【原创】三角函数求值教学设计

三角函数求值

一、三维目标：

（1）知识目标：能运用三角函数有关公式进行简单的恒等变换。 （2）能力目标：对于遇到角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性。

（3）情感态度和价值观：角的变换体现出将未知化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一。 二、教学重点：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值．

三、教学难点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．角度范围的控制。 四、教学过程： 1.讲授新课

问题一（给角求值） 50sin80(13tan10)

++ ．

解：原式

2sin 80132sin 50(cos10sin10)cos102cos5+

+=2sin 80

2sin 50cos(6010

)

cos10cos5

+-=

250cos50)

22cos5+=

2cos(5045)2cos5-== [点评] 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系。实现函数

名与角度的统一。

问题二（给值求值） 已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值

解：法一：由已知

21

tan ,3tan 1tan 1=?=-+θθθ

sin2θ-2cos 2

θ=θθθθ222cos sin 2cos -sin2+=5

4tan 12tan 22

-=+-θθ 法二：

sin2θ

-2cos 2θ=sin2θ-cos2θ

-1=-cos(θπ

22

+)-sin(θπ

22

+)-1

=5

41)

4(tan 1)

4tan(2)4(tan 1)

4(

tan 1222-=-+++-+++--θπθπ

θπθπ

[点评]法一：弦化切；法二：角度的配凑 问题三（给角求值）（1）已知A 、B

均为钝角且5SinA =

，10

SinB =。求A B +。

解：cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，2A B ππ<+<，

74

A B π∴+=

[点评]选取恰当的函数名。

（2）已知11tan()tan (0)2

7

αββαβπ-==-∈，，且，，，

求2αβ-的值。 解：tan 2()tan tan(2)tan[2()]1tan 2()tan αββ

αβαββαββ

-+-=-+=

--?，

又22tan()4tan 2()1tan ()3

αβαβαβ--===--，4137tan(2)141137

αβ-

-=

=+?， 而tan()tan 1

tan tan[()]1tan()tan 3

αββααββαββ-+=-+===--?，(0)αβπ∈，，，所以

04π

α<<

，所以13tan 202724

ππ

ββππαβαβ=

-<<-<-<-=-，所以，，所以。

[点评]注意角度范围控制。

2.课堂练习

（1）11cos(2),sin(2)14αβαβ-=-

-=已知

04

2

π

π

βα<<

<<

．:αβ+求的值。

解：11cos(2)2144

π

αβαβπ-=-

<-<且

，sin(2)αβ∴-=

sin(2)242ππαβαβ-=-<-<，1

cos(2)7

αβ∴-=

cos()cos[(2)(2)]

αβαβαβ∴+=---

cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)αβαβαβαβ=--+--

11111472

=-

?+= 3

π

αβ∴+=

（2）已知sin(-4

π

x)=

135，0

π

，求)

4

cos(2cos x x

+π

的值。

【解法1】∵2)4()4(πππ=++-x x ，∴cos(4π+x)=sin(4π

-x)

又cos2x=sin(2π-2x)=sin2(4π-x)=2sin(4π-x)cos(4

π

-x)

∴)4

cos(2cos x x +π=2 cos(4π-x)=213

24)1312(=?

【解法2】)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22x x x x x x x -+=-=

)4

cos()4

sin(2π

π

+

+

x x

∴

)

4

cos(2cos x x +π

)

4

cos()

4cos()4sin(2x x x +++=

ππ

π=)4sin(2x +π [点评]：分析:角之间的关系：2

)4

()4

(π

ππ=

++-x x 及

)4

(

222

x x -=-π

π

，利用余角间的三角函数的关系便可求之。

（3）已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2

π,2π)，则tan 2

βα+的值是( )

A.2

1

B.－2

C.3

4

D.

2

1或－

2

解：tan tan 40tan tan 310

a a αβαβ+=-?，4tan()3αβ∴+=，

02

02

π

απβ?-<

?-<

（舍去）

。故选B 。 （4）设平面内两个向量(cos sin )(cos sin )a ααb ββαβπ=，

，=，，0<<<， (1)证明：()()a b a b +⊥-；

(2)若有||||ka b a kb +=-，求(0)βαk k R -≠∈，的值。

(1)证明：(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )a b αβαβa b αβαβ+=++-=--，，，，

所以()()110a b a b +?-==-=，所以()()a b a b +⊥-； (2)解：22222||()2ka b ka b k a ka b b +=+=+?+，

22222||()2a kb a kb a ka b k b -=-=-?+，又因为||||ka b a kb +=-，

所以22222222k a ka b b a ka b k b +?+=-?+，即

2222(1)4(1)0k a ka b k b -+?+-=，又因为||||1cos()a b a b αβ==?=-，，所以4cos()0k αβ-=，

0k k R ≠∈，， 所以cos()0αβ-=，又αβπ0<<<，则2

π

αβ-=-

，即2

πβα-=

。 3.总结

三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形

三角函数式的求值的类型一般可分为:

(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 （2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角

得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。

三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次

注意点：灵活角的变形和公式的变形，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论

4.作业