多元统计试题及答案

解答：首先将6个样品的各自看成一类，即： G i =（i ），i=1，2，3，4，5，6

将相关系数矩阵记为R 0，则：

{}{}{}{}{}{}{}

{}

{}{}{}

012345620.92130.840.68

1

40.790.770.811

50.690.760.710.82

1

60.65

0.780.860.740.89

1

D =

从这个矩阵可以看出，G 1，G 2的相关性最大，因此将G 1，G 2在水平0.92上合成一个新类G 7=｛1,2｝,计算G 7与G 3, G 4, G 5, G 6之间的最长距离,得到:

{}{}{}{}731323741424751525761626max ,0.84max ,0.79max ,0.76max ,0.78

D d d D d d D d d D d d ========

在第一个相关矩阵中将划去｛1｝,｛2｝所对应的行和列,并加上新类G 7=｛1,2｝到其他类的距离作为新的一行一列,得到:

{}

{}{}{}{}

11,23456

30.84140.790.81

1

50.760.710.821

60.78

0.860.740.891

D =

从这个矩阵可以看出，G 5，G 6的相关性最大，因此将G 5，G 6在水平0.89上合成一个新类G 8=｛5,6｝,计算G 8与G 7, G 3, G 4,之间的最长距离,得到:

{}{}{}8751526162835363845464max ,,,0.78max ,0.86max ,0.82

D d d d d D d d D d d ======

在第二个相关矩阵中将划去｛5｝,｛6｝所对应的行和列,并加上新类G 8=｛5,6｝到其他类的距离作为新的一行一列,得到:

{}{}

{}{}

{}{}{}

21,2345,630.84140.790.811

5,60.78

0.860.82

1

D =

从这个矩阵可以看出，G 3，G 8的相关性最大，因此将G 3，G 8在水平0.86上合成一个新类G 9=｛3,5,6｝,计算G 9与G 7, G 4,之间的最长距离,得到:

{}{}9773757694345464max ,,0.84max ,,0.82

D d d d D d d d ====

在第三个相关矩阵中将划去｛3｝,｛8｝所对应的行和列,并加上新类G 9=｛3,5,6｝到其他类的距离作为新的一行一列,得到:

{}{}{}

{}

{}

33,5,61,241,20.84140.82

0.79

1

D =

从这个矩阵可以看出，G 9，G 7的相关性最大，因此将G 9，G 7在水平0.84上合成一个新类G 10=｛1,2,3,5,6｝,计算G 10与G 4之间的最长距离,得到:

{}1049474max ,0.82D d d ==

从而得到{}{}{}

41,2,3,5,6440.82

1

D =

最后在0.82的水平上,将G 10，G 4合为一个包含所有样品的大类. 最长距离的聚类谱系图为: 1 2 3 5 6 4

1 0.9

2 0.89 0.86 0.84 0.82

六、在作判别分析时，如何检验判别效果的优良性？ （8分） 解答：

当一个判别准则提出以后，还要研究其优良性，即要考察误判概率．一般使用以训练样本为基础的回代估计法与交叉确认估计法

八、 因子模型??

?

????++++=++++=++++=p m pm p p p m m m m F a F a F a x F a F a F a x F a F a F a x εεε

22112

22221212112121111中，因子载荷ij a 、变量共同度以

及公共因子j F 的方差贡献的统计意义是什么？在实际应用中，一般怎样选择公共因子？ （10分） 解答：

⑴ij a 是i x 与j F 的协方差，也是两者的相关系数，它表示i x 依赖j F 的程度，反映了第i 个变量i x 对第j 个公共因子j F 的相对重要性。也就是变量与公共因子间的密切程度。

⑵变量共同度2i h ，它反映了全部公共因子对变量i x 的影响，是全部公共因子对i x 的方差贡献。若全部公共因子对i x 的方差贡献接近于1，则表明该变量的几乎全部原始信息都被选取的公共因子说明了。

⑶公共因子j F 的方差贡献2i g 为因子载荷矩阵的第j 列的各元素的平方和。，它是衡量公共因子相对重要性的指标，2i g 越大，表明公共因子j F 对x 的贡献越大。 选取方法：

