2018年茂名市一模文科数学试题与答案

2018年茂名市一模文科数学试题与答案

绝密★启用前试卷类型：A

2018年茂名市高三级第一次综合测试

数学试卷（文科）2018.1

本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑. 答案写在答题卡上

对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题

卡上的非答题区域均无效.

5．考试结束后，请将答题卡上交.

第一部分选择题（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60

f (x 2)=0，若|x 1–x 2|min =12，且f (12) =12

，则f (x )的 单调递增区间为( )

A. 51[+2,+2],66k k k Z -∈

B. 51[+2,+2],.66

k k k Z -∈ C. 51[+2,+2],66k k k Z ππ-∈ D. 71[+2,+2],66

k k k Z ∈

8||

e ()3x

f x x

=

9．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看

巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，

其意大致为：有一栋

七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔

中间一层有（ ）盏灯.

A.24

B.48

C.12

B 1 1 O x y 1 1 O D x y 1 1 O A x y 1

1 O C x y 否 S = 是 结输

k ＜开

11S S

=- k =

k =k 第10题图

10．执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是( )

A.2 018

B. ?1

C.12

D.2

11．右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，

有下列四个命题：

①AF ⊥GC ； ②BD 与GC 成异面直线且夹角为60?；

③BD ∥MN ；

④BG 与平面ABCD 所成的角为45?. 其中正确的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

12．定义在R 上函数(2)y f x =+的图象关于直线x =?2对称，且函数(1)f x +是偶函数. 若当x ∈[0,1]时，

()sin 2

f x x π=，则函数||

()()x g x f x e -=-在区间[?2018,2018]上零点的个数为( )

A. 2017

B. 2018

C. 4034

D.

A B D E

N C G

F M

第11题图

第二部分 非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13．已知(2,1),2(1,1),a a b =-=则?a b = ． 14．曲线ln(1)y x =+在点(1, ln2)处的切线方程为 ． 15．从原点O 向圆C : 2

212270

x

y y +-+=作两条切线，则该圆

被两切点所分的劣弧与优弧之比为 ．

16．如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC 中，AB 3， ∠ACB =60?，∠BCD =90?，AB ⊥CD ，CD =22，则该球的体积

为 ．

三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题. 解答过程应写出

文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）

D C B A

第16题图

已知△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,且2cos 2c B b a ?-=.

（Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）设角A 的平分线交BC 于D ，且AD 3b 2ABC 的面积.

18. （本小题满分12分）

在四棱锥P ?ABCD 中，AD ∥BC ，平面PAC ⊥平面

ABCD ，AB =AD =DC =1，

∠ABC =∠DCB =60?，E 是PC 上一点.

（Ⅰ）证明：平面EAB ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若△PAC 是正三角形，且E 是PC 中点，求三棱锥A ?EBC 的 体积.

B A P

E

D C 第18题图

19．（本小题满分 12 分）

一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：

温度x /?C 21 23 24 27 29 32 产卵

数y /个

6 11 20 2

7 57 77

经计算得：6

1

1266i

i x x ===∑，6

1

1336

i

i y y ===∑，6

1

()()557i

i

i x x y y =--=∑，6

2

1

()84

i i x x =-=∑，

6

2

1

()

3930

i

i y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和6

2

1

?()

236.64

=-=∑i

i

i y y ，

e 8.0605≈3167，其中x i , y i 分别为观测数据中的温度和产卵

数，i =1, 2, 3, 4, 5, 6.

(Ⅰ)若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程?y

=?b x +?a （精确到0.1）； (Ⅱ)若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程

为?y =0.06e 0.2303x ，且相关指数R 2=0.9522.

( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R 2说明哪种模型的拟合效果更好.

( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35?C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.

附：一组数据(x 1,y 1), (x 2,y 2), ...,(x n ,y n ), 其回归直线?y

=?b x +?a 的斜率和截距的最小二乘估计为 1

2

1

()()

?,()n

i

i i n

i

i x

x y y b

x

x ==--=-∑∑?a

=y ??bx

；相关指数R 2=21

2

1

?()1()n

i

i i n i

i y

y y

y ==---∑∑．

20．（本小题满分 12 分）

已知椭圆C 1以直线50

mx y +=所过的定点为一个焦

点，且短轴长为4.

（Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；

（Ⅱ）已知椭圆C 2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C 1的长轴和短轴的长的λ倍(λ＞1)，过点C (?1,0)的直线l 与椭圆C 2交于A ，B 两个不同的点，若2AC CB =，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程.

21.（本小题满分 12 分）

已知函数()ln 2a g x x x x

=++(a ∈R ).

（Ⅰ）讨论()g x 的单调性；

（Ⅱ）若11()[()2]1a f x g x x x x x

=--++. 证明：当0x ＞，且1x ≠时，ln ()1

x

f x x >-．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，

则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(?2,0)，其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为4cos0

ρθ

-=．

（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；

（Ⅱ）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求3

x的取值范围．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()|3||5|

=--+．

f x x x

（Ⅰ）求不等式()2

f x≥的解集；

（Ⅱ）设函数()f x的最大值为M，若不等式22

x x m M

++≤有解，求m的取值范围．

绝密★启用前 试卷类型：A

2018年茂名市高三级第一次综合测试

数学试卷（文科）参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 C D A C C D B C A C B D 提示：

2．【解析】2i

12i i

z +==-，|z 5，故选D. 3．【解析】在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)

共4个，则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1, 2, 3) 1个. 因此，数字2是这三个不同数字的平均数的概率是14p =. 故选A. 4．【解析】由约束条件

2,

4,1,

y x y x y ≤??

+≥??-≤?作出可行域如图，

联立{2,

4,

y x y =+=，解得A (2, 2)， 4 1 O A x

y x +y y =

x ?y 4 2 z =3

化目标函数z =3x +y 为y = ?3x +z ，

由图可知，当直线y = ?3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距

最小，z 有最小值为z =3×2+2=8．故选C. 5．【解析】由等差数列的性质得，a 1+a 9=a 2+a 8=10，S 9=1

9

9()9104522a a +?==.故选C. 6．【解析】抛物线的准线方程为2x =-，准线与x 轴的交点

为(2,0)D -，ADF ?为等腰直角三角形，得||||4AD DF ==，故点

A 的坐标为(2,4)-，由点A 在双曲线2

2

1x y m

-=上，可得2

2(2)41m --=，解得417

m =，即2

4

17

a =，所以2

21

117

c

m =+=，故双曲

线的离心率21

214c e a

===.故选D.

7．【解析】：设f (x )的周期为T ，由f (x 1)=1，f (x 2)=0，|x 1 –x 2|min =12,得212422

T T πωπ=?=?==, 由f (12) =12，得sin(12π +?)=12，即cos ?=12，又0＜?＜2

π，∴? =3π，f (x )=sin(πx 3π+). 由+22

k π

π-3x ππ≤++22k ππ≤，得51+2+2,66k x k k Z -≤≤∈. ∴ f (x )的单调递增区间为5

1[+2,+2],.66

k k k Z -∈故选B. 8．【解析】由f (x )为奇函数，排除B ，(1)3

e f =＜1，排除A. 当x ＞0时，e ()3

x

f x x

=，2

(1)e ()3x x f x x -'=，∴在区间(1,+∞)上f (x )单调递增，排除D ，故选C.

9．【解析】由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为

2的等比数列,设首项为a ,则7

(21)

38121

a -=-,解之得a =3，则该塔中间一层灯盏数有3?23

=24. 故选A.

10．【解析】依题意，执行如图所示的程序框图可知初

始S ＝2，当k =0时，S 0＝?1，k =1时，S 1＝12，同理S 2＝2，S 3＝?1，S 4＝12，…，可见S n 的值周期为3.∴当k ＝2017时，S 2017＝S 1＝12

， 此时k ＝2018，退出循环. 输出S ＝12

. 故选C. 11．【解析】：将正方体纸盒展开图还原成正方体，①如图知AF 与GC 异面垂直，故①正确；②显然BD 与GC 成异面直线,连接EB ，ED .

则BM ∥GC ，在等边△BDM 中，BD 与BM 所成的60?角就是异面

直线BD 与GC 所成的角，故②正确；③显然BD 与MN 异面垂直，

故③错误；④显然GD ⊥平面ABCD ，所以在Rt△BDG 中，∠GBD 是

BG 与平面ABCD 所成的角，Rt△BDG 不是等腰直角三

角形.

