摩擦角及应用

摩擦角及其应用

提要：建立摩擦角的概念，知道用摩擦角解平衡问题的思路，会用摩擦角解

题

关键词：全反力；摩擦角；最大静摩擦角；临界平衡

一、摩擦角的概念①全反力：物体所受的正压力与摩

擦力的合力，图1中的F 就是全反力，N 为物体所受

的正压力，f k 为摩擦力。

动摩擦角：物体受动摩擦力作用时，正压力N 与全反

力F 的夹角，图1中的κ?就是动摩擦角

tan =k ?-1N f k =tan -1k μ 说明：接触面一定，动摩擦因数k μ一定，动摩擦角k ?就一定

静摩擦角：物体所受静摩擦力作用时，正压力N 与全反力F ’的夹角。图2

中的角s ?就是静摩擦角

s ?= tan -1N f s 最大静摩擦角：物体所受最大静摩擦力f m 作用时，

正压力N 与全反力F 的夹角。图2中的角m ?就是

最大静摩擦角

m ?= tan -1N f m = tan -1s μ 说明：接触面一定，静摩擦因数s μ一定，最大摩擦角m ?就一定

一般情况下，物体平衡时，静摩擦力不超过最大静摩擦力，即s ?≤m ?，其

中s ?=m ?是临界平衡状态。

判断一个受摩擦力的物体是否能静止时，可先假设该物体静止，由平衡条件

求出此时全反力与正压力间的夹角s ?= tan -1

N f s ，然后判断：若s ?≤m ?，物体能静止平衡或临界平衡，假设正确；若s ?>m ?，物体不能静止平衡，

F N f k κ? 图1 F'N f s f m F s ?

m ? 图2

假设错误。 二、意义引入摩擦的意义：摩擦力与支持面的支持力是成对出现的，引入摩擦角

后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程

度上起到问题简化的效果。尤其是在物体在四个力作用下保持动态

平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题

（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确

定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定）这里特别补充说

明的是：在物体的三力平衡问题中，作用在物体这三个力合力为0等效于三力共

点，则三力的作用线汇交于一点，即三力汇交

三、应用摩擦角解12年高考24题第2问

1、（2012新课标）24（14分）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如

图3）。设拖把头的质量为m ，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因

数为常数μ，重力加速度为g 。某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。

(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。

(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推

力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角

θ0．若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使

拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tan θ0。

解法一（标准答案）：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F 的力推拖把。将

推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有

Fcos θ+ mg=N ① Fsin θ=f （2）

式中

N 和f 分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有

f=μN （3） 联立①②③得F=m g θμθμcos sin - （4）

(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有

Fsin θ≤λN （5） 这时①式仍满足，联立①⑤得

sin θ-λcos θ≤λF

mg (6) 现考察使上式成立的θ角的取值范围，注意到上式右边总是大于零，且

当F 无限大时极限为零，有 sin θ-λcos θ≤0 (7) 使上式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0

时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。临界角的正切为

tan θ0=λ ⑧

图3

解法二：用摩擦角解第二问

（2）临界平衡时，受力分析如图4，有θ

=

m

?⑤

m

f=Fsin0θ⑥

N

Fsin oθ

=λ⑦

tan

m

?=N

f

m

⑧

联立⑤⑥⑦⑧得:临界角的正切为 tan0θ =λ⑨

显然，本题的难点是临界平衡条件方程的构建，而用摩擦角寻找临界平衡条件直观明了，省去了用数学方法探讨极值的过程，这是用摩擦角解临界平衡问题的优点所在。

以下例题我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力F（以下讲到的斜面对物体的作用力或平面对物体的作用力都为此力），