⑴ 根据具体问题的专业知识来确定

⑵ 采用主成分分析中选取主成分个数的方法。

这个证明题目要考!!!!!!!!!!是原题考试啊!!!! 3.对变量y 和1x ，2x ，…，m x 进行了n 次观测，得数据为：j y ；mj j j x x x ,,,21 ，

n j ,,2,1 =。 对以上变量采用普通最小二乘法作线性回归，回归方程为

01212m m

y x x x ββββ∧

=++++ ，令∑==n j j y n y 11；∑==n j ij i x n x 1

1，m i ,,2,1 =；∑=∧

-=n

j j j y y SSE 1

2

)(；∑=∧

-=n

j j y y SSR 1

2

)(；∑=-=n

j j y y SST 1

2)(；

如果 ∑=∧

=-n

j j j y y 1

0)(， ∑=∧

=-n

j ij j j x y y 1

0)(， m i ,,2,1 =，

试证：SSE SSR SST += 及 2

12y n y SST n

j j -=∑=。

证明： SSE SSR SST +=也就是：

2

2

2

1

11

()()()

n

n

n

j j j j

j j j y

y y y y y ∧

∧

===-=-+-∑∑∑ 2

2

2

1

1

1

2

21

1

1

()()[()()]()2()()()

n

n

n

j j j j j j j j j j n

n

n

j j j j j j j j j SST y y y y y y y y y y y y y y y y y y ∧∧

∧

∧

===∧

∧∧

∧

====-=-+-=-+-=-+--+-∑∑∑∑∑∑

下面只需要证明

1

()()0n

j

j j j y

y y y ∧∧

=--=∑

1

1

1

()()()()n

n

n

j

j j j j j j j j j j y

y y y y y y y y y ∧∧

∧

∧

∧

===--=---∑∑∑

由于

∑=∧

=-n

j j j y y 1

0)(，则第二项等于０

1

()0n

j

j j j y

y y ∧∧

=-=∑

因为12n y y Y y ∧∧∧

∧??

? ? ?= ? ? ???

，则1

2

T n Y y y y ∧∧∧

∧

??= ???

112212

1

()()

()()()()0

T n

j j j n j n n T T

T

T

T

T T T

T T

T

T y y y y y y y y y y Y Y Y y y X Y Y X Y Y X X Y X X X Y X X X Y βββββββββ∧

∧∧∧

∧

∧

∧∧

∧

=∧

∧∧∧∧∧∧∧∧∧

∧∧

??- ?

???- ?-==- ? ??? ?

?-??

??=-=-=-=- ???

=-=∑ 2,证明2

12y n y SST n

j j -=∑=

证明：2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

()(2)2n

n

n n n

j j j j j j j j j j SST y y y y y y y y y y ======

-=-+=-+∑∑∑∑∑

现在我们只需要证明：2

1

1

(2)n n

j j j y y y ny

==-=∑∑

即：1

1

2

n n

j j j y y ny ==-=∑∑

而，∑==n

j j y n y 1

1

所以，1

1

2

2n n

j j j y y ny ny ny ==-=-=∑∑ 原题目得到证明．

九、某实力雄厚的跨国公司日前在沪设立了办事处，经销该公司的产品。由于看好在华发展前景，该公司打算进一步扩大在华业务，在华直接生产和销售产品；并进行软件和高新技术产品的研发。为此，他们急需解决如下问题：

（1） 综合考虑各方面的情况，确定两到三个投资地点（城市）；

（2） 利用公司以往的销售记录以及各销售地区的社会经济情况，对未来的产品生产

和销售量做出预测；

（3） 确定最佳广告策略。

假设你是该公司决策人员，你将如何利用统计方法研究以上几个问题？（16分）

解答： 因子得分

回归分析

因子得分

十、保护环境和水资源是可持续发展的基本前提。某研究院组成考察团，对我国主要河流和湖泊水环境进行了一次为期近三年的全面考察，收集了大量数据，接下来他们要做的部分工作是：

（1） 对考察的河流和湖泊的水质情况做出定量的综合评价； （2） 根据观测数据对湖泊进行分类；

（3） 确定各个地区的工业、矿业生产和农业生产对水质污染的影响程度。某湖区是

著名旅游风景区，考察长假期间的水质污染程度是否与平常不同？

假设你是该考察团研究人员，你将如何利用统计方法研究以上几个问题？（16分）

解答：

聚类分析制定评价标准 判别分析

聚类分析

因子得分

202简答题

2.1回归分析模型： ⑴回归方程的基本假定?

