惠州市2019届高三第一次调研考试

惠州市2019届高三第一次调研考试

数学（理科）

全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求.

（1）复数

5

2

i -的共轭复数是（ ） (A)2i + (B)2i -+ (C)2i -- (D)2i -

（2）已知集合{}

2

1M x x ==，{}1N x ax ==，若N M ?，则实数a 的取值集合为（ ）

(A) {}1 (B) {}1,1- (C) {}1,0 (D) {}1,1,0-

（3）函数22

()2cos sin +2f x x x ωω=-的最小正周期为π，则=ω（ ）

(A)

3

2

(B) 2 (C) 1

(D)

12

（4）下列有关命题的说法错误的是（ ）

(A)若“p q ∨”为假命题，则p 与q 均为假命题；

(B)“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件；

(C)若命题200R 0p x x ?∈≥：，，则命题2

R 0p x x ??∈<：，；

(D)“1sin 2x =

”的必要不充分条件是“6

x π=”. （5）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，32a ，5a ，43a 成等差数列，则数列{}

n a 的前n 项和n S =（ ）

(A)21n

- (B)1

21n -- (C)12n - (D)2n

（6）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的

一个和谐优美的几何体。它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）。其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）

(A) (B)

(C) (D)

（7）若函数2

()x f x a

-=，()log ||a g x x =（0a >，且1a ≠），且(2)(2)0f g ?<，则函

数()f x ，()g x 在同一坐标系中的大致图象是（ ）

(A)

(B)

(C) (D)

（8）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如

下表所示的数据.

观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8 观测数据i a

40

41

43

43

44

46

47

48

在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程

图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是（ ） (A) 6 (B) 7 ( C) 8 (D) 9

（9）已知1F 和2F 分别是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的两个焦点，A 和B 是以

O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，

且2F AB V 是等边三角形，则该双曲线的离心率为 ( ) (A)

3+1

2

(B) 31 (C) 31 (D) 2 （10）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥外接球的表面积为（ ）

(A) 108π (B) 72π (C) 36π (D) 12π

（11）已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈且(2)()k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的

最大值为（ ）

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

（12）设抛物线2

4y x =的焦点为F ，过点()2,0的直线交抛物线于,A B 两点，与抛物线

准线交于点C ，若

2

5

ACF BCF S S =V V ，则AF =（ ） (A) 2

3

(B) 4 (C) 3 (D) 2

输出S

结束

输入i a

i =1

是 开始

2()i S S a a =+-

i= i +1

S=0

i ≥ 8

否

S = S / 8

二．填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）若实数x ，y 满足的约束条件101010x y x y y +-≤??

-+≥??+≥?

，则函数2z x y =+的最大值是 ．

（14）已知向量(2,1),(,1)a b x ==-r r

，且a b -r r 与b r 共线，则x 的值为 ．

（15）某公司招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给

同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是 ．

（16）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n ，记集合

{},,,1i

j

x x a a i N j N i j n =+∈∈≤<≤的元素个数为n

c

，把{}n c 的各项摆成如图

所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为___________． 3c 4c 5c

6c 7c 8c 9c 10c 11c 12c

…………

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 （17）（本小题满分12分）

在ABC ?中，锐角C 满足2

52sin cos 232

C C π?

?

-+= ??

?. （1）求角C 的大小；

（2）点P 在BC 边上，3

PAC π

∠=

，3PB =

，sin 38

BAP ∠=

， 求ABC ?的面积。

（18）（本小题满分12分）

如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，侧面是正方形，0

60=∠DAB ，E 是棱CB 的延长线上一点，经过点A 、1C 、E 的平面交棱1BB 于点F ，BF F B 21=．

（1）求证：平面⊥E AC 1平面11B BCC ；

（2）求二面角C AC E --1的平面角的余弦值．

（19）（本小题满分12分）

如图，椭圆E ：()222210x y a b a b

+=>>经过点()0,1A -，且离心率为2

2．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），

证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．

（20）（本小题满分12分）

甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：

（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率； （2）若将频率视为概率，回答以下问题：

（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为X (单位：元), 求X 的分布列和数学期望；

（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请

利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.

甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数

20

40

20

10

10

乙公司送餐员送餐单数频数表

送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 20 20 40 10

A

B

1

A 1

B C

F 1

C D

1

D E

（21）（本小题满分12分）

已知函数()()()2x f x x e a a R =-+∈， （1）试确定函数()f x 的零点个数；

（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122x x +<．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C 的圆心C 4π?

??

，半径r = （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若0,

4πα??

∈????，直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t αα=+??=+?

（t 为参数），直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长AB 的取值范围．

（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()32f x x x k =-+-+． （1）若()3f x ≥恒成立，求k 的取值范围； （2）当1k =时，解不等式：()3f x x <．

数学（理科）参考答案

（1）【解析】B ；

22

i i =---，∴其共轭复数为2i -+； （2）【解析】D ；注意当0a =时，N =?，也满足N M ?，故选D ；

（3）【解析】C ；2235()2cos sin +2cos 222f x x x x ωωω=-=

+，2==2T π

πω∴，=1ω∴；

（4）【解析】D ；由题可知：6

x π

=时， 1sin 2x =成立，所以满足充分条件；但1sin 2x =时，

x 不一定为

6

π

，所以 必要条件不成立，故D 错；

（5）【解析】A ；设{}n a 的公比为q ，则5

34223a a a =+，2333223a q a a q ∴=+，

2223q q

∴=+，2q ∴=或

1

2

q =-

（

舍

）

，

11212221n n n n S a a a -∴=+++=+++=-……；

（6）【解析】B ；因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形

伞，所以其正视图和侧视图是一个圆。俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B ； （7）【解析】A ；由题意()2

x f x a

-=是指数型的，()log a g x x =是对数型的且是一个偶函

数，由()()220f g <，可得出()20g <，故log 20a <，故01a <<，由此特征可以确定C 、D 两选项不正确，且()2

x f x a -=是一个减函数，由此知B 不对，A 选项是

正确答案，故选A ； （8）【解析】B ；()1

4041434344464748448

x =+++++++=Q ， ()222222

22214311023478

s ∴=

+++++++=.故选B ；

（9）【解析】C ；设12=2F F c ，2ABF Q V 是等边三角形，21=30AF F ∴∠o

，12,AF c AF ∴==，

2

c

a -∴=

，

因此1c

e a

∴=

=.故选C ；

（10）【解析】C ；可求出正四棱锥的高为3．设其外接球的半径为R ，则由两者的位置关

系可得()2

2233R R -+=，

解得3R =，所以2436S R ππ==．故选C.

（11）【解析】B ；考虑直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切时的情形。

设切点为()m f m (，），此时'()0

()2

f m f m m -=-，

即ln 2ln 2m m m

m m +=+-，化简得：42ln 0m m --=，

设

()42ln g m m m

=--，

由

于

222()42ln 0

g e e e =--<，

333()42ln 0g e e e =-->。

故23e m e <<，所以切线斜率'

=()=2ln k f

m m +的取值范围是()4,5，又k Z ∈，

max 4k ∴=，选B ；

（12）【解析】D ；设直线():2l y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程代入抛物线

方程得：()

22224140k x k x k -++=，由韦达定理得：124x x ?= ①，分别过点,A B 作准线的垂线11,AA BB ，垂足分别为点11,A B ，

111212

15

ACF BCF AC AA AF S x S BC BB BF x +∴=====+V V ，即125230x x -+= ②，解得11x =，2AF ∴=，故选D 。

二、填空题： （13）3

（14） 2- （15） 12 （16） 293

（13）【解析】画出不等式组10

1010x y x y y +-≤??

-+≥??+≥?

表示的平面区域，2z x y =+在点()21-，处取

得最大值，∴max

3z =．

（14）【解析】向量()2,1a =r ，(),1b x =-r ，()2,2a b x ∴-=-r r ，又a b -r

r 与b r 共线，可

得22x x =-+，解得2x =-．

（15）【解析】由题意可得，有2种分配方案：

①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；两名英语翻译人员的分配有2种可能；根据分步计数原理，共有3×2=6种分配方案．

②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况电脑特长学生，则方法有3种；两名英语翻译人员的分配方法有2种；共3×2=6种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有6+6=12种。 （16）【解析】设()11n a a n d =+-，则()122i j a a a i j d +=++-，由题意1i j n ≤<≤，

当1i =，2j =时，2i j +- 取最小值1，当1i n =-，j n =时，2i j +-取最大值23n -，易知2i j +-可取遍1,2,3,23n -…，，即()233n c n n =-≥.数阵中前16行共有

12316136++++=…个数，所以第17行左数第10个数为14821483293c =?-=。

三、解答题：

（17）解析：（1）2

52sin cos 232C C π??-+= ??

