

根据牛顿第二定律，作用在微元六面体上的合外力在某坐标轴方向投影的代数和等于此流体微元质量乘以其在同轴方向的分加速度。

在x 轴方向 x x

ma F

=∑ 图 微元六面体流体质点

可得1122x x p p dF p dx dydz p dydz ma x x ???

??

?+-

-+= ? ????

??

? 因为 dt

du a dt u

d a x x =

=, ，dt du a dt du a z z y y ==, 所以流体微元沿x 方向的运动方程为

x x du p

f dxdydz dxdydz dxdydz x dt

ρρ?-

=? 整理后得

1x

x du p f x dt ρ?-

=

? 同理，y 轴方向 1y

y du p f y dt ρ?-=? z 轴方向 1z

z du p f z dt

ρ?-=? ——理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动微分方程（1755）。是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩性流体和不可压缩性流体都是适用的。 如果流体处于平衡状态，则

0===dt

du dt du dt du z

y x 欧拉平衡微分方程，所以，平衡只是运动的特例。

二、实际流体运动微分方程（纳维-斯托克斯方程式）

对实际流体微元进行应力分析，列各轴方向受力平衡方程式可得到如下方程：

222111x x x x x

x x x y z y y y y y y y x y z z z z z z

z z x y z dv v v v v p

f v v v v x dt t x y z

dv v v v v p

f v v v v y dt t x y z

dv v v v v p

f v v v v z dt t x y z νρνρνρ?????-

+?==+++??????????-+?==+++??????????-+?==+++????? ——不可压缩实际流体的运动微分方程式，称为纳维—斯托克斯方程，或简称N —S 方程。

如果是理想流体，0ν=，则N —S 方程左端的第三项全为零，——理想流体运动微分方程式，

或称欧拉运动微分方程。

如果是平衡方程，相对于坐标系来说，0ν= ，则N —S 方程转化为欧拉平衡方程。

3．6伯努利方程及其应用（15分钟）

一、理想流体流线上的伯努利积分

积分的前提条件：

（1）流体是均匀不可压缩的，即 c =ρ

（2）定常流动，即

0=??=??=??t u t u t u z y x 0=??t

p

（3）质量力定常而有势，设W =W （x 、y 、z ）是质量力的势函数，则 x f = -

y f

= -

z f = -

x x x W W W

dW dx dy dz f dx f dy f dz x y z

???=

++=---???

（4）沿统线积分，由于是定常流动，流线与迹线重合，则

dt

dy

u y =

在上述四个条件的限制下，将欧拉运动微分方程的三个等式分别乘以dx 、dy 、dz ，然后相加，进行整理并沿一条流线进行积分，最后可得

2

2

p

u W c ρ++= ★★★

——理想流体运动微分方程的伯努利积分。

它表明：对于不可压缩的理想流体，在有势质量力的作用下作定常流动时，处于同一流

线上的所有流体质点，其函数2

()2

p

u W ρ++之

值均是相同的。对于不同流线上的流体质点来说， 图 不同流线上的2

()2

p

u W ρ++值

伯努利积分函数2

()2

p

u W ρ++的值一般是不同的，如图所示。

二、伯努利方程式的几种形式

伯努利方程：表示流体运动所具有的能量以及各种能量之间的转换规律。 两种情况：（1）流体所受质量力只有重力；

（2）流体所受质量力为重力和离心力。 一、质量力只有重力（15分钟）

此时 0,0,x y z f f f g ===-

则 ()x y z dW f dx f dy f dz gdz

=-++=

积分得 W gz =

代入★式，对单位重量流体而言，可得到2

2p u z g g

ρ++=常数

对于同一流线上的任意两点1、2，有

22

1122

1222

p u p u z z g g ρρ++=++=常数

——理想流体微小流束的伯努利方程， 遵循能量守衡与转换定律。 当流体处于静止状态时，u =0。则 p

z g

ρ+

=常数 所以，流体静力学基本方程是伯努利方程的一个特例。

另外，理想流体微小流束的伯努利方程还可简单地利用理论力学或物理学中的动能定理推导得出。

二、质量力为重力与离心力共同作用（10分钟）

许多工程实际问题的流体在变速流动和相对运动中，流体所受质量力为重力和惯性力共同作用。如叶轮机械旋转流道内的流体所受质量力即为重力和离心力共同作用。

在水泵和水涡轮机等水力机械中常用如图所示的叶轮，当选择叶轮为参照系进行研究，且叶轮转速不变时，则流体的运动是定常流动。当叶轮转动角速度为ω时，流体从半径为r 1的圆周进入叶轮，经过叶轮通道，最后离开叶轮时圆周的半径为r 2，流体相对叶轮是定常流动。现在叶轮通道中取一流线1—2，在流线上取一点A ，此处半径为r ，流体质点相对叶轮速度为u 。