①回归函数的线性假设; ②误差项的等方差假设;

③误差项的独立性假设; ④误差项的正态分布的假设; ⑤假定自变量之间线形无关. ⑵涉及到回归分析方程系数为何作显著性检验？

在进行显著性的检验中，我们可以用Ｆ统计量来检验回归方程的显著性，也可以用Ｐ值法做检验．

回归方程通过了显著性检验并不意味着每一个自变量(1,2,,)i x i p = 都对应变量y 有显著的影响，可能其中的某个或某些自变量对应变量的影响并不显著，我们自然希望从回归方程中剔除那些对应变量影响并不显著的自变量，从而建立一个较为简单有效的回归方程，这就需要对每一个自变量进行考察．显然，若某个自变量对应变量无影响，那么在线性回归模型中，它的系数为零．那么我们就检验选取的自变量的影响是否显著等价于

检验假设0:0i H β=1:0i H β≠

根据t

分布的定义，有(1)i t t n p βσ∧

∧

=

-- ，这里2

1

SSE

n p σ∧=

--，对于给定的显著

性水平，当2

(1)t t n p α>--时，我们拒绝0H ，反之就接受0H ，在SPSS 软件的输出结果

中,可以直接从P 值看出检验结果,那么我们拒绝的P 值区间是多少呢?

⑶统计性的依据是什么？给出一个回归分析方程如何作显著性检验？ 统计性的依据方差分析

对于多元线性回归作显著性检验就是要看自变量12,,,p x x x 从整体上对随机变量y 是否有明显的影响,即检验假设

0121

:0:0,1p i H H i p ββββ===???

≠≤≤??

至少有某个

如果0H 被接受,则表明y 与12,,,p x x x 之间不存在线性关系,为了说明如何进行检验,我们要首先建立方差分析表.

在进行显著性的检验中，我们可以用Ｆ统计量来检验回归方程的显著性，也可以用Ｐ值法做检验．F 统计量是：

//(1)

MSR SSR p

F MSE SSE n p =

=-- 当0H 为真时，(,1)F F p n p -- ，给定显著性水平α，查Ｆ分布表得临界值

1(,1)F p n p α---，计算Ｆ的观测值，若01(,1)F F p n p α-≤--，则接受0H ，即认为在显

著性水平α之下，认为y 与12,,,p x x x 之间线性关系不显著．

利用Ｐ值法作显著性检验十分方便，这里的Ｐ值是()0P F F >，定显著性水平α．，若p α<，则拒绝0H ，反之接受0H ．

⑷回归分析和相关分析的区别和联系?

相关分析和回归分析都是对客观事物数量依存关系的分析,均有一元和多元,线性与非线性之分,在应用中相互结合与渗透,但仍有差别,主要是：

①相关分析主要刻画两类变量间线性相关的密切程度,而回归分析则是揭示一个变量如何与其他的变量相联系,并可由回归方程进行控制和预测

②在相关分析在中,变量y 与x 处于平等的地位,在回归分析中,因变量y 处于被解释的特殊地位

③在相关分析中所涉及的变量y 与x 完全是随机变量；而在回归分析中因变量y 是随机变量,自变量可以是随机变量,也可以是非随机变量.一般来说,只有存在相关关系,才可以进行回归分析,相关程度越高,回归分析的结果就越可靠.

⑸运用回归分析解决问题时，回归变量的选择理论依据是什么？选择回归变量时应注意哪些问题？

① 从拟合角度考虑，可以采用修正的复相关系数达到最大的准则。

准则1：修正的复相关系数2a R 达到最大。因为：

21/(1)

a MSE R SST n =-

-从这个关系式容易看出，2

a R 达到最大时，MSE 达到最小。

② 从预测的角度考虑，可以采用预测平方和达到最小的准则以及p C 准则

准则2：预测平方和p PRESS 达到最小 准则3：（p C 准则）：定义p C 统计量为12(22)(,,)

p

p p SSE C n p MSE x x x --- 要求选择p

C 小，且p C p -小的回归方程。

③ 从极大似然估计的角度考虑，可以采用赤池信息量准则（AIC 准则） 准则4：赤池信息量达到最小

ln()2p AIC n SSE p =+选择AIC 值最小的回归方程为最优回归方程。

自变量的选择问题可以看成是应该采用全模型预还是选模型的问题

全模型正确误用选模型：全模型相应参数β

为有偏估计，选模型预测也是有偏的。选模型

的参数估计和预测残差以及均方差都有较小的方差。 选模型正确误用全模型：全模型的参数估计和预测是有偏估计，而全模型预测值的方差和均方差大于选模型的相应方差。上述结论说明丢掉那些对因变量影响不大的，或虽有影响，但难于观测的自变量是有利的。 （6）逐步回归方法的基本思想与步骤

逐步回归的基本思想是有进有出，具体做法是将变量一个一个引入，引入变量的条件是通过了偏F 统计量的检验，同时，每引入一个新变量后，对已入选方程的老变量进行检验，将经检验认为不显著的变量剔除，此过程经过若干步，直到既不能引入新变量，又不能剔出老变量为止。