?Q ，

51cos 2cos 232C C π?

?∴--+= ??

? …………2分

13

cos 2cos 22222

C C C ∴+-=-

，

cos 262C π?

?∴+=-

??

?， …………4分 又

726

6

6

C π

π

π

<+

<

，3

C π

∴=

. …………6分 （2）由（1）可知APC V 为等边三角形，且23

APB π

∠=，

在

APB

V 中，2sin sin 3PB AB

BAP π

=∠，

即2sin 3AB π=

，AB ∴=， …………9分

22222cos

3

AB PA PB PA PB π∴=+-?，即2

1993PA PA =++， 2PA ∴=，故235BC =+=，2AC = …………11分

1sin 23ABC S CA CB π∴=?=V …………12分

（18）（1）设四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长为a

∵12B F

BF =，11B C F ?∽BEF ?，∴2

a BE =

由060DAB ABE ∠==∠，0120ABC ∠=，得2

AE =

，AC =………2分 ∵32

a

CE =

，∴222AE CE AC +=，AE CE ⊥ …………3分 1111ABCD A B C D -是直四棱柱，1C C ABCD ⊥，又AE ABCD ?，

∴1C C AE ⊥，

∵1CE CC C =I ，∴AE ⊥平面11BCC B …………4分 ∵AE ?平面1AC E ，∴平面1AC E ⊥平面11BCC B …………5分

（2）（方法一）过C 作1CG AC ⊥于G ，1CH C F ⊥于H ，连接GH …… 6分

由平面1AC E ⊥平面11BCC B ，平面1AC E I 平面111BCC B C E =，CH ⊥平面

1AC E …………7分

∴1CH AC ⊥，又1CG AC ⊥，CG CH C =I ，∴1AC ⊥平面CGH ，

1AC GH ⊥，

CGH ∠是二面角1E AC C --的平面角 …………9分

在1Rt ACC ?中，AC =，1CC a =，12AC a =，2

CG =

，在1Rt ECC ?

中，3

2CE a =，1CC a =，1EC =，CH =（CG =、

CH =（求得任何一个给2分，两个全对给3分）

26

GH a ==

，

cos 13

GH CGH CG ∠=

= …………12分 （方法二）以E 为原点，EC 、EA 所在直线为x 轴、y 轴，平行于1BB 的直线1EE 为

z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)E

，(0,

,0)2

A a ，13

(,0,)2C a a …………7分 设平面1EAC 的一个法向量为 (,,)n p q r =u u r

，则1

023

2

n EA aq n EC ap ar ??==?????=+=??u u r u u u r u u r u u u u r 即0

320q p r =??

+=?

，不妨取 (2,0,3)n =-u u r ， …………9分

由（1）知1

(,0,0)2B a

，(,,0)2D a a ，平面11BCC B

的一个法向量为11(,0)2n BD a ==u r u u u r …………11分

二面角1E AC C --

的平面角的余弦值

11| |cos 13||| |

n n n n θ?==?u r u u r u

r u u r …………12分 （19）解：（1

）由题意知2

a =

b ＝1

，a ∴= …………2分 所以椭圆E 的方程为2

212

x y +=． …………4分

（2）证明：设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入2

212

x y +=，

得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由题意知Δ＞0，

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1x 2≠0，则()1224112k k x x k

-+=+，()122

2212k k x x k -=

+， …………6分 所以

()121212121212

112222AP AQ y y kx k kx k x x

k k k k x x x x x x ++-+-+++=

+=+=+- …………9分

()()()

()4122221222k k k k k k k k -=+-=--=-

故直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2． …………12分

（20）解：（1） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件

M

，则

220210019

()495

C P M C ==

； …………4分 （2）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a ，则 当38a =时，384152X =?=； 当39a =时，394156X =?=； 当40a =时，404160X =?=；当41a =时，40416166X =?+?=； 当42a =时，40426172X

=?+?=．

所以X 的所有可能取值为152，156，160，166，172． …………6分 故

X 的分布列为：

X

152

156

160

166

172

P

1

10 15

15 25 110

11121

()1521561601661721621055510

E X ∴=?