所以BG 与平面ABCD 所成的角不是为45 ?，故④错误. 故选B. 12．【解析】函数||

()()x g x f x e -=-在区间[?2018,2018]上零点

的个数，就是函数()sin 2

f x x π= 的图象与||

x y e -=的图象交点个数. 由(2)y f x =+的图象关于直线x = ?2对称，得()f x 是偶函数，即()()f x f x -=.又∵函数(1)f x +是偶函数，

∴(1)(1)f x f x +=-+，故(2)()()f x f x f x +=-=，因此，()f x 是周期为2的

偶函数.∵当x ∈[0,1]时，()sin 2f x π=，作出()y f x =与||

1

()x y e

=A B

D

M (E ) N C

G F

x O ?? 2 1 1

y

图象如下图，

可知每个周期内有两个交点，所以函数||

()()x g x f x e -=-在区间[?2018,2018]上零点的个数为2018?2=4036. 故选D.

第二部分 非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13．1 14. 212ln 20x y --+= 15. 12 16. 43π

提示： 13．【解析】∵(2,1),2(1,1),a a b =-=∴2(1,1)(2,1)(1,1)(1,0)b a =-=-=，

∴1

(,0)2

b =，∴?101a b =+=. 14．【解析】由所求切线斜率1

1

11||12

x x k y x =='===+，得曲线在点(1, ln2)

处的切线方程为1ln 2(1)2y x -=-，即212ln 20x y --+=. 15．【解析】把圆的方程化为标准方程为2

2

(6)9x y +-=，得到

圆心C

的坐标为(0, 6),圆的半径3r =,由圆切线的性质可知,∠CBO =∠CAO =90?，

且AC =BC =3，OC =6，则有

∠ACB =∠ACO +∠BCO =60?+60?=120?

12

(写成O C x y B

A

1:2也对). 16．【解析】以△ABC 所在平面为球的截面，则由正弦定理得

截面圆的半径为31

12=，依题意得CD ⊥平面ABC ， 故球心到截面的距离为1=22

CD 2

2

1(2)3+=所以球的体积为3

4(3)433

ππ=. 三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过

程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解: (Ⅰ)法一：由已知及余弦定理得2

2

2

222a c b c a b ac +-?=+，

整理得2

22a

b c ab

+-=-. …2分

222

1cos 222

a b c

ab C ab

ab +--===-， ………………3分 又在△ABC 中，0＜C ＜π， ………………4分

∴23C π=，即角C 的大小为23π. .………………5分 法二：由已知及正弦定理得2sin cos sin 2sin C B B A ?-=， 又在△ABC 中，sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C , . ......……2分 ∴2sin C cos B – sin B =2sin B cos C +2cos B sin C ， 即2sin B cos C = – sin B ，又sin B ≠0， ………………3分

∴1cos 2

C =-，又0＜C ＜π， ………………4分

∴23C π=，即角C 的大小为

23

π

. .………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)23C π=，依题意得如图，在△ADC 中，AC =b 2，

B A D

C

AD 3

由

正

弦定理得

322sin sin 3AC C CDA AD ?∠===

， .………………7分 ∵在△ADC 中，0＜CDA ∠＜π，C 为钝角， ........………....………8分

∴4

CDA π∠=，故23412CAD ππππ∠=--=. .………………9分

∵在△ABC 中，AD 是角A 的平分线，∴6CAB π∠=, .……….……10分 ∴△ABC 是等腰三角形，2BC AC ==分 故△ABC 的面积33211sin 22232S BC AC π=?=. .…………….…12分 18.解：(Ⅰ)证明：依题意得四边形ABCD 是底角为60?的等腰梯形，………1分

∴∠BAD =∠ADC =120?. ...........................2分 ∵ AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA =30?， . (3)

分

∴∠BAC =∠BAD ?∠DAC =120??30?=90?，即AB ⊥AC .…...........…4分

∵平面PAC ⊥平面ABCD , 平面PAC ∩平面ABCD =AC ， ∴AB ⊥平面PAC ， ..........................………………...5分

B P E D

又平面AB ?平面EAB ， ∴平面EAB ⊥平面PAC ； ..........................……………...6分

(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)及已知得，在Rt △ABC 中，∠ABC =60?，AB =1， ∴AC = AB ?tan60?=3，BC =2AB =2，且AB ⊥平面PAC ，.........……………7分 ∴AB 是三棱锥B ?EAC 的高，正△PAC 的边长为3分

∵E 是PC 的中点，∴S △EAC ＝12

S △PAC ＝233311sin60(3)44AC AP ??=?=. ………10分

∴三棱锥A ?EBC 的体积

为

33311133A EBC B EAC EAC V V S AB --?==?==

(12)