基本步骤：

①对于每个自变量(1)i x i m ≤≤，拟合m 个一元线性回归模型，若()

11

i E F F >，则所选

择含自变量1i x 的回归模型为当前模型，否则，没有变量引入模型，选择过程结束，即认为所有自变量对y 的影响均不显著

②在第一步的基础上，再将其余的1m -个自变量分别加入到此模型中，得到1m -二元回归方程，若()

21

i E F F >则将自变量2i x 引入模型，进一步考察2i x 引入模型后，1i x 对y

的影响是否仍然显著，()

21i D F F ≤，则剔除1i x 。

③在第二步的基础上，再将其余的2m -个自变量分别加入到此模型中，拟合各个模型并计算偏F 统计量值，与E F 比较决定是否又新变量引入，如果有新的变量引入，还需要检验原模型中的老变量是否因为这个新变量的引入而不再显著，那样就应该被删除。

重复以上的步骤，直到没有新的变量能进入模型，同时在模型中的老变量都不能被剔除，则结束选择过程，最后，一个模型即为所求的最优回归模型。

⑹残差分析

残差分析的思想以及意义？残差分析的用途？残差分析要解决的问题？基本步骤是什么？ 2 判别分析：判别分析的优良性 两方面考虑：（1）组与组之间的差别是否显著有无必要作判别分析 （2）误判率

2.2因子分析

⑴.因子分析的基本思想?

因子分析是主成分分析的推广，它也是利用降维的思想，从研究原始变量相关矩阵内部结构出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多元统计分析方法，因子分析的基本思想是根据相关性大小将变量分组，使得同组内的变量之间相关性较高，不同组的变量相关性较低．每一组变量代表一个基本结构，用一个不可观测的综合变量表示，这个基本结构称为公共因子．对于所研究的问题就可用最少个数的不可观测的所谓公共因子的线性函数与特殊因子之和来描述原来观测的每一分量． 2.3聚类分析

⑴系统聚类的基本思想：

先将待聚类的n 个样品(或者变量)各自看成一类,公有n 类,然后按照事先选定的方法计算每两类之间的聚类统计,即某种距离(或者相似系数),将关系最密切的两类并为一类,其余不变,既得到n-1类；再按照前面的计算方法计算新类与其他类之间的距离(或者相似系数),再将关系最密切的两类并为一类,其余不变,即得到n-2类；如此继续下去,每次重复都减少一类,直到最后所有的样品(或者变量)归为一类为止. ⑵模糊聚类的基本步骤：

①选定一种计算距离或相似系数的公式

距离矩阵或者相似系数矩阵(不一定是模糊矩阵)

②由观测数据矩阵计算样品间的距离(1,)ij d i j n ≤≤或者变量间的相似系数

(1,)ij r i j m ≤≤,形成距离矩阵()ij n n D d ?=或者相似系数矩阵()ij n n R r ?=

③将距离矩阵或相似系数矩阵中的元素压缩到0与1之间,形成模糊矩阵()ij A a = 2.4主成分分析的基本思想 可以做什么应用及在应用中要选几个主成分?

主成分分析的基本思想：通过构造原始变量的适当的线性组合，以产生一系列互不相关的新变量，从中选出少量的几个新变量并使它们含有足够多的原始变量带有的信息，从而使得用这几个新变量代替原始变量分析问题和解决问题成为可能。通常变量中所含的信息的多少用该变量的方差(或样本方差)来度量，这是经典的信息量的表示方法．

解决的问题：

①研究的问题当中，随机变量的个数比较大，将增大计算量和分析问题的复杂性： ②随机变量之间存在着一定的相关性，它们的观测样本所反映的信息在一定的程度是存在着重叠的．

一般地，在约束条件()1

,0,1,2,,1T i i T

i k i k l l Cov Y Y l l k i ?=??=∑==-??

之下，使得()i Var Y 达到最大，由此i l 确定的T i i Y l X =称为12,,p X X X 的第i 个主成分．

2.5主成分分析与因子分析的区别和联系???