+?+?+?+?=．

…………8分

（ⅱ）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为

380.2390.4400.2410.1420.139.5?+?+?+?+?=． ……10分 所以甲公司送餐员日平均工资为70239.5149+?=元． …………11分 由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．

因为149162<，故推荐小明去乙公司应聘． …………12分

（21）解：（1）由()0f x =得()2x

a x e =-，令()()2x

g x x e =-，

函数()f x 的零点个数即直线y a =与曲线()()2x

g x x e =-的交点个数，

()()()21x x x

g x e x e x e '=-+-=-Q

……1分

如图，由()0g x '>得1x <，∴函数()g x 在(),1-∞单调递增， 由()0g x '<得1x >，∴函数()g x 在()1,+∞单调递减。 ∴

当

1

x =时，函数

()

g x 有最大值，

()()max 1g x g e == …………3分

又当2x <时，()0g x >，()20g =，当2x >时，()0g x <

∴当a e >时，函数()f x 没有零点；当a e =或0a ≤时，函数()f x 有一个零

点；

当0a e <<时，函数()f x 有两个零点。 …………6分 （2）证明：

证法一：

函数()f x 的零点即直线y a =与曲线()()2x

g x x e =-的交点横坐标，

由（1）知0a >，不妨设1

21x x <<，得221x -<，

∵函数()()2x

g x x e =-在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ∴函数()()f x g x a =-+在(),1-∞单调递减，在()1,+∞上单调递增； 要证12

2x x +<，只需证122x x <-，∴只需证

()()122f x f x >-， …………8分

又()10f x =，即要证()220f x -< ∵由()2a g x =得()()()2

222222222221x x x f x x e a x e x e x ---=-+=--->

构造函数()()22x

x h x xe x e -=---，则()()()21x x h x x e e -'=--， ……10分

当

1x >时，2x x e e ->，()0h x '<，即函数()h x 在()1,+∞上单调递减，

∴()()10h x h <=，

即当2

1x >时，()220f x -<，即122x x +<. …………12分

证法二：

由（1）知0a >，不妨设1

21x x <<，设()()()()21F x f x f x x =-->，

∴()()22x x F x x e xe -=-+， …………8分

由()()()21x x

F x x e e -'=--，易知

2x x

y e e -=-是减函数，当

1x >，

20x x e e e e --<-=，

又10x -<，得()0F x '>，所以()F x 在()1,+∞递增，()()10F x F >=， 即()()2f x f x >- ……10分 由2

1x >得()()222f x f x >-，又()()210f x f x ==，()()212f x f x ∴-<，

由()()2x

g x x e =-在(),1-∞上单调递增，得()()f x g x a =-+在(),1-∞单调

递减，

又2

21x -<，212x x ∴->，即122x x +<. …………12分

（22）解：（1）∵点C 4π?

??

的直角坐标为()1,1， …………1分

∴圆C 的直角坐标方程为()()2

2

113x y -+-=． …………2分 化为极坐标方程是()2

2cos sin 10ρρθθ-+-=…………4分

（2）将2cos 2sin x t y t αα

=+??

=+?代入圆C 的直角坐标方程()()22

113x y -+-=，

得()()2

2

1cos 1sin 3t αα+++=，即

()22cos sin 10t t αα++-=． …………6分

∴()122cos sin t t αα+=-+，121t t ?=-． …………7分

∴12AB t t =-==．

…………9分

∵0,

4πα??∈????，∴20,2πα??

∈????

，∴AB ≤<．即弦长|AB|的取值范围是

??

…10分

（23）解：（1）由题意，得323x x k -+-+≥，对?x ∈R 恒成立，即

()

min

323x x k -+-≥-，

又32321x x x x -+-≥--+=，∴()min

3213x x k -+-=≥-，解得

2k ≥； …………4分

（2）当1k =时，不等式可化为()3213f x x x x =-+-+<，

当2x ≤时，变形为56x >，解得65x >

，此时不等式解集为6

25

x <≤； 当23x <<时，变形为32x >，解得：2

3

x >，此时不等式解集为23x <<；

当3x ≥时，不等式解得：4x >-，此时不等式解集为3x ≥，

综上，原不等式的解集为6,5??

+∞ ???

． …………10分