例1，如图2所示，用绳通过定滑轮物块，使物块

在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动，

若物块与地面的摩擦因素1

μ<，滑轮的质量及摩

擦不计，则物块运动过程中，以下判断正确的是

（）。

A.绳子的拉力将保持不变

B.绳子的拉力

将不断增大

C.地面对物块的摩擦力不断减小

D.物块对地面

的压力不断减小

解析：如图3所示，取物体O点，作力的三角形。重力为有向线段①，从该线段箭头端点做

全反力的作用所在射线②，作从射线②上任意点指向O

图形封闭成三角形的一系列的有向线段③，

矢量，用曲箭头标明变化趋势。由1

μ<

的夹角小于45o，初始状态绳子拉力与水平呈45

中③和①的夹角从45o开始慢慢减小，图3中θ<90

出结论：绳子的拉力不断增大，地面的作用力不断减小，

1易知，地面支持力与摩擦力均随之减小，所以BCD正确。

例2，如图4所示，倾角45o的斜面上，放置一质量m

块，小物块与斜面的动摩擦因素μ=

在斜面上，应对小物块再施加一力，

（）。

A.0

sin15

mg，与水平成15o斜向右 B.0

sin30

mg，

竖直向上

C.0

sin75

mg，沿斜面向上 D.0

tan15

mg，

水平向右

解析：由μ=得，摩擦角10

tan tan30

?μ

--

===，

F全N

f m

F

G

m

?

θ0

图4

图2

作出力的三角形，如图5所示，蓝色有向线段为重力，黑色射线为斜面全反力，红色有向线段为施加的力，青色有向线段为施加的力的最小位置（与斜面的作用力相垂直），则00sin(45)sin15F mg mg ?=-=方向与水平成15o斜向右。即A 正确。例3，（2009.辽宁、宁夏理综）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为(01)μμ<<。现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动。设F 的方向与水

平面夹角为θ，如图6，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，

木箱的速度保持不变，则（ ）

A. F 先减小后增大

B. F 一直增大

C. F 的功率减小

D. F 的功率不变解析：方法一（传统方法）：由于木箱的速

度保持不变，因此木箱始终处于平衡状态，受力分析如图所

示，则由平衡条件得：sin mg N F θ=+，cos f N F μθ

==两式联立解得cos sin mg F μθμθ==+见F 有最小值，所以F 先减小后增大，A 正确；B 错误；F 的功率cos cos cos sin 1tan mgv mgv P Fv μθμθθμθμθ

===++，可见在θ从0逐渐增大到90°的过程中tan θ逐渐增大，则功率P 逐渐减小，C 正确，D 错误。（此常规方法对数学要求比较高，如果是在高考时过于紧张，一时半会儿对其中的F 表达式里变化情况弄不清楚从而半途而废） 方法二（引入摩擦角）：由(01)μμ<<得，摩擦角φ<45

出力的三角形，如图7所示，黑色射线为地面对木箱的全反力F1，红色有向线段为拉力F ，蓝色有向线段为重力。由题意在θ从0逐渐增大到90°的过程中，F 的变化趋势为青色曲箭头方向变化，易得到：F 先减小后增大。对于F 的功率，由矢量表达式：1F F G +=- ，重力的功率显然为0（重力与速度成90o），得到F 的功率与F1的功率互为相反数，F1的功率11cos P F v ψ=?,显然F1与v 的角度ψ保持不

变，而F1不断的减小，从而F 的功率

|1||1c o s P P F v ψ==?的值不断的减小，所以答案为AC 。结论：对比两种方法，方法二显然要简单容易的

多。因此高中有必要掌握摩擦角的应用，而不一定非

得参加竞赛的学生才掌握。

例4，（竞赛训练题）如图8所示，质量为m 的物体放在水平

地面上，物体与地面的动摩擦因素3μ=

，想用力F 推动物体沿水平地面滑动，推力方向与水平夹角在什么范围内是可能的？解析：摩擦角10tan 30ψμ-==，考虑临界情况，重力

mg 、地面对物体的全反力以及推力F 构成闭合三角形时，则有00sin(60)sin mg F θ?

=-，临界角01060sin 2mg F θ-=-，由图9可知0θθ≤时物体可在地面上滑动。即0160sin 2mg F

θ-≤-。 图6

图9

φ图7