1区别：

⑴主成分分析仅仅是一种数据变换,不假定数据阵有什么样的结构形式而因子分析假定数据阵有特定的模型，是其中的因子，满足特定的条件，当这些条件不满足时，因子分析就可能是虚假的．

⑵两种方法的侧重点不同：主成分分析重点在于从观测变量的主成分的变换上，而因子分析的重点在于从公共因子的特殊因子的观测变量的变换上， ⑶主成分分析变换是可逆的，而因子分析不要求 ⑷两者实际应用范围也有所不同，主成分分析主要是应用在综合评价和指数筛选上，而因子分析除这两个作用外，还可用语对样品和变量的分类． 2联系：

主成分分析是特殊形式的因子分析，主成分分析的数学模型是T

Y L X =，而因子分析的数学模型为X AF ε=+．当因子分析数学模型的特殊因子ε的影响微不足到，可以忽略，并且Ｆ中的个分量均为正交，就形成了特定的因子分析．

这两个数学模型的含义是不同的，但是从因子分析求解主因子的过程中可以看到，当特殊因子变差，贡献为零时，主因子分析和主成分分析完全等同作用．因此，当主因子模型成立，而且特殊因子变差贡献很小的情况下，我们就可以期待主成分分析和因子分析会给出相同的结果，从而利用主成分分析发求因子模型的解．当特殊因子贡献较大时，因子分析是把公共因子和特殊因子严格区分开来，而主成分分析则把这些因子不加区别的混在一起，作为主成分被保留或舍弃，故这时用主成分分析保留的因子并不是纯粹的公共因子． 3共同点：

两个都是将多个变量指标化为少数几个变量指标的一种使用多元统计方法，用意在于重新组合数据，使变量的维数降低，而有关信息损失尽可能的小，以便在低维空间顺利研究有关问题．两种方法都可以在SPSS 中的因子分析过程(Factor)实现.

三 发挥题（每题16分）

这个部分老师会给出问题的背景及所问的问题，个人结合自己所学的几种分析方法 选择适合的作分析 没有标准答案，只要能自圆其说即可 注意：第一步一定要先指出自己所用的分析方法 老师没有说具体会考什么题只是说不会考很专业的 自由发挥 简单提到一个例子就是教学评价的问题 也没有说用什么方法 他说不同的人会采用不同的方法 一道题不会只有一种解决方法

⑵ 21210x a x x a y += ，其中 i a ，1,0=i 是待定常数。

⑶ t b t a t b t a a y 2sin 2cos sin cos 22110++++=，其中i a 、2,1,0=i ；i b 、2,1=i 是待定常数。 （6分）

解答：⑴ m a

m a a x x x a y 21210=

在⑴上式当中，我们发现y 与x 的关系为非线性，式12012m a a a

m a x x x 的形式为连乘形式，且x 的幂不是一次的。我们需要作的就是将方程中的右边的x 连乘形式变换成连加的形式，并且把x 的幂变换成一次的。

首先，两边同取以10为底的对数,则：

12

012011lg lg lg lg lg m a a a m m m y a x x x a a x a x ==+++ 令：lg g y =，11222lg ;lg ;;lg m t x t x t x === 则：011g lg m m a a t a t =+++

最后，通过g 与t 建立回归关系，明显可以看出这是一种多元线性回归。 ⑵21210x a x x a y +=

对于这种方程，不能使用数学变换，明显可以将12x x 看成是一个指标，当它与2x 联合起来就是一个多元线性回归模型，是二维的，像这种模型在回归指标中也经常见到，只不过这个指标是个非观测指标，是由其他可直接观测指标的组合指标。

⑶t b t a t b t a a y 2sin 2cos sin cos 22110++++=

亦是非直接观测指标的合成指标问题，同⑵。

五、对回归方程01122y x x βββε=+++作显著性检验的基本过程如何？ （10分） 解答：

对于多元线性回归作显著性检验就是要看自变量12,x x 从整体上对随机变量y 是否有明显的影响,即检验假设：

0121:0

:0,12

i H H i βββ==??

≠≤≤?至少有某个 如果0H 被接受，则表明y 与12,x x 之间不存在线性关系,为了说明如何进行检验,我们要首先建立方差分析表.

在进行显著性的检验中，使用Ｆ统计量来检验回归方程的显著性，也可以用Ｐ值法做检验．

F 统计量是：//(1)

MSR SSR p

F MSE SSE n p =

=

-- 当0H 为真时，(,1)F F p n p -- ，给定显著性水平α，查Ｆ分布表得临界值

1(,1)F p n p α---，计算Ｆ的观测值0F ，若01(,1)F F p n p α-≤--，则接受0H ，即认为在显著性水平α之下，认为y 与12,x x 之间线性关系不显著．反之,就是显著的．利用Ｐ值法作

显著性检验十分方便：这里的Ｐ值是()0P F F >，它表示第一、第二自由度分别为

,1p n p --的

F 变量取值大于0F 的概率．定显著性水平α．，若p α<，则拒绝0H ，反之

接受0H ．