5一元二次方程的应用尖子班讲义

一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义）

一、知识点睛

1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有：

①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）；

1人患了流感，经过两轮传染．

经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证．

二、精讲精练

1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是

（ ）

A ．7错误!未找到引用源。，4

B ．7

2-，2

C ．7

2，2

D ．72

，

-2

2. 若x

1

=2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则

该方程的另一个根x 2=_________，a =________．

3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是

____________________．

4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________．

5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的

百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）

A ．2289(1)256x -=

B ．2256(1)289x -=

C ．289(12)256x -=

D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/

米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________．

7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均

一个人传染了________________个人．

8.若x 1，x 2是方程22430x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值．

（1）12

11

x x +； （2）2212x x +．

解：由原方程知

a =_____，

b =_____，

c =_____，

2Δ4 0

b a

c _____=-==∵

∴12x x += ，12x x ?= ． （1）原式=

= =

8. 已知关于x 的方程2(1)20m x x ---=．若x 1，x 2是该方程的两个根，且

2212121

8

x x x x +=-，求实数m 的值．

9. 如图，在一块长92 m ，宽60 m 的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），

若水渠把耕地分成面积均为885 m 2的6个矩形小块，则水渠应挖多宽？

10.，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经

调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利_____元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？

【分析】

11.某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可销售200件．现在采

用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，并尽量使顾客得到实惠，如果这种商品的售价每提高0.5元其销售量就减少10件，则将每件售价定为多少元时，才能使每天的利润达到640元？

【分析】

12.我市高新技术开发区的某公司，用320万元购得某种产品的生产技术后，进

一步投入资金880万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件，调查表明：在100~200元范围内，新产品的销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．为了实现年获利240万元，产品的销售单价应定为多少元？

（年获利=年销售额-生产成本-投资成本）

【分析】

解：Array

三、回顾与思考

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

______________________________

一、知识点睛

1. b c

a a

，-；根与系数的关系；韦达定理；韦达定理，Δ0≥．

2. ①增长率型；②面积型；③经济型． 二、精讲精练 1．D 2

．2，-4

3．12a <≤

4．2±

5．A

6．6000(1+x )2=8840

7．10

8．解：由原方程知： a =2，b =4，c =-3，

()22Δ4446400b ac =-=-?-=＞∵ ∴122x x +=-，1232

x x ?=-．

（1）原式1212

24

332

x x x x +-==

=-； （2）7 9．5m = 10．水渠应挖1m 宽．

11．

50x -（2）每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元． 12．

13．

产品的销售单价应定为120元．

一元二次方程根与系数关系及应用题

（随堂测试）

1. 先验证方程22410x x --=有两个实数根1x ，2x ，然后不解方程，求下列各

式的值．

（1）12(1)(1)x x ++；

（2）2212x x +．

2. 某商场将进货单价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调

查表明：在40~60元范围内，这种台灯的销售单价每上涨1元，其销售量将减少10个，为实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的销售单价应定为多少元？ 【分析】

解：

【参考答案】

1．∵2Δ(4)42(1)240=--??-=>，

∴方程22410x x --=有两个实数根1x ，2x ． （1）

52

； （2）5；

2．这种台灯的销售单价应定为50元．

一元二次方程根与系数关系及应用题（作业）

1. 某品牌服装原售价为173元，经过连续两次降价后售价为127元，设平均每

次降价x %，则所列方程为_______________．

2. 小丽要在一幅长为80 cm ，宽为50 cm 的矩形风景画的四周外围镶上一条宽

度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，使整幅挂图的面积是5 400 cm 2，设金色纸边的宽度为x cm ，则x 满足的方程是_______________．

3. 一种商品经连续两次降价后，价格是原来的1

4

，若两次降价的百分率相同，

则这个百分率为_______________． 4. 若1x ，2x 是一元二次方程23540x x --=的两个根，则12x x +与12x x ?的值分

别是_____________．

5. 若关于x 的方程2250x x a -+-=有两个正根，则a 的取值范围是

_______________．

6. 设1x ，2x 是方程23620x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各

式的值．

（1）12(1)(1)x x ++；

（2）221212x x x x +；

（3）

12

11

x x +；

（4）212()x x -．

7. 某市为争创全国文明卫生城市，2012年市政府对市区绿化工程投入的资金是2

000万元，2014年投入的资金是2 420万元，且从2012年到2014年，每年投入资金的年平均增长率相同．

（1）求该市政府对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；

（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市政府在2016年需投入多少万元？

8.小明家有一块长为8 m，宽为6 m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一

个花园，并使花园面积为空地面积的一半．小明设计了如下的两种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x值．

方案一

9.某商店进购某种商品出售，若按每件盈利2元售出，每天可售出200件．现

在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少5件，则将每件商品提高多少元出售时，才能使每天的利润为1 210元？

10.汽车站水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500

千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．如果市场每天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果盈利了多少元？

11. 【参考答案】 1．2173(1%)127x -=

2．()()5028025400x x ++=

3．50%

4．5433-，

5．4158

a <≤． 6．（1）53-； （2）43； （3）3； （4）20

3

．

7．（1）10%； （2）2 928.2万元．

8．方案一中2x =，方案二中2x =．

9．将每件商品提高9元出售时，才能使每天的利润为1 210元． 10．每千克这种水果盈利了15元．