此时流体质点所受质量力为重力和 图 旋转叶轮的分析 由转动产生的惯性离心力之和，所以，质点所受单位质量力在x 、y 、z 轴上的分量分别为

22,.x y z f x f y f g ωω===-

则 2

2

()x y z dW f dx f dy f dz xdx ydy gdz ωω=++=-+- 积分后，代入★式，对单位重量流体而言，可得

222

22p u r z g g g

ωρ++-=常数

对同一流线或同一微小流束上的任意两点1、2，上式可写成

g

r g u p z g r g u p z 22222

222

222212211

1ωγωγ-

++=-++

离心式通风机

1、叶轮；

2、机壳；

3、集流器；

4、前导器

注：泵的扬程表达式

泵的扬程定义

22221121()()22p v p v H z z g g g g ρρ=++-++ 由2222

111222

122222p u p u z z g g g g g g ωωρρ++-=++-

得，222222

211221()()()222v v u u H g g g

ωω---=++ -----泵的扬程的第二种表达式

由余弦定理，知222

2cos u v uv ωα+-= 则上式可写成2221111

(cos cos )H u v u v g

αα=

- 此式称为叶轮工作的基本方程式，也称为叶轮机的欧拉方程式。

三、伯努力方程式的意义

一、物理意义（能量意义）（10分钟）理想流体微小流束伯努利方程中的三项g

u p z 22

、、γ分别表示单位重量流体的三种不同形式的

能量。

Z ——单位重量流体流经给定点时所具有的位势能，称为比位能(ratio of potentiai

energy)。

p

g

ρ——单位重量流体流经给定点时所具有的压力势能，称为比压能(ratio of pressure energy)。

g

u 22——单位重量流体流经给定点所具有的动能，称为比动能(ratio of kinetic energy)。

p

z g

ρ+——单位重量流体的总势能，称为比势能(ratio of potentiai energy)。

2

2p u z g g

ρ++——单位重量流体的总机械能，称为总比能(total specific energy)。

由伯努利方程可知：单位重量的理想流体沿流线运动时，其携带的总能量在所流经的路程上任意位置时总是保持不变的，但其位势能、压力势能和动能是可以相互转化的。

二、几何意义（10分钟）

参照流体静力学中水头的概念，用几何图形将伯努利方程中各物理量的变化关系描述出来，这就是伯努利方程的几何意义，如图所示。

z ——微小流束上任意过水断面的中心处流体质点

距离基准面的高度，称为位置水头。

曲线AB ——流束的中心轴线，称为位置水头线。

g ρ——压强高度，称为压强水头。 图 理想流体伯努利方程的几何意义

曲线CD ——测压管水头线。

g

u 22

——所研究的流体质点在z 位置时，以速度u 铅直向上喷射到空气中时所达到的高度（不

计空气阻力），称为速度水头。 直线EF ——是根据某一流线上（或微小流速过水端

面上）各点的Z 、P g ρ和g

u 22加在一起形成的，它是水

平的，称为理想流体的总水头线。

速度水头的实验测量（自学） 要点：测量原理。

关键词：测速管CD ，测压管AB ，理想流体微小流束的

伯努利方程

理想流体伯努利方程式的几何意义——理想流体沿流线运动时，其位置水头、压强水头、速度水头可能有变化或三个水头之间相互转化，但其各水头之和总是保持不变，即理想流体各过水断面上的总水头永远是相等的。

如果用H 表示各项水头之和，即总水头，则

2

2u H z g g

ρ=++ 图 毕托管

伯努利方程写为 H = 常数或21H H =

本次课小结：（5分钟）

1、运动微分方程和平衡微分方程的区别在与0≠u

2、伯努利积分是在特定条件下得到的

3、质量力不同，伯努利方程形式不同

4、伯努利方程方程式中的各项具有能量意义又有（水头）高度意义

课后思考题：1、定常流动0 dt

u

d ，为什么伯努利方程成立？

2、伯努利方程的实质是什么？