分 (Ⅱ)解法二：过P 作PO ⊥AC 于点O ，

∵平面PAC ⊥平面ABCD , 平面PAC ∩平面ABCD =AC ， ∴PO ⊥平面ABC ， 过E 作EF ⊥AC 于点F ，同理得EF ⊥平面ABC ， ∴EF 是三棱锥E ?ABC 的高，且PO ∥EF ， (7)

分

又E 是PC 中点，∴ EF 是△POC 的中位线，故12

EF PO =. 由(Ⅰ)及已知得，在Rt △ABC 中，∠ABC =60?，AB =1， ∴BC =2AB =2, AC = AB ?tan60?3即正△PAC 的边长为3………….........…8分

∴PO =32

, 故EF =34

. ............................................................................

O F B A

P E

D C

.….........9分 在Rt △ABC 中，S △ABC ＝3111322AB AC ?=?=....…10分

∴三棱锥A ?EBC 的体积为33311334A EBC

E ABC

ABC

V V S EF --?==?==. ...................12分 19.

解

：

(Ⅰ)依题意，n =6，

6

1

6

2

1

()()

557? 6.6,

84

()

i

i

i i

i x x y y b

x x ==--==≈-∑∑ (2)

分

?a

≈

33?6.6?26=?138.6

，

....…...................…………3分

∴y 关于x 的线性回归方程为?y

=6.6x ?138.6． ....……………4分

(Ⅱ) ( i )利用所给数据, 6

2

1

?()236.64=-=∑i

i i y y , 6

2

1

()3930i

i y y =-=∑得,

线性回归方程?y =6.6x ?138.6

的相关

指数

R 2

=6

21

62

1

?()236.641110.06020.9398.

3930

()i

i i i

i y

y y

y ==--

=--=-∑∑≈ ...............

..….......6分 ∵0.9398＜0.9522， .............................................….......…………7分

因此，回归方程?y =0.06e 0.2303x

比线性回归方程

?y

=6.6x ?138.6拟合效果更好. ....……..……8分 ( ii

)由( i )得温度x =35?C 时，

?y =0.06e

0.2303?35=0.06?e 8.0605

. ....……..……..…9分 又∵e 8.0605

≈3167， ......................................……….....……10分

∴?y

≈0.06?3167≈190（个）. .....................................………...……11分

所以当温度x =35?C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. ....……….......……12分

20.解：(Ⅰ)所给直线方程变形为5y mx =-+, …......……………1分 可知直线所过定点为5). ...............………2分

∴椭圆焦点在y 轴, 且c =5，依题意可知b =2，∴a 2=c 2+b 2

=9. ……………3分

椭圆C 1的方程标准为2

2

194

y

x +=. ………………4分

(Ⅱ)依题意，设椭圆C 2的方程为22

2

2194y x λ

λ

+=，A (x 1,y 1),

B (x 2,y 2)，………………6分

∵λ＞1，∴点C (-1, 0)在椭圆内部，直线l 与椭圆

必有两个不同的交点.

当直线l 垂直于x 轴时，AC CB =(不是零向量)，不合条件；

故设直线l 为y =k (x +1) (A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0), ……………..…7分

由{2

2

2

(1)4936y k x y x λ=++=，

，得2

2

2

918(4)9360y y k k

λ+-+-=. 由

韦达定理得122

1894k y y k

+=+. …………

……8分

∵2AC CB =，而点C (?1, 0)， ∴(-1-x 1, -y 1)=2(x 2+1,

y 2)，∴y 1=

-2y 2， ………………..…9分 即y 1+y 2= -y 2

故2

2

1894k y k

-=+. ………………10分

∴△OAB 的面积为

OAB AOC BOC S S S ???=+12121111||1||||

2

2

2

y y y y =??+??=-

23||2y ==218||3294||

k k ?+2794||||

k k =+2794236≤=. ............

...........……11分

上式取等号的条件是2

9||=4

k ，即k =±32时，△OAB 的面积取得最大值94

. 所

以直线的

方

程

为

3(1)

2

y x =+或

3(1)

2

y x =-+. ………………12分

21. (Ⅰ)解：由已知得()g x 的定义域为(0, +∞)， 2

2

2

21()2a x x a g x x x x

+-'=+-=. ...........……1分